Классы фиттинга конечных групп

О.1.11. Нормальная подгруппа N группы G называется минимальной, если она не имеет нетривиальных подгрупп группы G и обозначается N G.

О.1.12. Цоколем группы G называется подгруппа, являющаяся произведением всех минимальных нормальных подгрупп группы G и обозначается Soc G.

О.1.13. Пусть Т — непустое подмножество группы G. Совокупность всех элементов группы G, перестановочных с каждым элементом множества Т, называется централизатором множества Т в группе G и обозначается через C_G(T).

О.1.14. Центром группы G называется совокупность всех элементов группы G, перестановочных с каждым элементом группы G. Центр группы G обозначается через Z(G).

Ясно, что Z(G) = C_G(G), т.е. центр группы G совпадает с централизатором подмножества G в группе G. Кроме того, Z(G)= .

О.1.15. Если Т – непустое подмножество группы G и g G, то gT={gt | t T} и Tg={tg | t T}. Элемент g G называется перестановочным с подмножеством Т, если gT=Tg.

Равенство gT=Tg означает, что для любого элемента  t₁ T существует такой элемент t₂ T, что gt₁=t₂g. Если элемент g перестановочен с подмножеством Т, то gT=Tg и T=g^-1Tg=T^g.

О.1.16. Совокупность всех элементов группы G, перестановочных с подмножеством Т называется нормализатором подмножества Т в группе G и обозначается через N_G(T).

И так, N_G(T)={g G | gT = Tg} = {g G | T^g=T}.

О.1.17. Совокупность ={xH | x G} всех левых смежных классов группы G по нормальной подгруппе H с операцией (xH)(yH)=xyH образует группу с единичным элементом eH = H и обратным элементом (aH)^-1 = a^-1H. Группа G называется фактор-группой группы G по подгруппе H и обозначается G/H.

Если группа конечная, то фактор-группа любой группы G по нормальной подгруппе H так же будет группой конечного порядка, равного индексу подгруппы H в группе G, т.е. |G/H| = |G:H| = |G|/|H|.

О.1.18. Пусть H – подгруппа группы . Цепь подгрупп , в которой для любого i=1, 2, … , t, называется субнормальной (G–H)-цепью, а число t – длиной этой цепи. Наименьшее t, при котором существует хотя бы одна субнормальная (G–H)-цепь длины t, называется дефектом подгруппы H в G и обозначается через |G–H|.

О.1.19. Пусть – подгруппа группы H. Если существует хотя бы одна субнормальная (G–H)-цепь, то подгруппа называется субнормальной и означается H G.

Теорема 1.4. (Силова).

Пусть конечная группа G имеет порядок p^ms, где p – простое число и p не делит s. Тогда справедливы следующие утверждения:

1. в группе G существует подгруппа порядка pⁱ для любого i = 1, 2, … , m;
2. если H – p-подгруппа и P – подгруппа порядка p^m, то существует такой элемент a G, что H ≤ P^a;
3. любые две подгруппы порядка p^m сопряжены;
4. число подгрупп порядка p^m в группе G сравнимо с единицей по модулю p и делит s.

О.1.20. Силовской p-подгруппой конечной группы G называется такая

p-подгруппа, индекс которой не делится на p.

Следствие 1.1.

Пусть конечная группа G имеет порядок p^ms, где p – простое число и p не делит s. Тогда:

1. существует силовская p-подгруппа и её порядок равен p^m;
2. каждая p-подгруппа содержится в некоторой силовской p-подгруппе;
3. любые две силовские p-подгруппы сопряжены;
4. число силовских p-подгрупп сравнимо с единицей по модулю p и делит s.

Лемма 1.1. (Фраттини)

Если K – нормальная подгруппа конечной группы G и P – силовская

p-подгруппа из K, то G=N_G(P)K.

§2. Разрешимые, сверхразрешимые, нильпотентные и холловы группы

О.1.21. Группа называется нильпотентной, если все её силовские подгруппы нормальны.

