Статистические игры

МИНИСТЕРСТВА ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ 

КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ

КЫРГЫЗСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

имени ЖУСУПА БАЛАСАГЫНА

факультет Математики, информатики  и кибернетики

Кафедра Кибернетики и  информационной технологии

 

Самостоятельная работа студента

 

на  тему: « СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ »

 

 

 

 

Выполнила: ст. гр. ПИЭ-10 Мыктыбекова И. М.

Проверил: доцент. каф. «КиИТ» Темиров Б. Ж.

 

 

Оглавление

 

Введение 3

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ 4

1.2. СВОЙСТВА СТАТИСТИЧЕСКИХ ИГР 6

2.1. ВЫБОР ФУНКЦИЙ РЕШЕНИЯ 10

2.2. МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 15

Заключения 18

ЛИТЕРАТУРА 19

 

 

 

 

 

Введение

    Обычно теорию игр  определяют как раздел математики  для изучения конфликтных ситуаций. Это значит, что можно выработать оптимальные правила поведения каждой стороны, участвующей в решении конфликтной ситуации.

   В экономике, например, оказался  недостаточным аппарат математического анализа, занимающийся определением экстремумов функций. Появилась необходимость изучения так называемых оптимальных минимаксных и максимальных решений. Следовательно, теорию игр можно рассматривать как новый раздел оптимизационного подхода, позволяющего решать новые задачи при принятии решений.

Игра - упрощенная формализованная модель реальной конфликтной ситуации. Математически формализация означает, что выработаны определенные правила действия сторон в процессе игры: варианты действия сторон; исход игры при данном варианте действия; объем информации каждой стороны о поведении всех других сторон.

 

     Статистические игры как математические модели принятия оптимальных решений в условиях неопределённости и риска находят всё более широкое применение в экономике, технике, математической статистике. Статистические модели представляют собой игру двух лиц (человека и природы) с использованием человеком дополнительной статистической информации о состояниях природы.

Функция риска зависит от множества  состояний природы и от множества  функций решения и принимает  значение, выраженное действительными числами. Она определяет математическое ожидание функции потерь при некотором состоянии природы и известной статистику функции распределения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

1.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Создателем теории статистических игр считается А. Вальд. Он показал, что в теории принятия решений статистические игры являются основным подходом, если решение принимается в условиях частичной неопределенности.

Статистические модели представляют собой игру двух лиц (человека и природы) с использованием человеком дополнительной статистической информации о состояниях природы.

Она существенно отличается от антагонистической  игры двух лиц с нулевой суммой, где выигрыш одного равен проигрышу  другого.

В статистической игре природа не является разумным игроком, который стремится выбрать для себя оптимальные стратегии. Этот игрок не заинтересован в выигрыше. Другое дело человек, в данном случае статистик. Он имеет целью выиграть игру с воображаемым противником, т. е. с природой.

Игрок-природа не выбирает оптимальной  стратегии, но статистик должен стремиться к определению распределения вероятностей состояния природы. Следовательно, основными отличиями статистической игры от стратегической являются:

• отсутствие стремления к выигрышу у игрока-природы, т. е. отсутствие антагонистического противника;

• возможность второго игрока - статистика провести статистический эксперимент для получения дополнительной информации о стратегиях природы.

Так, например, статистик, работающий в фирме «Одежда», может изучить  многолетние данные о погодных условиях в местностях, где одежда будет  продаваться, и в зависимости  от наиболее вероятного состояния погоды выработать рекомендации, куда и какое количество партий изделий отправлять, где выгоднее и на каком уровне провести сезонное снижение цен и т. д.

Таким образом, теория статистических решений является теорией проведения статистических наблюдений, обработки  этих наблюдений и их использования.

В теории статистических решений основные правила могут быть детерминированными и рандомизированными.

В статистических играх используются понятия: риск (функция риска), потери (функция потерь), решение (функция решения), функции распределения при определенных условиях.

Необходимо пояснить понятие рандомизации. Это статистическая процедура, в которой решение принимается случайным образом. Математическая энциклопедия это определяет более подробно: «Статистическая процедура принятия решения, в которой по наблюденной реализации х случайной величины Х решение принимается с помощью розыгрыша по вероятностному закону, называется рандомизацией»*.

