Классы фиттинга конечных групп

□ Необходимость. Пусть V является F-инъектором группы G. Тогда по О.2.12. V∩G_s является F-максимальной подгруппой группы G_s для любого s=0, 1, 2,…, n.

Достаточность. Пусть V∩G_s является F-максимальной подгруппой группы G_s для любого s=0, 1, 2, … , n. Если |G|=1, то V=G является F-инъектором группы G. Поэтому |G|≠1. Можем считать, что |G_n-1|<|G|. Тогда по индукции V∩G_n-1 является F-инъектором группы G_n-1. По теореме 2.3. существует F-инъектор W. Тогда W∩G_n-1 является F-инъектором группы G_n-1. По теореме 2.3. V∩G_n-1=(W∩G_n-1)^a, где a G_n-1. Далее (W∩G_n-1)^a=W^a∩G_n-1 и по лемме 2.7. W^a является F-инъектором группы G. По лемме 2.8. V и W^a сопряжены в группе G, то по лемме 2.6. V тоже является F-иньектором G. Следствие доказано. ■

Следствие 2.4.

Пусть F – непустой класс Фиттинга в G. Если V является F-инъектором конечной разрешимой группы G и V H G, то и V является F-инъектором группы H.

□ Пусть V – F-инъектор конечной разрешимой группы G и V H G. Пусть E=G₀ G₁ … G_n=G – субнормальный ряд группы G, такой, что G_i+1/G_i – нильпотентная группа для любого i=0, 1, 2, … , n-1. Тогда V∩G_s является

F-инъектором группы G_s для любого s=0, 1, 2,… , n. Пусть H_s=G_s∩H, s=0, 1, 2,… , n. Тогда E=H₀ H₁ … H_n=H является субнормальным рядом группы H, причём H_i+1/H_i=G_i+1∩H/G_i∩H (G_i+1∩H)G_i/G_i – нильпотентная группа для любого i=0, 1, 2, … , n-1. Так как V∩H_s=V∩G_s∩H=V∩G_s – является F-максимальной подгруппой группы G_s , а значит и H_s для любого s=0, 1, 2, … , n, то по следствию 2.3. V является F-инъектором группы H. Следствие доказано. ■

2. Нормальные классы Фиттинга

О.2.13. Пусть X – класс групп. Непустой X-класс Фиттинга F называется нормальным, если любая X-группа обладает нормальным F-инъектором.

Лемма 2.9.

Пусть U является группой нечётного порядка, V – нормальная подгруппа из U, φ – автоморфизм группы U, который оставляет каждый элемент U/V неподвижным. Для того, чтобы φ являлась чётной как перестановка на U необходимо и достаточно, чтобы φ являлась чётной как перестановка на V.

Теорема 2.4.

Пусть G₀={G | G G и внутренние автоморфизмы группы G индуцируют лишь чётные перестановки на О(G)}. Тогда G₀ является нормальным классом Фиттинга в G, причём E≠G₀≠G.

 

Следствие 2.5.

Пусть S₀={G | G S и внутренние автоморфизмы группы G индуцируют лишь чётные перестановки на О(G)}. Тогда S₀ является нормальным классом Фиттинга, причём E≠S₀≠S.

Лемма 2.10.

Пусть F – нормальный S-класс Фиттинга, E≠G F и Z – группа порядка p, где p P. Тогда существует натуральное число m такое, что для всех натуральных n имеем ≀Z F.

Лемма 2.11.

Пусть F – X-класс Фиттинга, G – X-группа с нормальными X-подгруппами N₁, N₂, … , N_r и G=N₁N₂…N_r. Тогда G_F/(N₁)_F(N₂)_F…(N_r)_F Z(G/(N₁)_F(N₂)_F…(N_r)_F).

Лемма 2.12.

Пусть N – нормальная абелева подгруппа φ-сплетения X≀_φY, где φ является точным представлением группы Y перестановками на множестве Ω. Если N X^*= и в X≀_φY имеется элемент k X^* такой, что (Nx^*)^k=Nx^* для всех x^* X^*, то группа X абелева.

Теорема 2.5.

Если F – неединичный нормальный S-класс Фиттинга, то N F.