О.1.22. Группа называется нильпотентной, если обладает нормальным рядом E=G₀ ≤ G₁ ≤ … ≤ G_n = G, где G_i G для всех i=0, 1, … , n-1 и G_i/G_i-1 содержится в центре группы G/G_i-1 для всех i=1, 2, … , n.

Нильпотентная группа является прямым произведением своих силовских  подгрупп.

О.1.23. Коммутатором элементов a и b называется элемент a^-1b^-1ab, и обозначается через [a, b].

О.1.24. Подгруппа группы G, состоящая из коммутаторов всех элементов группы G называется коммутантом группы G и обозначается G’.

О.1.25. Для группы G можно построить цепочку коммутантов:

G ≥ G’ ≥ G” ≥ … G⁽ⁱ⁾ ≥ G⁽ⁱ⁺¹⁾ ≥ … Если существует номер n, такой что G⁽ⁿ⁾=E, то группа G называется разрешимой. Наименьшее натуральное число n, для которого G⁽ⁿ⁾=E, называется производной длиной группы G и обозначается через d(G).

О.1.26. Группа называется разрешимой, если она обладает нормальным рядом E=G₀ ≤ G₁ ≤ … ≤ G_n = G, где G_i G для всех i=0, 1, … , n-1 и факторы G_i/G_i-1 абелевы для всех i=1, 2, … , n.

О.1.27. Группа, которая не является разрешимой называется неразрешимой.

О.1.28. Группа G называется сверхразрешимой, если она имеет нормальный ряд с циклическими факторами, то есть E ≤ G₀ ≤ G₁ ≤ … ≤ G_n-1 ≤ G_n = G, где G_i G для любого i, i=0, …, n и G_i/G_i-1 – фактор-группы, i=1, …, n.

Пусть – множество всех простых чисел, а π – некоторое множество простых чисел, т.е. π . Дополнение к π на множестве будем обозначать через π’, т.е. π’= \π.

Также, будем использовать функцию  π(m) – множество всех простых чисел, делящих натуральное число m. Если G – группа, то вместо π(|G|) будем писать π(G).

О.1.29. Зафиксируем множество простых чисел π. Если π(m) π, то число m называется π-числом.

О.1.30. Подгруппа H группы G называется π-подгруппой, если |H| есть π-число.

О.1.31. Подгруппа H называется π-холловой подгруппой, если |H| является

π-числом, а индекс |G:H| – π’-числом.

О.1.32. Подгруппа H группы G называется холловой подгруппой, если H –

π-холлова подгруппа  для некоторого множества π .

Другими словами, H является холловой подгруппой в том, и только в том случае, когда (|H|,|G:H|)=1, т.е. порядок H взаимно прост с индексом группы G по подгруппе H.

§3. Прямое, полупрямое произведения и сплетение групп

О.1.33. Пусть G – группа, A и B – подгруппы группы G. Произведение G=AB={ab | a A, b B} называется прямым произведением своих подгрупп A и B, если A и B нормальны в G и A B=E, и обозначается G=A×B.

О.1.34. Пусть A нормальная подгруппа группы G и B – такая подгруппа группы G, что A∩B=E и G=A·B. Тогда группа G называется полупрямым произведением нормальной подгруппы A и подгруппы B, и обозначается G=A B.

Элементы из B через сопряжённость индуцируют автоморфизмы на группе A.

О.1.35. Пусть X и Y – группы и φ – представление группы Y перестановками на множестве Ω. Группа X≀_φY={(f, φ(y))| y Y, f – отображение Ω в X} с операцией умножения (f₁, φ(y₁))·(f₂, φ(y₂))=(g, φ(y₁y₂)), где g(i)= , i Ω называется φ-сплетением групп X и Y.

Операция умножения  ассоциативна, элемент (e, e_Ω) с e(i)=1 X для всех i Ω является единичным элементом группы X≀_φY, и обратным к элементу (f, φ(y)) является элемент (h, φ(y^-1)) c h(i)= , i Ω.

