Надежность бурового оборудования

 

Под наблюдением  находилось 100 турбобуров.

На основании  этой выборки находим:

1) минимальное значение времени работы: ;

2) максимальное значение времени безотказной работы: ;

3) зону рассеивания:

 (1)

Вся выборка разбивается на интервалы . Число интервалов не должно быть очень велико, чтобы не усложнять расчетов. Оно не должно быть мало, т.к. иногда критерий Пирсона ( ) не будет работать. Рекомендуется первоначально разбить всю выборку на 10-12 интервалов равной длины.

Принимаем 10 интервалов. Величина интервала:

; (2)

.

 

Составляем  таблицу 2 для определения статистической функции распределения.

 

Таблица 2 - Определение  статистической функции распределения

№ интер- вала	Интервал времени, границы интервала	Число отказов турбобуров в каждом интервале, частота эмпирическая (из табл.1)	Частота эмпирическая ni	Частость, относительная частота	Функция накопительных частот	Статистическая оценка вероятности  безотказной работы
1	2	3	4	5	6	7
1	7…17,7	18	18	0,18	0,18	0,82
2	17,7…28,4	18	18	0,18	0,36	0,64
3	28,4…39,1	14	14	0,14	0,50	0,50
4	39,1…49,8	16	16	0,16	0,66	0,34
5	49,8…60,5	7	12	0,12	0,78	0,22
6	60,5…71,2	5
7	71,2…81,9	8	8	0,08	0,86	0,14
8	81,9…92,6	8	8	0,08	0,94	0,06
9	92,6…103,3	0	6	0,06	1,00	0,00
10	103,3…114	6

 

 

По данным таблицы 2 строим гистограмму относительных  частот времени безотказной работы турбобура.

Рисунок 2 - Гистограмма относительных частот времени безотказной работы

турбобура

По данным графы  6 (таблица 2) строим эмпирическую  функцию распределения F*(t) – функцию накопленных частот.

Рисунок 3 - Эмпирическая функция распределения F*(t)

 

Таким образом, в результате обработки статистических данных определена эмпирическая функция  распределения (статистическая оценка вероятности безотказной работы). Статистическая вероятность безотказной  работы характеризуется отношением числа исправно работающих изделий, к общему числу находящихся под  наблюдением.

-функция  надежности P(t);

- статистическая  оценка вероятности безотказной  работы (эмпирическая функция распределения);

- статистическая  оценка вероятности отказа F*(t);

- график  функции F(t) является зеркальным отражением функции P(t).

 

 

 

 

 

 

2 ОПРЕДЕЛНИЕ СРЕДНЕГО ВРЕМЕНИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ ТУРБОБУРА

 

Необходимо  определить:

1. выборочное среднее арифметическое (математическое) ожидание ;
2. среднее квадратическое отклонение ;
3. несмещенную оценку дисперсии ;
4. коэффициент вариации

Мера  рассеивания случайной величины относительно её математического ожидания (tcp) характеризуется дисперсией (выборочным средним квадратическим отклонением S²) и коэффициентом вариации V.

Вычисления  выборочного среднего арифметического  и выборочного среднего квадратического отклонения наработки турбобуров до отказа представлены в таблице 3.

Подсчитываем  :

Выборочное  среднее арифметическое (среднее время безотказной работы турбобура, средняя наработка до первого отказа) вычисляется по формуле:

 (3)

Находим:

 

Выборочное  среднее квадратическое отклонение (дисперсия):

 (4)

 

Несмещенная оценка дисперсии:

 (5)

 (6)

 

Коэффициент вариации:

 (7)

По номограмме находим значение параметра m распределения Вейбулла по известному коэффициенту вариации при

Таблица 3 - Вычисление выборочного среднего арифметического  и выборочного

квадратического отклонения наработки турбобуров до отказа

№ интервала	Интервал времени	Середина интервала	Число отказов турбобуров в интервале, ni
1	2	3	4	5	6
1	7…17,7	12,35	18	222,3	2745
2	17,7…28,4	23,05	18	414,9	9563
3	28,4…39,1	33,75	14	472,5	15947
4	39,1…49,8	44,45	16	711,2	31613
5	49,8…71,2	60,5	12	726	43923
6	71,2…81,9	76,55	8	612,4	46879
7	81,9…92,6	87,25	8	698	60900
8	92,6…114	103,3	6	619,8	64025
∑                                                                                                   100				4477,1	275595

* графы  1, 2 и 4 взяты из таблицы 2

 

 

 

 

 

 

 

3 РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ ТУРБОБУРА

 

Необходимо  произвести оценку показателей безотказной  работы, а именно определить критерии надежности:

1. вероятность отказа ;
2. вероятность безотказной работы (функция надежности);
3. частоту отказов ;
4. интенсивность отказов
5. среднюю наработку до отказа .

