Статистические графики

Картограмма – это географическая (контурная) карта, которая графически описывает пространственное распределение определенного статистического показателя путем различной окраски, штриховки и т.д. (например, плотность населения в различных регионах земного шара).

Картодиаграммы – это совмещение картограммы с диаграммой, когда в отдельных областях карты условными знаками наносят абсолютные значения статистических показателей.

Диаграммы подразделяются на линейные (содержат значения статистического показателя, соединенные отрезками прямых), секторные (круговые) (вся площадь круга, принимаемая за 100%, разбита на сектора пропорционально доле составляющих частей структуры совокупности, исчисленных в процентах), столбиковые (используются для представления состава какого-либо вида показателя), ленточные (решают те же задачи, что и столбиковые, только графическое изображение даётся в горизонтальном виде), пиктограммы (представления одного показателя (символа) в виде одного или нескольких прямоугольников, треугольников, кружков и т. д.). Примеры разного рода графиков имеются в /1,2,4/.

Составной частью сводной обработки данных статистического  наблюдения является построение рядов  распределения. Ряды распределения, построенные  по количественному признаку, называются вариационными рядами, понимая под различием в величине индивидуальных значений признака у единиц совокупности вариацию.

Отдельные значения признака, называемые вариантами, обозначаются как , и они строго ранжированы: .

Абсолютное число  случаев повторения для каждого  из вариантов, обозначаемых через , называется частотой; частостью (или относительной частотой) называется отношение доли частоты с данным значением к объёму выборки (к сумме всех частот):

,

где .

По характеру  вариации различают дискретные и  непрерывные признаки.

Дискретные признаки отличаются друг от друга на некоторую конечную величину, т.е. их значения представляет дискретное множество чисел.

Непрерывные признаки могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину и в определенных границах принимать любые значения.

Ряды распределения  дискретного признака изображаются в виде частотного полигона, а ряды распределения непрерывного признака – в виде гистограммы.

При построении полигона на оси абсцисс откладывает значения варьирующего признака, а на оси ординат – абсолютные или относительные численности единиц совокупности (частоты, частости).

Для графического изображения интервальных вариационных рядов, соответствующих индивидуальным значениям непрерывного признака, применяется  гистограмма.

Гистограмма – это столбиковая диаграмма, для построения которой на оси абсцисс откладывают отрезки, равные величине интервалов вариационного ряда; на отрезках строят прямоугольники, высота которых в принятом масштабе по оси ординат соответствует частотам, деленным на длину интервала. Общая площадь под гистограммой равна единице.

Для изображения  и сравнения вариационных рядов  как дискретного, так и непрерывного признака (например, для анализа  концентрации производства или распределения  числа предприятий по фондовооруженности труда рабочих) используются кумулятивные кривые – кумулята и огива.

Для построения кумуляты, которая отражает нарастание частот от групп к группе, значения варьирующего признака откладываются по оси абсцисс, а на оси ординат помещаются накопленные частоты (т.е. нарастающие итоги частот – число единиц совокупности, образуемое от группы к группе путём суммирования предыдущих частот).

Ордината кумулятивного  графика показывает, сколько единиц или какая часть совокупности имеет значение признака, не превосходящее  указанного на оси абсцисс.

При построении кумуляты интервального ряда распределения нижней границе первого интервала соответствует частота, равная нулю, а верхней границе – вся частота данного интервала; верхней границе второго интервала соответствует накопленная частота, равная сумме частот первых двух интервалов и т.д.

Если поменять местами оси координат в кумуляте, то получается новый вид графического изображения – огива.

Для оценки неравномерности  распределения объёма изучаемого признака между группами абсолютные показатели числа единиц в группе (например, число банков и городов) и размера  изучаемого признака (например, прибыль  банка или численность населения) выражают в относительных показателях  – в долях или процентах  к итогу. Затем рассчитывают два  ряда накопленных частостей (относительных частот).

Кривая кумулятивных итогов для двух отдельных групп  признака называется кривой Лоренца.

Пусть имеется  следующее распределение городов  по числу жителей и распределение  населения в этих городах в  условном регионе (графы 1, 2, 3):

Таблица 3.12

В графах 4 и 5 таблицы  рассчитаны кумулятивные итоги процентов городов и населения в них. Для построения графика концентрации (т.е. кривой Лоренца) по оси абсцисс откладывают накопленные доли общего числа единиц совокупности (например, накопленные доли городов), а по оси ординат - накопленные доли по объёму изучаемого показателя (доли численности населения).

Чем дальше линия  фактической концентрации (кривая Лоренца), построенная по указанным координатам, отклоняется от диагонали квадрата – линии равномерного распределения, тем выше уровень концентрации, т.е. тем более неравномерно распределен  объём изучаемого показателя между  единицами (группами) статистической совокупности.

Чем ближе кривая Лоренца к прямой (диагонали квадрата), тем распределение признака более  равномерное, т.е. концентрация меньше.

Сопоставление кривых Лоренца за разные периоды  позволяет выявить тенденции  в неравномерности распределения  объёма признака между группами (такие  сопоставления широко распространены в статистике, например, изучения распределения  объёма денежных доходов между различными группами населения, анализ степени  концентрации банковкого капитала, сравнение концентрации объёма производства в различных отраслях промышленности и т.д.

Рис. 3.1

Для количественного  измерения концентрации используется показатель, называемый коэффициентом (индексом) Джини (G), т.е. отношение площади S1, ограниченной линией равномерного распределения (диагональ квадрата) и кривой Лоренца, к половине площади квадрата S1+S2: G=S1/(S1+S2). Для равномерного распределения индекс Джини равен нулю, в условиях же полной коцентрации он равен 1.

Коэффициент Джини рассчитывается по формуле:

,

где и - накопленные суммы удельных весов единиц распределения и кумулятивные итоги объёмного показателя, представленные по осям абсцисс и ординат соответственно в форме обычных относительных величин – не процентов.

Для примера, приведенного выше коэффициент Джини равен

G = (0,042 0,005 + 0,088 0,022 + 0,219 0,09 + 0,502 0.238 +0,789 0,341 +0,886 0,679 + 0,983 1,0) –  (0,088 0,002 + 0,219 0,005 +0,502 0,022 + 0,789 0,090 + 0,886 0,238 +0,983 0,341 +1,0 0,679) = 1,9950 – 1,2994 = 0,6956 » 0,7.

Пример /4/. В следующей  таблице даётся распределение на группы 10 крупнейших банков по сумме  чистых активов и сумме прибыли:

Таблица 3.13

Построить кривые Лоренца и рассчитать коэффициенты Джини с целью сравнения уровней концентрации банков по сумме банковских активов и по сумме общей прибыли.

Ответ: G_{чист.акт.} = 0,724, G_приб. = 0,676.