§3. Произведение классов Фиттинга

 

В этом параграфе мы рассмотрим как их двух G-классов Фиттинга можно построить новый G-класс Фиттинга с помощью радикального произведения классов групп, а так же рассмотрим некоторые основные свойства таких произведений.

О.2.14. Пусть X и L – непустые классы групп и Z – непустой X-класс Фиттинга. Класс групп Z◦L = {G | G X, G/G_Z L} назовём радикальным произведением классов Z и L в классе X. Полагаем Z◦L = , если хотя бы один из классов Z или L является пустым.

Теорема 2.6.

Пусть Z, L и V являются G-классами Фиттинга. Тогда справедливы следующие утверждения:

а) Z◦L является G-классом Фиттинга;

б) если L≠ , то Z Z◦L;

в) если Z ≠ ≠ L и G G, то G_Z◦L/G_Z = (G/G_Z)_L;

г) (Z◦L)◦V=Z◦(L◦V)

□ а) Пусть Z ≠ ≠ L, G Z◦L и K нормальна в G. Так как G G, то K G. Тогда по лемме 2.6.б) K_Z=G_Z∩K, и, значит, K·G_Z/G_Z K/K∩G_Z=K/K_Z. Так как K·G_Z/G_Z нормальна в G/G_Z и по О.2.14. G/G_Z L, то в силу замкнутости класса L относительно нормальных подгрупп следует, что K·G_Z/G_Z L, и, значит, K/K_Z L. Тогда по О.2.14 следует, что K Z◦L, и, значит, класс Z◦L является замкнутым относительно нормальных подгрупп.

Пусть K_i Z◦L и K_i нормальна в группе G G для любого i=1, 2, … , t и G=K₁K₂…K_t. По лемме 2.6.б) (K_i)_Z=G_Z∩K_i. Тогда K_i·G_Z/G_Z K_i/K_i∩G_Z. Так как K_i Z◦L, то по О.2.14. K_i/(K_i)_Z L, и, значит, K_iG_Z/G_Z L для любого i=1, 2, … , t. Рассмотрим фактор-группу G/G_Z. Так как G/G_Z=K₁G_Z/G_Z·K₂G_Z/G_Z·…·K_tG_Z/G_Z, и класс L замкнут относительно произведения нормальных подгрупп, то G/G_Z L, и, значит, по О.2.14. G Z◦L. Следовательно, класс Z◦L является замкнутым относительно произведения нормальных подгрупп. Тогда по О.2.5. класс Z◦L является G-классом Фиттинга.

б) Пусть L≠ и G L. Так как единичная подгруппа E нормальна в G и класс L замкнут относительно нормальных подгрупп, то E L. Пусть B Z. Тогда B_Z=B и E B/B_Z L. Следовательно, по О.2.14. B Z◦L, и, значит, Z Z◦L.

в) Пусть Z ≠ ≠ L и G G. По лемме 2.6.а) G_Z и G_Z◦L являются характеристическими подгруппами группы G, причём G_Z Z и G_Z◦L Z◦L. В силу О.2.7. имеем G_Z G_Z◦L. По лемме 2.6.б) G_Z является Z-радикалом группы G_Z◦L. Тогда по О.2.14. G_Z◦L/G_Z L. Так как G_Z◦L/G_Z нормальна в группе =G/G_Z, то G_Z◦L/G_Z . Пусть =R/G_Z. Так как R нормальна в G, то по лемме 2.6.б) R_Z=G_Z. Теперь из R/R_Z L и по О.2.14. следует, что R Z◦L. Тогда R G_Z◦L, и, значит, G_Z◦L/G_Z= , т.е. G_Z◦L/G_Z=(G/G_Z)_L.

г) Пусть F₁=(Z◦L)◦V и F₂=Z◦(L◦V). Если хотя бы один из классов Z или L, или V является пустым, то F₁= и F₂= , и, значит, F₁=F₂. Поэтому будем считать, что ни один из классов Z, L и V не является пустым.

Пусть G F₁. Тогда по О.2.14. имеем G/G_Z◦L V. Так как (G/G_Z)/(G_Z◦L/G_Z) G/G_Z◦L V и по в) G_Z◦L/G_Z=(G/G_Z)_L L, то по О.2.14. G/G_Z L◦V, и, значит, G Z◦(L◦V)=F₂. Следовательно, F₁ F₂.