Пусть |Ω|=n. Тогда φ-сплетение X≀_φY обладает нормальной подгруппой X^*=X₁×X₂×…×X_n с X_i={(f, e_Ω) | f(j)=1 для j≠i} X и Y₁={(e, φ(y)) | y Y, e(i)=1 X для любого i Ω} является дополнением к X^* в X≀_φY, причём Y₁ Y, |X≀_φY|=|X|ⁿ·|Y|, при трансформировании элементом y₁=(e, φ(y)) Y₁ прямые сомножители из X^* переставляются следующим образом . Отождествляя Y₁ с Y, получим X≀_φY X^* Y и для любого y Y.

О.1.36. Группа X^* называется базой сплетения X≀_φY.

О.1.37. Сплетение X≀_φY называется регулярным или стандартным, если φ – регулярное представление Y, и коротко записывается X≀Y.

Тогда |X≀Y|=|X|^|Y|·|Y|.

Если Z – подгруппа группы Y, то X^* Z X≀_φ|ZZ, где φ|Z – ограничение φ на Z. Для регулярного сплетения имеем X^* Z (X×X×…×X)≀Z, где X берётся сомножителем |Y:Z| раз.

Пусть U – подгруппа группы X и U^*= . Тогда U^* Y U≀_φY X≀_φY. Если U – нормальная подгруппа группы X, то U^* является нормальной подгруппой группы X≀_φY и (X≀_φY)/U^* (X/U)≀_φY.

Если конечная группа G является расширением группы X с помощью группы Y, то сплетение X≀Y содержит подгруппу изоморфную группе G.

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2. Классы Фиттинга и их свойства

§1. Простейшие свойства классов Фиттинга

 

В этом параграфе мы приводим определение классов групп, классов Фиттинга и простейшие свойства классов Фиттинга.

 

О.2.1. Класс групп – это множество групп, которое вместе с каждой своей группой содержит все изоморфные ей группы. Например, A – класс всех абелевых групп, G – класс всех конечных групп.

О.2.2. Если X и F классы групп, причём F X, то F называют подклассом класса X, или, коротко, X-классом.

Если π – некоторое множество простых чисел и X – класс групп, то через X_π обозначается класс всех π-групп из X. X_π=X G_π. Группы из класса X_π называют также π-группами.

О.2.3. Класс X называется нормально наследственным или классом, замкнутым относительно нормальных подгрупп, когда выполняется требование: если G X и N G, то N X.

Очевидно, что если класс X замкнут относительно нормальных подгрупп, то X замкнут относительно субнормальных подгрупп, т.е. если G X и N G, то N X.

О.2.4. Класс X называется замкнутым относительно произведений нормальных подгрупп, когда выполняется требование: если N₁, N₂ G и N₁, N₂ X, то N₁N₂ X.

О.2.5. Классом Фиттинга называется класс X, замкнутый относительно нормальных подгрупп и произведений нормальных X-подгрупп. Класс Фиттинга называется так же радикальным, а формацию, являющуюся классом Фиттинга – радикальной.

 

 

Теорема 2.1.

Если класс X замкнут относительно произведения нормальных X-подгрупп, то каждая субнормальная X-подгруппа группы G содержится в некоторой нормальной X-подгруппе.

□ Пусть H – субнормальная X-подгруппа группы G. Применим индукцию по индексу |G : H|. Заметим, что H ≠ N_G(H) и N_G(H) ≠ G. Выберем подгруппу L в группе G, обладающую следующим свойством: подгруппа L порождается всеми субнормальными подгруппами X группы G такими, что H ≤ X ≤ N_G(H).

