МІНІСТЕРСТВО   ОСВІТИ   І   НАУКИ,   МОЛОДІ   ТА   СПОРТУ   УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ   НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 
 
 

Кафедра теорії ймовірностей

та  математичної  статистики

Спеціальність  «Статистика» 
 
 
 

Курсова робота 

на тему: Застосування поняття «Теореми додавання та множення ймовірностей» в курсі «Теорії ймовірностей та математичної статистики» 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                               виконала студентка

                                                                                  1-го курсу групи «А»

Куріліна Юлія Олегівна

                                                                              науковий курівник

                                                                   Дзундза А.І. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Донецьк 2011

СОДЕРЖАНИЕ 
 
 

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………………    3

РАЗДЕЛ  1.  КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ  ВЕРОЯТНОСТИ … 4-5  

РАЗДЕЛ  2.  ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ……………………6-7

РАЗДЕЛ  3.  ФОРМУЛА УСЛОВНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ………………..8-9

РАЗДЕЛ  4.  ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ…………………10-11

РАЗДЕЛ  5.  ФОРМУЛА БАЙЕСА……………………………………….12-13

РАЗДЕЛ  6.  ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕННЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ…………………………………………………………. 14-15

РАЗДЕЛ  7.  ЛОКАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ………. 16-17

РАЗДЕЛ  8.  ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА…………………………………………………………………...18-20

РАЗДЕЛ  9.  ТЕОРЕМА ПУАССОНА……………………………………… 21

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………….. 22

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………...23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 
 

Весь  мир построен на вероятности, любое  событие, которое мы ожидаем, может  произойти. Необычный характер теоретико-вероятностных  событий является причиной того, что  предмет теории вероятности отличается большим своеобразием.

Теория  вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных  явлений (явлений с неопределённым исходом, происходящих при неоднократном  воспроизведении определённого  комплекса условий).

Теория  вероятности, в наше время, занимает очень важное место в математической статистике, она является основой  математического аппарата и прикладных аспектов. Используя результаты, полученные теорией вероятностей, математическая статистика позволяет не только оценить значения искомых характеристик, но и выявит степень точности получаемых при обработке данных выводов.

Сейчас  теория вероятности очень актуальна, это большой, интенсивно развивающийся  раздел математики. Непосредственный подсчёт случаев, благоприятствующих данному событию, может оказаться затруднительным. Поэтому для определения вероятности события бывает выгодно представить данное событие в виде комбинации некоторых других, более простых событий. В данной работе мы обратим внимание на основные правила, используемые в теории вероятностей, а именно, теоремы сложения и умножения вероятностей.

1. Правило произведения

Если  первое событие может произойти  n₁ способами, а второе - n₂ способами независимо от первого, то совместная реализация может произойти n₁×n₂ способами.

2. Правило сложения

Если  первое событие может произойти  n₁ способами, а второе - n₂ способами независимо от первого, то первое или второе события могут произойти n₁+n₂ способами. 

Задача  данной работы – представить решение 27 задач по теории вероятности и  математической статистике.

Цель исследования – научиться на практике применять элементы теории вероятностей и математической статистики. 
 
 
 
 

РОЗДЕЛ   1

КЛАССИЧЕСКОЕ  ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 

Задача 1. Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что все ящики не пустые.

Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных исходов. 

m = 6, так  как есть только три случая  расположения 6 шаров по 3 ящикам, чтобы  во всех ящиках оказалось разное  число шаров: (1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (3, 1, 2). Всего случаев расположения 6 шаров по 3 ящикам, чтобы ни один  ящик не остался пустым равно

 
 
Тогда искомая вероятность P=6/10.  
 
Ответ: 0,6.

Задача 2. На каждой из пяти одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: "а", "м", "р", "т", "ю". Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех вынутых по одной карточке можно прочесть слово "юрта".

Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных исходов. 

n = 5*4*3*2 = 120 способов, так как первую карточку (букву) можно вытянуть (выбрать) 5 способами (так как всего карточек  пять), вторую - 4 (осталось к этому  шагу четыре), третью - 3 и четвертую  - 2 способами. m = 1, так как искомая  последовательность карточек "ю", потом "р", потом "т", потом "а" только одна. 

Получаем P=1/120.

Ответ: 1/120.

Задача 3. Цифры 1, 2, 3, …, 9, выписанные на отдельные карточки складывают в ящик и тщательно перемешивают. Наугад вынимают одну карточку. Найти вероятность того, что число, написанное на этой карточке: а) четное; б) двузначное.

Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где n - число всех возможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события.

Случай  а). n = 9, так как всего 9 различных  карточек. m = 4, так как всего на 4 карточках написаны четные числа (2, 4, 6, 8). Тогда P=4/9. 
 
Случай б). n = 9, так как всего 9 различных карточек. m = 0, так как на всех карточках написаны однозначные числа. Тогда P=0/9=0.  
 
Ответ: 4/9, 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

РАЗДЕЛ  2

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ  ВЕРОЯТНОСТИ

 

Задача 1. На окружности даны точки А и В, причем эти точки не являются диаметрально противоположными. На этой же окружности выбирается точка С. Найти вероятность того, что отрезок ВС пересечет диаметр окружности, проходящий через точку А.

Решение: Пусть длина окружности равна L. Интересующее нас событие К «отрезок ВС пересекает диаметр DA» наступает, только если т.С лежит на полуокружности DA, не содержащей точку В. Длина этой полуокружности равна L. 

     

.

Ответ: 1/2

Задача 2. Дуэли в городе Осторожности редко кончаются печальным исходом. Дело в том, что каждый дуэлянт прибывает на место встречи в случайный момент времени между 5 и 6 часами утра и, прождав соперника 5 минут, удаляется. В случае же прибытия последнего в эти 5 минут дуэль состоится. Какая часть дуэлей действительно заканчивается поединком?

Решение:  Пусть х и  у обозначают время прибытия 1-го т 2-го дуэлянтов соответственно, измеренное в долях часа начиная с 5 часов.

 

Дуэлянты  встречаются, если , т.е. x - < y < x + .

Изобразим это на чертеже. Заштрихованная часть квадрата отвечает случаю, когда дуэлянты встречаются.

Площадь всего квадрата 1, площадь заштрихованной части:

     

.

Значит, шансы на поединок равны  .

Ответ: 1/6

Задача 3.  Из треугольника АВС случайным образом выбирается точка Х. Найти вероятность того, что она принадлежит треугольнику, вершинами которого являются середины сторон треугольника.

Решение: Средние линии треугольника разбивают его на 4 равных треугольников. Значит,  

Вероятность того, что точка Х принадлежит  треугольнику KMN, равна:

     

Вывод: Вероятность попадания точки в некоторую фигуру прямо пропорциональна площади этой фигуры. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

РАЗДЕЛ 3

УСЛОВНАЯ  ВЕРОЯТНОСТЬ 

Задача 1. Какова вероятность того, что 2 карты, вынутые из колоды в 36 карт, окажутся одной масти?

Решение. Сначала подсчитаем вероятность того, что две карты окажутся одной определенной масти (например «пики»). Пусть А - появление первой карты такой масти, В - появление второй карты той же масти. Событие В зависит от события А, т.к. его вероятность меняется от того, произошло или нет событие А. Поэтому придется воспользоваться теоремой умножения в ее общей форме:

,  
где   (после вынимания первой карты осталось 35 карт, из них той же масти, что и первая - 8).

Получаем:  
.

События, состоящие в том, что будут  вынуты две карты масти «пики», масти «треф» и т.д., несовместны  друг с другом. Следовательно, для  нахождения вероятности их объединения  воспользуемся теоремой сложения: 
.

Ответ: 8/35

Задача 2. В игорном клубе половина игроков честные, половина – шулеры. Вероятность вытащить из колоды короля равна 1/8. Для шулера эта вероятность равна 1. Сидящий перед вами игрок вытаскивает из колоды короля с первого раза. С какой вероятностью перед вами шулер?

Задача 3. В трамвайном парке имеются 15 трамваев маршрута №1 и 10 трамваев маршрута №2. Какова вероятность того, что вторым по счету на линию выйдет трамвай маршрута №1?

Решение. Пусть  А - событие, состоящее в том, что на линию вышел трамвай маршрута №1, В - маршрута №2.

Рассмотрим  все события, которые могут при  этом быть (в условиях нашей задачи):АА, АВ, ВА, ВВ. Из них нас будут интересовать только первое и третье, когда вторым выйдет трамвай маршрута №1.