Связь экспоненциального распределения с распределением Пуассона

    a = λτ,  (1.12)

    где λ — плотность потока (среднее число событий, приходящееся на единицу времени). 
 

    Вероятность того, что за время τ произойдет ровно m событий, будет равна:

    

    (1.13)

    Вероятность того, что участок окажется пустым (не произойдет ни одного события):

    

    (1.14)

    Вероятность появления хотя бы одного события:

    

    (1.15)

    Вероятность того, что в интервале времени  τ  произойдет не менее к событии:

    

    

    (1.16)

    Важным  свойством закона Пуассона является то, что он является предельным для  биномиального распределения:

    

    (1.17)

    если  одновременно устремлять число опытов п к бесконечности, а вероятность P – к нулю, причем их произведение пр сохраняет постоянное значение:

    np = a  (1.18)

    Это предельное свойство биномиального  распределения можно записать в  виде:

    

    (1.19)

    Предельное  свойство биномиального закона часто  находит применение на практике. Допустим, что производится большое количество независимых опытов п, в каждом из которых событие A имеет очень  малую вероятность Р. Тогда для  вычисления вероятности Рnm того, что событие А появится равно т раз, можно воспользоваться приближенной формулой:

    

    (1.20)

    где пр = а — параметр закона Пуассона, которым приближенно заменяется биномиальное распределение.

    От  этого свойства закона Пуассона —  выражать биномиальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности события — происходит его название, часто применяемое в учебниках статистики: закон редких явлений.

    Уместно заметить, что если при биномиальном распределении вероятностей (р + q)n, величины р и q не сильно отличаются друг от друга (не более чем на 2 порядка), например, p = 0,1 и = 0,9 или р = 0,5 и q = 0,5, то при увеличении числа опытов n→∞ асимптотой биномиального распределения будет нормальный закон распределения.

    Если  же р и q резко отличаются, т. е. p→0 или q→ 0, то при п→∞асимптотой биномиального распределения будет закон Пуассона (закон редких явлений).

    Таким образом, биномиальное распределение  сводится в пределе к двум —  нормальному и пуассоновскому. 
 
 
 
 
 
 

    

4. Связь между экспоненциальным распределением и  распределением Пуассона на примере модели чистого рождения

 

    Модель  обслуживающей системы, представленная только поступлением клиентов, называется моделью чистого рождения.

    Пусть p0(t) — вероятность отсутствия событий (поступления клиентов) за период времени  t. При условии, что длина интервала времени Т между поступлениями клиентов описывается экспоненциальным распределением с интенсивностью λ, будем иметь:

    p0(t) = P {интервал времени T ≥ t} = 1 - P {интервал времени T ≤ t} = 1 - (1 - e-λt) = e-λt.

    При достаточно малом интервале времени h > 0 имеем:

    p0(h) = e-λh = 1 - λh + (λh)2/2! - ... = 1 - λh + O(h2).

    Экспоненциальное  распределение базируется на предположении, что на достаточно малом временном  интервале h > 0 может наступить  не более одного события (поступления клиента). Следовательно, при h → 0 p1(h) = 1 - p0(h) ≈ λh.

    Этот  результат показывает, что вероятность  поступления клиента на протяжении интервала h прямо пропорциональна h с коэффициентом пропорциональности, равным интенсивности поступлений  λ.

    Чтобы получить распределение числа клиентов, поступивших на протяжении некоторого интервала времени, обозначим через pn(t) вероятность поступления n клиентов на протяжении времени t. При достаточно малом h > 0 имеем следующее:

    pn(t + h) ≈ pn(t)(1 - λh) + pn-1(t)λh, n > 0,

    p0(t + h) ≈ p0(t)(1 - λh), n = 0.

    Из  первого уравнения следует, что  поступление п клиентов на протяжении времени t + h возможно в двух случаях: если имеется n поступлений на протяжении времени t и нет поступлений за время h, или существует n - 1 поступлений за время t и одно поступление за время h. Любые другие комбинации невозможны вследствие того, что на протяжении малого периода h возможно наступление только одного события. В соответствии с условием независимости событий к правой части уравнения применим закон умножения вероятностей. Во втором уравнении отсутствие поступлений клиентов на протяжении интервала t + h возможно лишь тогда, когда нет поступлений клиентов за время h.

    Перегруппировывая члены и переходя к пределу  при h → 0, получаем следующее.

    

    Решение приведенных выше разностно-дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

    

    В данном случае мы получили дискретную плотность вероятности распределения  Пуассона с математическим ожиданием M{n | t} = λt поступлений за время t. Дисперсия распределения Пуассона также равна λt. Полученный результат означает, что всякий раз, когда временные интервалы между моментами последовательных поступлений заявок распределены по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 1/λ, число поступлений заявок в интервале, равном t единиц времени, характеризуется распределением Пуассона с математическим ожиданием λt. Верным является и обратное утверждение. Соответствие между экспоненциальным распределением (с интенсивностью поступлений λ) и распределением Пуассона показано в следующей таблице.  
 
 
 
 

    Таблица 1. Соответствие между  экспоненциальным распределением и распределением Пуассона

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5. Применение  модели чистого рождения

 

    В небольшом штате каждые 12 минут  рождается ребенок. Время между  рождениями распределено по экспоненциальному  закону. Требуется определить следующее:

     1. Среднее число рождений за  год.

     2. Вероятность того, что на протяжении  одного дня не будет ни одного рождения.

     3. Вероятность выдачи 50 свидетельств  о рождении к концу третьего  часа, если известно, что на протяжении  последних двух часов было  выдано 40 таких свидетельств.

    Вычислим  интенсивность рождений за день: λ = (24 * 60) / 12 = 120 рождений за день.

    Интенсивность рождений в штате за год равна  λt = 120 * 365 = 43800 рождений.

    Вероятность того, что на протяжении одного дня  не родится ни один ребенок, вычисляется  с использованием пуассоновского распределения    p0(1) = [(120 * 1)0e-120 * 1]/0! ≈ 0.

    Для вычисления вероятности выдачи 50 свидетельств о рождении к концу третьего часа при условии, что на протяжении последних  двух часов было выдано 40 таких свидетельств, заметим, что, поскольку распределение  числа рождений является пуассоновским, искомая вероятность сводится к вероятности появления 10 (= 50 - 40) рождений за один (= 3 - 2) час. Так как λ = 60/12 = 5 рождений за час, то p10(1) = [(5 * 1)10e-5 * 1]/10! = 0,01813. 
 
 
 
 
 
 

6. Список  литературы

 
   

1. Зорин В.В. Надежность систем электроснабжения. / В.В. Зорин и др. - К.: Вища шк.. 1984. - 192 с.
2. Савоськин Н.Е. Надежность электрических систем. Учебное пособие/ Пензенский гос. ун-т. – Пенза, 2004. – 102с.
3. Волков Н.Г. Надежность электроснабжения. Учеб. пособие/ Том. политех. ун-т. – Томск, 2003. – 140с.
4. Конюхова Е.А. Надежность электроснабжения промышленных предприятий. / Е.А. Конюхова, Э.А. Киреева. – М.: НТФ «Энергопрогресс», 2001. - 92с.; ил. [Библиотечка электротехника, приложение к журналу «Энергетик»; Вып. 12 (36)]
5. Биллинтон Р. Оценка надёжности электроэнергетических систем: Пер. с англ. / Р. Биллинтон, Р. Аллан. – М.: Энергоатомиздат, 1988, -288 с.
6. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. - М.: Наука. 1969. -576 с.
7. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для втузов. Изд. 5-е перераб. и доп. - М: Высш. школа, 1977. - 479 с.