Ясно, что H ≤ L ≤ N_G(H). Так как подгруппа, порождённая субнормальными подгруппами является субнормальной подгруппой, то L субнормальна и существует субнормальная подгруппа M в группе G такая, что L M и M ≠ L. По выбору L подгруппа M не содержится в N_G(H). Значит, существует элемент x M\N_G(H). Ясно, что H≠H^x, H^x X и H^x – субнормальная подгруппа группы G. Поскольку H L, то H^x L^x = L. Теперь HH^x – подгруппа группы L и HH^x X согласно второму требования определения класса Фиттинга. Кроме того, HH^x ≠H, поэтому к подгруппе HH^x применима индукция. По индукции в группе G существует нормальная подгруппа N такая, что N X и HH^x ≤ N. Значит, H ≤ N. ■

Следствие 2.1.

Пусть класс X замкнут относительно произведения нормальных X-подгрупп. Если H₁, H₂ – субнормальные X-подгруппа группы G, то H₁, H₂ – субнормальная X-подгруппа.

□ Пусть M = H₁, H₂ . По теореме 2.1. в группе М существуют нормальные

X-подгруппы N₁ и N₂ такие, что H₁ ≤ N₁, H₂ ≤ N₂. Согласно второму требования определения класса Фиттинга произведение N₁N₂ X. Поэтому

М= H₁, H₂ ≤ N₁N₂ ≤ М и М = N₁N₂ X. ■

 

 

Следствие 2.2.

Пусть класс X замкнут относительно произведения нормальных X-подгрупп. Если Н – субнормальная X-подгруппа группы G, то Н^G X.

□ Подгруппа Н^G порождается всеми сопряжёнными с Н подгруппами группы G, т.е. Н^G = H^g | g G . На основании следствия 2.1. получаем, что Н^G X. ■

Пусть X – класс Фиттинга. Произведение всех нормальных X-подгрупп группы G называется X-радикалом группы G и обозначается через G_X. Ясно, что X-радикал G_X является наибольшей нормальной подгруппой группы G, содержащейся в X.

Лемма 2.1.

Пусть X – класс Фиттинга, G – группа и H G. Подгруппа H X тогда и только тогда, когда H ≤ G_X.

□ Необходимость. Пусть H G и H X. По следствию 2.2. из теоремы 2.1. получаем, что H ≤ H^G X и H^G ≤ G_X.

Достаточность. Пусть H G и H ≤ G_X. Так как G_X X и X – класс Фиттинга, то H X. ■

Лемма 2.2.

Если X – класс Фиттинга и N G, то N_X = G_X∩N.

□ Так как G_X∩N G_X и G_X X, то G_X∩N X. Поскольку G_X∩N N, то G_X∩N N_X.

Обратно, N_X N G, поэтому N_X G и N_X G_X согласно лемме 2.1.

Итак, G_X∩N = N_X. ■

Лемма 2.3.

Пусть группа G содержит нормальную подгруппу N индекса p, где p – простое число. Если Z – циклическая группа порядка p, то прямое произведение G×Z содержит нормальную подгруппу K, изоморфную G и отличную от G.

□ Так как (G×Z)/N , где – элементарная абелева группа порядка p², то в (G×Z)/N существует p²-1 элементов порядка p, которые распадаются на

(p²-1)/(p-1) = p+1 подгрупп порядка p. Поэтому в (G×Z)/N существует подгруппа K/N порядка p такая, что K/N ≠ G/N и Z не является подгруппой в K. Подгруппа K нормальна в группе G×Z, K≠G. Кроме того, G×Z=K×Z и (G×Z)/Z G (K×Z)/Z K. ■

Лемма 2.4.

Если F – класс X-класс Фиттинга, то класс F замкнут относительно субнормальных подгрупп.

□ Пусть G F и H – субнормальная подгруппа группы G. Тогда существует конечная (G–H)-цепь подгрупп G=G₀ G₁ … G_k=H, такая, что G_i нормальна в G_i-1 для любого i=1, 2, … , k. Индукцией по длине цепи k докажем, что H F. Если k=1, то H нормальна в G и по О.2.5. получим, что H F. Пусть k>1. Так как G₁ нормальна в G, то G₁ F. Далее, H субнормальна в G₁, причём существует субнормальная (G₁–H)-цепь длины k-1. Тогда по индукции H F. Лемма доказана. ■