Статистическая  вероятность безотказной работы характеризуется отношением числа  исправно работающих изделий  к общему числу изделий, находящихся под наблюдением N:

;        (8)

Выражение означает вероятность возникновения отказа в момент времени t.

Безотказная работа и отказ - взаимно противоположные  события.

Таким образом, произвели оценку показателей безотказной  работы турбобуров:

- вероятность отказа;

- вероятность безотказной работы;

- частота отказов; интенсивность отказов;

- средняя наработка до первого отказа (таблица 3);

- среднее квадратическое отклонение наработки до отказа (таблица 3). 

Таблица 4 - Показатели безотказной работы турбобуров

№ интер- вала	Интервал времени	Число отказов турбобуров в интервале	Количество отказов, отнесенное к середине интервала	Нарастающее количество отказов к  середине интервала	Кол-во исправно работающих турбобуров к середине интервала	Вероятность безотказной работы	Вероятность отказов	Интенсивность отказов
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	7…17,7	18	9	9	91	0,91	0,09	0,018
2	17,7…28,4	18	18	27	73	0,73	0,27	0,023
3	28,4…39,1	14	16	43	57	0,57	0,43	0,023
4	39,1…49,8	16	15	58	42	0,42	0,58	0,036
5	49,8…71,2	12	14	72	28	0,38	0,62	0,040
6	71,2…81,9	8	10	82	18	0,18	0,82	0,042
7	81,9…92,6	8	8	90	10	0,10	0,90	0,075
8	92,6…114	6	7	97	3	0,03	0,97	0,18

 

 

 

 

 

 

 

 

4 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

 

Основной  задачей статистической проверки гипотез  является использование полученной при выборке информации для суждения о законе распределения генеральной  совокупности.

Статистической  гипотезой называется любое суждение относительно функции распределения наблюдаемых случайных величин F(x) или её параметров.

Первоначально выдвигаемое предположение о  виде распределения или её параметров называют нулевой гипотезой (Но).

Альтернативная  гипотеза ( ) - предположение о том, что различие между теоретическим и эмпирическим распределением вполне закономерно.

Гипотеза  о законе распределения - это гипотеза о том, что данное эмпирическое распределение  совпадает с каким-то известным  теоретическим распределением. В  основе критериев, проверяющих такую  гипотезу, лежит сравнение частот эмпирического и теоретического распределений.

Уровень значимости. Любой статистический критерий строится таким образом, чтобы вероятность отвергнуть нулевую гипотезу не превышала наперед заданного  числа α.

Критерий  значимости. При помощи критерия значимости нулевая гипотеза в каждом отдельном случае может быть опровергнута, но никогда при помощи критерия значимости эта гипотеза не может быть доказана.

Можно утверждать, что в случае достаточно высокой  вероятности, можно считать, что  рассматриваемая гипотеза не находится  в явном противоречии с данными  наблюдений:

5% -й уровень значимости, при котором величина вероятности Р=0,05

1% - й уровень значимости, при котором величина вероятности Р=0,01.

 

 

Пусть Р=0,05, это значит, что в предположении того, что нулевая гипотеза верна, значение статистики не меньше, чем наблюденное, можно ожидать около пяти раз на каждые сто испытаний, проведенных в неизменных условиях.

Обычно  применяется 5% -й уровень значимости. Если при этом оказывается что , то нет оснований подозревать, что нулевая гипотеза верна.

Если  Р<0,05, то нулевая гипотеза при этом уровне значимости признается ложной.

Основание для выбора 5% - го уровня значимости является исключительно только его  пригодность на практике: этот уровень, с одной стороны, достаточно велик  для отбрасывания ложных гипотез, а с другой стороны, он достаточно мал, так что приводит к отбрасыванию лишь немногих верных гипотез. Для более уверенных заключений применяется 1% - й уровень значимости.