Связь экспоненциального распределения с распределением Пуассона

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

   ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

   ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ 

   МОСКОВСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ ЭЛЕКТРОНИКИ И  АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ) 
 
 
 
 
 

   КУРСОВАЯ  РАБОТА 

   по  дисциплине: 

   Надёжность  и испытание ИРЭ 

   на  тему: 

   «Связь экспоненциального распределения

   с распределением Пуассона» 
 
 
 
 
 
 

         Выполнил  студент гр. ЭС-11-07

         Маслов  К.И. 
 

         Преподаватель

         Гродзенский С. Я.  
 
 
 
 
 
 
 

   Москва, 2011 
 

Содержание 

  

1. Введение
2. Экспоненциальное распределение
3. Распределение Пуассона
4. Связь между экспоненциальным распределением и распределением Пуассона на примере модели чистого рождения
5. Применение модели чистого рождения
6. Список литературы

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Введение

 

    Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.

    Важный  вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В  первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышёв, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

    Основной  целью реферата является выявление связи между экспоненциальным распределением и распределением Пуассона. 
 
 
 
 

2. Экспоненциальное  распределение

 

    Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Т, которое описывается плотностью:

    

    (1.1) 

    где λ — постоянная положительная  величина.

    В определенных случаях принимают  λ=λ(t)=const, это можно делать когда:

    — есть оборудование, у которого контроль перед вводом в эксплуатацию отсеивает почти все дефектные элементы;

    — есть элементы, которые практически  не стареют;

    — у большинства элементов  имеется  длительный период, на котором интенсивность  отказов практически постоянна.

    Из  выражения (1.1) видно, что показательное распределение определяется одним параметром λ. Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров.

    Графики плотности и функции распределения показательного закона показаны на рисунке 1.1. 

    

    Рисунок 1.1 — Графики плотности f (t) и функции распределения F (t) показательного закона. 

    Найдем  вероятность попадания в интервал (а, в) непрерывной СВ  Т. Эта вероятность  есть приращение функции распределения непрерывной СВ Т на заданном интервале ( рисунок 1.2). 

    

    Рисунок 1.2 — Приращение функции  распределения в  интервале (а, в) 

    Учитывая, что: F (a) = 1 – e-λa, F (в) = 1 – e-λв.

    Получим:

    P (a<T< в) = e-λa – e-λв. (1.2)

    Числовые  характеристики показательного распределения следующие:

    — математическое ожидание:

    mt = M (T) = 1/λ  (1.3)

    — дисперсия величины Т:

    Д(T) = 1/λ2 (1.4)

    — среднее квадратическое отклонение:

    σt =  = 1/λ     (1.5)

    — среднее время безотказной работы (средняя наработка до отказа):

    Tср = 1/λ. (1.6)

    Показательное распределение широко применяется  на практике, в частности в теории надежности, одним из основных понятий  которой являются функция надежности и функция ненадежности.

    Вероятность безотказной работы за время длительностью  t будет равна:

    R (t) = P (T > t) = 1 – F (t).           (1.7)

    Функцию R (t), определяющую вероятность безотказной  работы элемента за время длительностью t   называют функцией надежности.

    Функция распределения F (t) = Р(Т<t) определяет вероятность отказа время длительностью t и называется функцией ненадежности.

    На  практике длительность времени безотказной  работы элемента часто имеет показательное  распределение с функцией распределения:

    F (t) = 1-e-λt.                         (1.8)

    Поэтому, согласно выражению (1.7), функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента будет иметь вид:

    R (t) = 1 — F (t)= e-λt                  (1.9)

    Функцию надежности, определяемую равенством (1.7), называют показательным законом надежности. Основное свойство этого закона состоит в том, что вероятность безотказной работы не зависит от времени предшествующей работы, а зависит только от рассматриваемого интервала времени. Это значит, что будущее поведение объекта не зависит от прошлого, если в настоящий момент он работоспособен. 

    Графики, характеризующие вероятность отказа Q (t) и вероятность безотказной  работы P (t), представлены на рисунке 1.3. 

    

    Рисунок 1.3 – Вероятность отказа Q (t) и безотказной

    работы P (t) при экспоненциальном законе распределения 

3. Распределение Пуассона

 

    Это распределение также как и  биномиальное описывает характеристики дискретных СВ.

    Рассмотрим  дискретную СВ X, которая может принимать  только целые, неотрицательные значения: 0, 1, 2,...,m, причем последовательность этих значении теоретически не ограничена.

    СВ X распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение m,выражается формулой: 

    

    (1.10)

    где а — некоторая положительная  величина, называемая параметром закона Пуассона.

    Последовательность вероятностей, задаваемая формулой (1.10), представляет собой ряд распределения, т. е. сумма всех вероятностей Рm равна единице и имеет вид:

 

    Зададим параметру а некоторые численные  значения и определим вероятности Рm для различных значений т по формуле (1.10). В результате этих действии получим данные рядов распределения. На их основе построены многоугольники распределения СВ X, распределенной по закону Пуассона (рисунок 1.4).

    Из  рисунка 1.4 видно, что в зависимости от параметра а многоугольники распределения имеют существенные различия и по форме похожи на другие известные законы распределения СВ. 

    

    Рисунок 1.4 — Многоугольники распределения 

    Одной из основных числовых характеристик  СВ X, распределенной по закону Пуассона, является математическое ожидание:

    

    (1.11)

    После некоторых преобразовании получим:  mx = а. Таким образом, параметр а представляет собой не что иное, как математическое ожидание СВ X.

    Другая  числовая характеристика – дисперсия, которая тоже равна параметру а, т. е. Дх = а.

    Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна  ее математическому ожиданию а:

    mx =Дх = a (1.11)

    Это свойство распределения Пуассона часто  применяется на практике для решения  вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что СВ X распределена по закону Пуассона. Для этого определяют из опыта статистические характеристики — математическое ожидание и дисперсию. Если их значения близки, то это может служить основанием в пользу гипотезы о пуассоновском распределении.

    В задачах энергетики наибольший интерес  представляют потоки событии, распределение  которых описывается законом  Пуассона.

    Под потоком событий понимается последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Примерами могут служить: поток вызовов на телефонной станции; поток включений приборов в бытовой электросети; поток сбоев электронной вычислительной машины; потоки отказов энергетических объектов (выключателей, разъединителей, трансформаторов и др.) в достаточно большой системе и     т. п.

    События, образующие поток, в общем случае могут быть различными, но мы будем  рассматривать лишь поток однородных событий, различающихся только моментами  появления. Такой поток можно  изобразить как последовательность точек t1, t2, ..., tk на числовой оси (рисунок 1.5).

    

    Рисунок 1.5 — Представление  потока событий 

    Рассмотрим  на оси 0t простейший поток событий  как неограниченную последовательность случайных точек (см. рисунок 1.5). Выделим произвольный участок времени длиной τ. Доказано, что при условиях стационарности, отсутствия последействия и ординарности потока событий, число точек, попадающих па участок τ, распределено по закону Пуассона с математическим ожиданием: