Колесные носители как объекты управления

 

Полученные способы движения в заданную точку с заданной ориентацией корпуса позволяют строить переходы с одной кривой на другую. А это, в свою очередь, позволяет далее строить составные траектории движения системы.

Автономный колёсный робот является сложной управляемой электромеханической системой, состоящей из ходовой части и многоуровневой системы управления движениям. В нём одновременно протекают механические процессы движение робота — и информационные процессы — обработка сигналов измерительных устройств и формирование управляющих сигналов. Моделью механической части робота является система абсолютно твёрдых тел, соединённых 
цилиндрическими шарнирами.

Одно из тел системы, к  которому прикреплено п колёс, назовём платформой. Соответствующий ориентированный граф системы твёрдых тел имеет структуру дерева. Здесь ситуация оказывается обратной знаменитой 
задаче п тел: одноколёсные роботы (моноциклы) и двухколёсные 
(велосипеды), п < 3, в силу статической неустойчивости оказываются более сложными объектами исследования, чем трёхколёсные и четырёхколёсные системы, п > 3.) Колесо удерживается в вертикальном положении с помощью вилки, и его положение относительно платформы определяется двумя обобщёнными координатами: углом поворота вокруг вертикальной (поворотной) оси, фиксированной в платформе, и углом поворота вокруг горизонтальной (маршевой) оси. Горизонтальные оси колёс могут жёстко фиксироваться относительно платформы, в этом случае положение колеса относительно платформы определяется одним углом поворота вокруг горизонтальной оси. Если пренебречь проскальзыванием колёс в точке соприкосновения колёс с поверхностью. то возникают неголономные связи, определяющие набор псевдоскоростей 
системы.

 

 

 

 

2.Динамика мобильного робота

 

Задача о движении колесного  робота относится к довольно сложному разделу теоретической механики, посвященному исследованию движения систем абсолютно твердых тел с неголономными  связями . Даже в случае одного тела, катящегося по абсолютно твердой  поверхности, возникают нетривиальные  динамические эффекты. Их разгадка была найдена только в последнее время [2].

 

Особенностью неголономных систем является, в частности, особая методика составления дифференциальных уравнений движения, разработанная П. Аппе- лем, П.В. Воронцом и С.А. Чаплыгиным.

Для определенности далее  рассмотрим мобильный робот, который  имеет два независимо управляемых  моторизованных колеса. Пусть движение робота происходит в горизонтальной плоскости, третье колесо робота считается безынерционным, лишенным трения и закрепленным на шасси робота на вертикальной саморазворачивающейся вилке. На рис. 3 приведен общий вид шасси мобильного робота. При принятых допущениях его движение полностью определяется координатами {x, y} точки А — центра отрезка, соединяющего ведущие колеса шасси, и углом поворота ср, отсчитываемым от оси X.

Движение всех колес происходит без проскальзывания. Ведущие колеса 1 и 2 имеют радиус r и приводятся во вращение одинаковыми двигателями 4 и 5 соответственно, на которые подаются управляющие напряжения: U_L — для левого колеса 1 и U_R — для правого колеса 2. Поворот робота осуществляется с помощью разности указанных управляющих напряжений.

Движение робота рассматривается  относительно неподвижной системы  координат OXY. Подвижная система координат Axy с началом в точке А жестко связана с шасси робота. Ось x перпендикулярна отрезку, соединяющему центры ведущих колес, и является осью симметрии шасси. Положительное направление оси x совпадает с направлением движения робота. Центр масс робота находится в точке С; абсциссу точки C в подвижной системе обозначим через а. При положительных значениях а центр масс и третье колесо находятся впереди ведущих колес.

 

 

 

При равенстве напряжений, подаваемых на двигатели ведущих колес, дифференциальные уравнения движения мобильного робота имеют вид [3]

 

(1) 

Здесь V — скорость точки А, Q — угловая скорость робота, ц — параметр, пропорциональный коэффициенту сил вязкого трения, р — радиус инерции робота относительно оси, проходящей через центр масс, 21 — расстояние между центрами ведущих колес робота, p — положительный параметр, пропорциональный сумме напряжений, подаваемых на ведущие колеса робота.

 

В случае постоянства параметра p уравнения (1) описывают неуправляемое движение робота. При положительных значениях параметра а уравнения (1) имеют единственную особую точку

                                                                                                                   (2)

 

Частное решение (2) отвечает прямолинейному поступательному движению робота с постоянной скоростью V Это движение асимптотически устойчиво «в большом», то есть все решения уравнений (1) через некоторый промежуток времени будут сколь угодно мало отличаться от решения (2). Фазовый портрет системы (1) в этом случае показан на рис. 4, причем частное решение (2) представляет собой устойчивую особую точку типа «узел» [3, 4]

Ситуация меняется, когда  параметр а отрицателен, то есть центр масс и третье колесо находятся позади ведущих колес робота. При увеличении напряжения, подаваемого на двигатели, и росте его скорости

 

 

На плоскости , происходит бифуркация рождения, двух новых особых точек системы(1)

                (3)

 

 

Особые точки (3) являются устойчивыми узлами или фокусами. Механический смысл решений (3) состоит в таком вращательном движении робота с постоянной угловой скоростью, при котором точка A описывает окружность радиуса R = V*/Q *. При этом особая точка

становится неустойчивой и превращается в седло.

Соответствующий фазовый  портрет для системы дифференциальных уравнений (1) построен на рис. 5.

Обсуждаемые математические результаты означают, что в случае, когда ведущие колеса находятся впереди центра масс, мобильный робот может совершать устойчивое прямолинейное движение только со скоростью, не превосходящей некоторого предельного значения. С ростом напряжения, подаваемого на двигатели, скорость робота увеличивается. После достижения указанного предельного значения прямолинейное движение становится неустойчивым; робот «закручивает», и он стремится к одному из вращательных движений.

Будет ли финальное движение «правым» или «левым», заранее предсказать невозможно. Это определяется малыми возмущениями, существующими при движении реального робота.) В случае, когда третье колесо находится впереди ведущих колес, робот может устойчиво двигаться по прямой с любой скоростью¹. Разумеется, специальная система управления может стабилизировать движение робота и в случае, когда ведущие колеса находятся впереди, однако алгоритм этой системы управления должен учитывать природу неустойчивости, определяемую дифференциальными уравнениями (1).

 

 

3. О динамике трехколесного робота с деформируемыми колесами

Рассмотрим робот класса монотип . Данный робот представляет собой систему из четырех тел: платформы и трех колес. Центр масс платформы находится между осью, соединяющей два ведущих колеса, и передним опорным колесом.

 

Рис 6.

Движение робота происходит подачей напряжения на независимые двигатели, расположенные по одному около задних колес. Электромеханическая часть монотипа рассмотрена не будет. Изучим две модели робота. В первой будем полагать колеса твердыми, а во второй деформируемыми. Для модели с деформируемыми колесами будем предполагать массу деформируемой части пневматика пренебрежимо малой, будем учитывать продольную, поперечную и радиальную деформации. В настоящей работе предполагается исследовать динамику моделей монотипа с жесткими и деформируемыми колесами, изучить возможность стабилизации их стационарных движений. В случае возможности стабилизации стационарных движений предполагается сравнить результаты модельных экспериментов для переменных, не связанных с деформациями колеса.

Основные известные результаты по стабилизации движений неголономных систем относятся к случаям, когда число корней характеристического уравнения на мнимой оси после стабилизации наименьшее из возможных. При этом размерность стабилизирующего управления может оказаться больше минимально необходимой. Стабилизирующее управление предполагается отыскивать таким образом, чтобы число корней характеристического уравнения, расположенных слева от мнимой оси, стало возможно минимальным приложением управления как можно меньшей размерности. Коэффициенты стабилизирующего управления предполагается находить методом Н.Н.Красовского, который восходит к методу функций A.M. Ляпунова и методу 
динамического программирования Беллмана. При нахождении управляющих 
воздействий необходимо учитывать, что управление, приложенное по циклическим скоростям, в общем случае является естественным, а значит, не нужны дополнительные исполнительные механизмы, поэтому оно предпочтительно.

Получение уравнений движения

Для монотипа с твердыми колесами составим уравнения Воронца в переменных Лагранжа. Неголономными связями, выражающими отсутствие проскальзывания при качении колес, являются следующие уравнения

                  (9) 

 

Уравнения Воронца вместе с неголономными связями представляют собой 
замкнутую систему.

Для монотипа с деформируемыми колесами составим уравнения Лагранжа второго рода

(10)

 

 

где R - реакции связей. Здесь Mt - параметры деформации. В выражения для 
реакций связи входят силы и моменты, выражения для которых определены в используемой авторами феноменологической теории качения . Замкнем систему (10) 
уравнениями деформаций:

 

Уравнения движения не приводятся в статье из-за своей громоздкости.

Исследование устойчивости и стабилизации

Решение задачи стабилизации при конкретных числовых значения параметров осуществляется проверкой достаточного условия наблюдаемости и управляемости , определением коэффициентов оптимального стабилизирующего управления методом Н.Н. Красовского и численным интегрирование системы при конкретных числовых 
параметрах системы и начальных возмущениях. В рассматриваемых примерах 
рассматривались стационарные движения монотипа вдоль прямой. Очевидно, что учет деформаций колес приводит к увеличению размерности 
рассматриваемой системы, а следовательно, к увеличению сложности исследования задачи. Так, в нашем примере размерность системы равна 23. Данная проблема решается применением компьютерных методов. Использованное программное обеспечение Maple позволило численно моделировать и визуализировать рассмотренные примеры. Помимо большой размерности системы при рассмотрении моделей с 
деформируемыми колесами возникает проблема нахождения значений различных 
параметров, входящих в выражения для деформаций и реакций. Как указывалось выше, авторами используется феноменологическая теория. Данная теория носит эмпирический характер, многие параметры находятся экспериментальным путем для отдельно взятой шины. Причем даже небольшая погрешность при нахождении параметров деформации 
может серьезно повлиять на результат исследования динамики. Однако учет деформаций шины является необходимым условием более точного исследования системы, в частности, нахождения корректного стабилизирующего управления, которое должно адекватно 
реагировать на изменение поведения робота и зависит от параметров деформации колес.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Задачи исследования динамики движения 
мобильного робота и расчета управления им актуальны в связи с 
возрастающими требованиями к точности работы таких систем, 
необходимостью составления схем управления, обеспечивающих гладкие 
динамические движения, необходимостью учета влияния податливости колес на движение роботов.

В настоящее время мобильные  роботы распространены весьма широко. 
Они используются в лабораториях научных институтов и университетов, 
разрабатываются и модернизируются на различных предприятиях для решения 
специальных задач (переноса груза, работы в сложных условиях, 
информационной разведки), включаются в образовательные программы и 
участвуют соревнования, входят в повседневную жизнь человека в виде 
бытовых и игровых устройств. Но, несмотря на фундаментальные и 
прикладные исследования, задачи по управлению ими до конца не решены. 
Это связано с различиями кинематических схем аппаратов, различными 
условиями движения, а также с необходимостью учета реальных факторов 
движения при построении строгих математических моделей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  литературы

1. Мартыненко Ю.Л. Управление движением мобильных колесных роботов // 
   Фундаментальная и прикладная математика. 2005.
2. Сергеев К.А. Управление траекторным движением колесных роботов относительно подвижных объектов. (научн. рук. И.В. Мирошник). 2004 г.
3. Павловский В.Е, Евграфов В.В.,  Павловский В.В. , Петровская Н.В.  Динамика, моделирование, управление мобильными роботами.