Статистика уровня жизни населения Амурской области

     Коэффициент a = -4940.49 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными  значениями.

     Но  если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация  может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

     Подставив в уравнение регрессии соответствующие  значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

     Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 –  прямая связь, иначе - обратная). В нашем  примере связь прямая.

     1.3. Коэффициент эластичности.

     Коэффициенты  регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х.

     Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета - коэффициенты.

     Средний коэффициент эластичности E показывает, на сколько процентов в среднем  по совокупности изменится результат  у от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения.

     Коэффициент эластичности находится по формуле: 
 

     Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится  менее чем на 1%. Другими словами  - влияние Х на Y не существенно.

     Бета  – коэффициент показывает, на какую  часть величины своего среднего квадратичного  отклонения изменится в среднем  значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического  отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных: 

     Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического  отклонения S_x приведет к увеличению среднего значения Y на 0.91 среднеквадратичного отклонения S_y.

     1.4. Ошибка аппроксимации.

     Оценим  качество уравнения регрессии с  помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее  отклонение расчетных значений от фактических: 

     Ошибка  аппроксимации в пределах 5 % - 7% свидетельствует  о хорошем подборе уравнения  регрессии к исходным данным. 

     Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

     1.5. Эмпирическое корреляционное отношение.

     Эмпирическое  корреляционное отношение вычисляется  для всех форм связи и служит для  измерения тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1]. 
 

     где 

     Индекс  корреляции.

     Для линейной регрессии индекс корреляции равен коэфииценту корреляции r_xy = 0.9054.

     Полученная  величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y

     Для любой формы зависимости теснота  связи определяется с помощью  множественного коэффициента корреляции: 

     Данный  коэффициент является универсальным, так как отражает тесноту связи  и точность модели, а также может  использоваться при любой форме  связи переменных. При построении однофакторной корреляционной модели коэффициент множественной корреляции равен коэффициенту парной корреляции r_xy.

     В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту  нелинейной связи и не характеризует  ее направление. Изменяется в пределах [0;1].

     Теоретическое корреляционное отношение для линейной связи равно коэффициенту корреляции r_xy.

     1.6. Коэффициент детерминации.

     Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного  признака, объясненную вариацией  факторного признака.

     Чаще  всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

     R²= 0.9054² = 0.8197

     т.е. в 81.97 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 18.03 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

     Таблица 39 - Расчетная

 

      2. Оценка параметров уравнения  регрессии.

      2.1. Значимость коэффициента корреляции. 

      По  таблице Стьюдента с уровнем  значимости α=0.05 и степенями свободы k=9 находим t_крит:

      t_крит (n-m-1;α/2) = (9;0.025) = 2.262

      где m = 1 - количество объясняющих переменных.

      Если t_набл > t_критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).

      Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим

      В парной линейной регрессии t²_r = t²_b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

      2.2. Интервальная оценка для коэффициента  корреляции (доверительный интервал). 

      Доверительный интервал для коэффициента корреляции 

      r(0.7825;1.0283)

      2.3. Анализ точности определения  оценок коэффициентов регрессии.

      Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина: 
 

      S²_y = 338216.25 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии). 

      S_y = 581.56 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

      S_a - стандартное отклонение случайной величины a. 
 

      S_b - стандартное отклонение случайной величины b. 
 

      2.4. Доверительные интервалы для  зависимой переменной.

      Экономическое прогнозирование на основе построенной  модели предполагает, что сохраняются  ранее существовавшие взаимосвязи  переменных и на период упреждения. Для прогнозирования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов.

      Прогнозные  значения факторов подставляют в  модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя.

      (a + bx_p ± ε)

      где 

      X_p = 10389.15 • 10 % = 0

      Рассчитаем  границы интервала, в котором  будет сосредоточено 95% возможных  значений Y при неограниченно большом  числе наблюдений и X_p = 11428 

      (-4940.49 + 0.18*11428 ± 402.17)

      (-3274.73;-2470.4)

      С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно  большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

      Индивидуальные  доверительные интервалы для Y при  данном значении X.

      (a + bx_i ± ε)

      где 
 

      t_крит (n-m-1;α/2) = (9;0.025) = 2.262

      Таблица 40 - Расчетная