Застосування поняття «Теореми додавання та множення ймовірностей»

Задача 3.  Найти вероятность того, что если бросить монету 200 раз, то орел выпадет от 90 до 110 раз.

Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами n = 200, p = q = 1/2 (вероятность выпадения орла/решки). Так как число n достаточно велико, будем использовать интегральную теорему Лапласа для подсчета вероятности: 
, где m1 =90, m2 = 110, Ф - функция Лапласа (значения берутся из таблиц). Подставляем:  
 
 
Ответ: 0,8414. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

РАЗДЕЛ 9

ТЕОРЕМА ПУАССОНА 

Задача 1. В здании 1000 лампочек. Вероятность выхода из строя одной лампочки в течение года p=0.003. Найдем вероятность того, что в течение одного года выйдет из строя более трех ламп. Выполним вычисления используя формулу Бернулли и по теореме Пуассона.

Для вычисления вероятности по формуле Бернулли используем формулу

P( λ > 3) = 1- P(λ   3) = 1- F_λ (3),

где F_λ (x) - функция распределения для биномиального распределения.

Для вычисления вероятности по теореме Пуассона используем формулу

P(λ > 3) = 1- P(λ     3) = 1- F_λ (3),

где F_λ (x) - функция распределения Пуассона с параметром λ = np = 3.

Выполним те же вычисления для p = 0.3 и n = 10 (λ = np =3).

Задача 2. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше трех изделий.

Решение. По условию дано: n=500, p=0,004, λ=np=2.

По теореме  сложения вероятностей:

P=P₅₀₀(0)+P₅₀₀(1)+P₅₀₀(2)=e^-2+ e^-2+ e^-2=5 e^-2=0,68

Ответ: 0,68

Задача 3.  Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.

Решение: По условию дано: n=1000, p=0,003, λ=np=3.

Получаем:

Ответ: 0,5678 
 
 
 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

      Теория  вероятностей – это математическая наука, изучающая математические модели массовых случайных явлений. В теории вероятностей используются результаты и методы многих областей математики (комбинаторики, математического анализа, алгебры, логики и т. п.). Однако теория вероятностей обладает некоторым своеобразием, поскольку она очень тесно  связана с различными приложениями, причем приложения эти не столь привычны, как, например, приложения алгебры или  дифференциальных уравнений. Задачи теории вероятностей также необычны и часто  имеют нематематическую постановку. Это в первую очередь объясняется  тем, что зарождение теории вероятностей связано с комбинаторными задачами азартных игр. Азартные игры трудно считать  серьезным занятием. Но именно они  привели к задачам, которые не укладывались в рамки существовавших математических соотношений и стимулировали  тем самым поиск новых понятий, подходов и идей.

      Подобно другим математическим наукам, теория вероятностей развивалась из потребностей практики и представляла собой прикладную дисциплину. В связи с этим ее понятия и выводы имели характерные  черты тех областей знаний, в которых  они были получены. Лишь постепенно выкристаллизовалось то общее, что  присуще вероятностным схемам, независимо от области их приложения и что  позволило превратить теорию вероятностей в надежный, точный и эффективный  метод познания. 
 
 
 
 
 

СПИСОК  ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 

1. В.Е. Гмурман Теория вероятностей и математическая статистика. М., ВШ, 1977.
2. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей, ОНТИ, 1936.
3. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М.: Физматгиз, 1961.
4. Мешалкин Л.Д. Сборник задач по теории вероятностей. – М.: Изд-во МГУ, 1992.
5. Ежова Л.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Основы математики для экономистов. Вып. 9: Учеб. Пособие. - Иркутск: Изд-во ИГЭА, 2000.
6. Теория вероятностей: Учебное пособие / Ежова Л.Н., Абдуллин Р.З., Калашникова Л.С., Никулина С.И., Леонова О.В.. - Иркутск: изд-во ИГЭА. - 1996.
7. Беляев Ю.К., Носко В.П. Основные понятия и задачи математической статистики. - М.: Изд-во МГУ, ЧеРо, 1998.
8. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. - М.: Наука, 1983.
9. Теория вероятности. Примеры  решения типовых задач

www.exponenta.ru/

10. Задачи по математической статистике

www.zadanonadom.ru

11. Задачи по теории вероятностей

www.webmath.ru/web

12. Теория вероятностей. Задачи.

www.bankzadach.ru

13. Практическое решение задач по теории вероятностей

www.physics-files.narod.ru

14. Задачи по теории вероятностей. Примеры оформления

www.matburo.ru/shop

15. Помощник по теории вероятностей. Руководство к е решению

www.allmath.ru/