* Математическая энциклопедия. Т.4. - М.: Советская энциклопедия, 1984. - С. 865.

 

Введем условные обозначения:

В или W - множество состояний природы;

В. или Q_j - отдельное состояние природы, Q_j Î W;

А — множество действий (решений) статистика;

а - отдельное решение статистика, a Î А;

L - функция потерь. Множества W и А предполагаются численно определенными, поэтому представляется возможным установить распределение вероятностей. Если принятое статистиком решение a Î А и состояние природы Q Î W, то функция потерь запишется L(Q; a);

D - совокупность всех нерандомизированных (чистых) функций решения;

d( ) - функция решения; - случайный вектор. Характеристикой функции решения является функция потерь. Статистик может перед принятием одного из возможных решений провести эксперимент, который заключается в наблюдении случайной переменной х. В итоге представляется возможным получить распределение этой случайной переменной в зависимости от состояния природы Q;

F(x|Q) - функция условного распределения случайной переменной х. Предполагается, что для каждого состояния природы Q известно значение функции F(x|Q);

п - объем выборки;

x_Q — множество всех выборок объема п. После получения результата эксперимента х статистик использует некоторую функцию решения и принимает одно из решений а Î А, когда результат эксперимента - вектор :

R — функция риска;

R(Q,d) - функция риска, определенная на прямом произведении W´D множества состояний природы и множества решений.

Игра (W, A, L) - исходная стратегическая игра, соответствующая стратегической задаче принятия решения;

G = (W, D, R) - статистическая игра;

s - рандомизированная функция решения;

D* - множество случайных функций решения, s Î D*. Подразумевается, что D Ì D*, так как чистая функция решения (нерандомизированная) может быть рассмотрена как смешанная, которая используется с вероятностью, равной 1;

G(Q) - функция априорного распределения состояний природы Q;

X - совокупность всех априорных распределений x Î X.

1.2. СВОЙСТВА СТАТИСТИЧЕСКИХ ИГР

 

Функция решения, отображающая множество  выборок X_Q в множество решений статистика A, называется нерандомизированной (чистой) функцией решения статистика. Так, по результатам эксперимента статистик определяет, какое решение а Î А он должен выбрать. Для выбора из множества D наилучшей функции решения он использует функцию риска.

Функция риска зависит от множества  состояний природы и от множества  функций решения и принимает  значение, выраженное действительными числами. Она определяет математическое ожидание функции потерь при некотором состоянии природы Q и известной статистику функции распределения F( |Q), когда а=d( ).

Представим функцию риска:

,

где   M - знак математического ожидания;

L(Q, a) - функция потерь при состоянии природы Q и d( ) = a.

В теории статистических функций любую  неотрицательную функцию L, определенную прямым произведением W´D, называют функцией потерь. Значение L(Q,d) функции потерь L в произвольной точке (Q, d)Î W´D  интерпретируют как ущерб, к которому приводит принятие решений d, dÎD, если истинное значение параметра есть Q, Q Î W.

Выражение W´D - прямое произведение множества состояний природы и множества функций решения. Функция R(Q, d) не является случайной величиной, а принимается как платеж статистика в его игре с природой при следующих условиях:

• состояние природы фиксировано;

• функция решений выбрана, d Î D.

Стратегическая игра (W, A, L) становится статистической, G = (W, D, R), если используется результат эксперимента - вектор . Игра называется статистической, если в ней:

• X_Q - множество n-мерных выборок;

• D - множество функций решений, которые преобразуют X_Q  в А;

• W  - множество состояний природы;

• R(Q, d) - функция риска.

Статистическая игра записывается как G = (W, D, R). Данная игра является игрой двух лиц с нулевой суммой, где dÎD -функция решения статистика, а риск R(Q, d) статистика - платеж природе.

Статистик может не прибегать к  рандомизации, если он использует как оптимальную байесовскую функцию решения r (см. разд. 6.2.1).

Рандомизация на стороне статистика проводится двумя методами:

1) применение решений аÎА с определенными вероятностями (смешение решений);

2) смешение чистых функций решения dÎD, т.е. рандомизация функций решения.

Чаще применяется второй метод.

Распределение вероятностей d на множестве D чистых функций решения d называется рандомизированной (смешанной) функцией решения статистика.

Функция риска становится случайной  величиной, если экспериментатор применяет в статистической игре случайную функцию решения dÎD*, т. е. когда каждой чистой функции решения dÎD приписывается вероятность, с которой она должна использоваться.

Платежом будет математическое ожидание функции потерь, взятое для  некоторого состояния природы Q при распределении d, определенном на множестве чистых функций решения D:

Если статистик использует случайные  функции решения dÎD*, то этим расширяется (обобщается) статистическая игра.

Расширенная статистическая игра (W, D*, R) называется также смешанным расширением статистической игры с рандомизацией на стороне статистика.

Дальнейшее расширение статистической игры может быть достигнуто при предположении, что природа также «применяет»  стратегию при «выборе» своего состояния Q.

Априорное распределение вероятностей x на множестве W состояний природы означает распределение до проведения эксперимента. Это априорное распределение xÎX состояний природы является случайной (смешанной) стратегией природы в статистической игре, где природа не рассматривается как разумный игрок.

Если Q предполагается случайной величиной с априорным распределением x, то риск R(Q,d) становится случайной переменной при фиксированной функции решения d. В данном случае математическое ожидание риска R(Q,d)  при априорном распределении x, задаваемом функцией распределения G(Q), определяется как

,

где r(x,d) -байесовский риск функции решения d с учетом априорного распределения x.

Если в качестве оптимальной принимается байесовская функция решения, то используется формула r(x,d).

Вводя рандомизацию на стороне природы, приходим к дальнейшему расширению статистической игры.

Игра (X, D*, r) со смешанным расширением статистической игры с рандомизацией на стороне статистика и на стороне природы называется полностью расширенной статистической игрой.

Поясним в полностью расширенной  статистической игре (X, D*, r) ее составляющие:

X - множество всех априорных распределений x состояний природы или множество ее смешанных стратегий;

D* - множество всех случайных функций решения;

r = r(x,d) - байесовский риск.

Представим схему расширения статистической игры (рис. 6.1). При наличии данных без учета стохастических распределений  имеем исходную стратегическую игру двух лиц с нулевой суммой, которая относится к антагонистическим играм. Данная игра является исходной для соответствующей статистической задачи принятия решения.

Рис. 6.1. Расширение статистической игры

Если статистик (экспериментатор) не имеет возможности провести эксперимент  со случайной величиной X, чтобы получить ее распределение, которое зависит от состояния природы, он вынужден будет использовать только стратегическую игру (W, A, L).

Однако очень часто статистик  может провести эксперимент и  получить в результате вектор , которым он в состоянии воспользоваться при принятии решения аÎА функции d( ). В этом случае платеж L(Q, а) становится случайной величиной, а игра - статистической G(W, D, R). Стратегией статистика будет dÎD, а платежом природе от статистика станет его риск R(Q, d).

Далее у статистика остаются две  альтернативы:

1) воспользоваться рандомизацией  состояний природы и перейти к расширенной (X, D, r) статистической игре;

2) воспользоваться рандомизацией  функций решения и перейти к расширенной статистической игре (W, D*, R).

Наконец, если статистик применит смешанные стратегии для обоих  игроков, то получит полностью расширенную  статистическую игру ((W, D*, r).

На практике статистик для выбора оптимальной стратегии может  не производить рандомизацию, а в  качестве оптимальной взять байесовскую  функцию решения.

А. Вальд, создавая теорию статистических игр, опирался на созданную Д. Нейманом теорию стратегических игр, поэтому сравним далее понятия стратегических игр двух лиц с нулевой суммой и понятия статистических игр статистика с природой. Для этого укажем основные обозначения в стратегической и статистической играх:

Х - совокупности стратегий игрока 1;

Y - совокупности стратегий игрока 2;

W— платежная функция;

W(X,Y) - платеж игрока 2 игроку 1;

G == (X,Y,W) - игра игрока 1 с игроком 2;

Г = (X, Н, К) ~ смешанное расширение игры G = (X, Y,W), где X - множество всех смешанных стратегий x игрока 1;