Пусть H F₂. Тогда по О.2.14. =H/H_Z L◦V. Так как / =(H/H_Z)/(H/H_Z)_L V и по в) (H/H_Z)_L=H_Z◦L/H_Z, то

(H/H_Z)/(H_Z◦L/H_Z) H/H_Z◦L V. Тогда по О.2.14. H (Z◦L)◦V=F₁. Следовательно, F₂ F₁. Из включений F₁ F₂ и F₂ F₁ следует, что F₁=F₂. Теорема доказана. ■

 

 

Следствие 2.6.

Если Z, L, V являются S-классами Фиттинга, то Z◦L является S-классом Фиттинга, и (Z◦L) ◦V=Z◦(L◦V).

□ Так как Z, L, V являются S-классами Фиттинга, то они являются

G-классами Фиттинга. Тогда по теореме 2.6. Z◦L является G-классом Фиттинга и (Z◦L) ◦V=Z◦(L◦V). Так как расширение разрешимой группы с помощью разрешимой является разрешимой группой, то Z◦L S, и, значит, Z◦L является S-классом Фиттинга. Следствие доказано. ■

Теорема 2.7.

Если Z и L являются нормальными G-классами Фиттинга, то Z◦L является нормальным G-классом Фиттинга.

□ По теореме 2.6.а) F=Z◦L является G-классом Фиттинга. Пусть G G и V является F-инъектором группы G. Покажем, что подгруппа V нормальна в G. Так как G_F нормальна в G и G_F F, то по О.2.12. G_F V. По теореме 2.6.б) Z Z◦L, и, значит, G_Z G_F V. Так как Z является нормальным G-классом Фиттинга, то G_Z является Z-инъектором группы G и G_Z является Z-максимальной подгруппой группы G. Далее, G_Z V_Z Z, и, значит, G_Z=V_Z. Так как V F=Z◦L, то V/V_Z L. Рассмотрим группу =G/G_Z. По теореме 2.6.в) =G_F/G_Z. Так как L является нормальным G-классом Фиттинга, то является L-инъектором группы , и, значит, является L-максимальной подгруппой группы . Далее, G_F/G_Z V/V_Z L. Следовательно, G_F/G_Z=V/G_Z, и, значит, V=G_F нормальна в G. Теорема доказана. ■

 

 

 

Теорема 2.8.

Если Z и L являются нормальными S-классами Фиттинга, то Z◦L является нормальным S-классом Фиттинга.

□ По следствию 2.6. F=Z◦L является S-классом Фиттинга. Пусть G S и V является F-инъектором группы G. Тогда так же как и при доказательстве теоремы 2.7. можно показать, V=G_F. Следовательно, F является нормальным

S-классом Фиттинга. Теорема доказана. ■

§4. Практические примеры

В данном параграфе мы рассмотрим несколько примеров на нахождение F-радикалов и F-инъекторов групп для конкретных F и конкретных групп.

Пример 1. Для группы G = A₄ найти N-радикал и N-инъектор.

Группа A₄ – знакопеременная группа подстановок четвёртой степени.

Порядок |A₄|=12. Построим для группы A₄ композиционные ряды (композиционный ряд – это субнормальный ряд без повторений, не допускающий дальнейшего уплотнения):

E V A₄; E V A₄; E V A₄ , где , и – группы порядка 2, порождаемые элементами a, b и ab соответственно.

Выпишем все нормальные нильпотентные подгруппы в A₄. Это будут V и E, где V – четверная группа Клейна порядка 4. Сама группа A₄ не является нильпотентной. Понятно, что в этом случае N-радикалом группы A₄ будет являться группа V.

Далее, выпишем все  неединичные нильпотентные подгруппы  в A₄. Это будут группы порядков 4, 3 и 2. Проверим, какие из этих групп будут являться

N-инъекторами в группе A₄.

Очевидно, что при пересечении  подгрупп порядка 2 с A₄ мы не получим

N-максимальных подгрупп в A₄, так как они будут собственно содержаться в

N-подгруппе V.

Рассмотрим группу G₃ порядка 3. G₃∩V=E. E не является N-максимальной подгруппой в V, такой подгруппой является V.

Теперь проверим группу V. V∩A₄=V, V∩V=V, V∩Z₂ = Z₂, где Z₂ – любая из субнормальных подгрупп порядка 2 в A₄. Группа G₃ не является субнормальной в A₄ , поэтому она не подлежит проверке. Мы пришли к выводу, что все пересечения с V образуют N-максимальные подгруппы в соответствующих субнормальных подгруппах A₄. Следовательно, группа V является N-инъектором группы A₄.

Пример 2. Для группы G = S₃ найти N-радикал и N-инъектор.

S₃ – симметрическая группа подстановок третьей степени.

Порядок |S₃|=6. Построим для группы S₃ композиционный ряд: E G₃ S₃.

Выпишем все нормальные нильпотентные подгруппы в S₃. Это будут G₃ и E, где G₃ группа порядка 3. Сама группа S₃ не является нильпотентной. Понятно, что N-радикалом группы S₃ будет являться группа G₃.

Выпишем все неединичные  нильпотентные подгруппы в S₃. Это будут группы порядков 3 и 2. Проверим, какие из этих групп будут являться N-инъекторами в группе S₃. G₂∩G₃=E, где G₂ – группа порядка 2. E не является N-максимальной подгруппой в G₃, так как такой подгруппой является сама G₃. Следовательно, G₂ не является N-инъектором группы S₃.

Проверим подгруппу G₃: G₃∩S₃=G₃, G₃∩G₃=G₃, G₃∩E=E, т.е. при пересечении субнормальных подгрупп из S₃ с G₃ мы получаем N-максимальные подгруппы в соответствующих подгруппах. Следовательно, G₃ будет являться N-инъектором в группе S₃.

Пример 3. Для группы G = S₄ найти N-радикал и N-инъектор.

S₄ – симметрическая группа подстановок четвёртой степени.

Порядок |S₄|=24. Построим для группы S₄ композиционные ряды:

E V A₄ S₄; E V A₄ S₄; E V A₄ S₄.

Выпишем все нормальные нильпотентные подгруппы в S₄. Это будут группы E и V, где V – четверная группа Клейна. Сама группа S₄ и ее нормальная подгруппа A₄ не являются нильпотентными. Следовательно, N-радикалом в группе S₄ будет являться группа V.

Выпишем все неединичные  нильпотентные подгруппы в S₄. Это будут подгруппы порядков 8, 4, 3 и 2. Проверим, какие из этих подгрупп будут являться N-инъекторами в группе S₄. Понятно, что при пересечении с группой S₄ подгруппы порядков 2 и 4 не будут давать N-максимальных подгрупп, так как собственно содержатся в N-подгруппе порядка 8. Проверим группу G₃ порядка 3. G₃∩V=E, где G₂ – силовская 2-подгруппа порядка 8. Так как E не является

N-максимальной подгруппой в V, то G₃.не является N-инъектором в группе G. Проверим силовскую 2-подгруппу G₂: G₂∩S₄=G₂, G₂∩A₄=V, G₂∩V=V, G₂∩ = , G₂∩ = , G₂∩ = , то есть при пересечении субнормальных подгрупп из S₄ с G₂ мы получаем N-максимальные подгруппы в соответствующих субнормальных подгруппах. Следовательно, G₂ является

N-инъектором в группе S₄.

Пример 4. Для группы G = A₅ найти N-радикал и N-инъектор.

A₅ – знакопеременная группа подстановок пятой степени.

Порядок |A₅|=60. Построим для группы A₅ композиционный ряд: E A₅.

Выпишем нормальные нильпотентные подгруппы в A₅. Такой подгруппой будет являться только E (A₅ не нильпотентна), и, значит, N-радикалом группы A₅ будет являться единичная группа E.

Выпишем все неединичные  нильпотентные подгруппы в A₅. Это будут подгруппы порядков 3, 4 и 5. Можно показать, что каждая из этих подгрупп является N-максимальной в A₅. Следовательно, пересечения этих подгрупп с A₅ будут давать N-максимальные подгруппы в этих группах. Следовательно,

N-инъекторами в A₅ будут являться силовские 2-подгруппы порядка 4, силовские

3-подгруппы порядка  3 и силовские 5-подгруппы порядка  5.

Пример 5. Для группы G = S₅ найти N-радикал и N-инъектор.

S₅ – симметрическая группа подстановок пятой степени.