Статистическая обработка экспериментальных данных

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «УГТУ – УПИ имени первого Президента России Б.Н.Ельцина»

Факультет информационно-математических технологий и экономического моделирования

Кафедра анализа систем и принятия решений

Cпециальность «Математические методы в экономике»

Утверждаю:

Зав.кафедрой

Никонов О.И.

_______________

«__»___________

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Математическая статистика»

на тему: «Статистическая обработка экспериментальных данных»

Руководитель:                                                                                                                Тимофеева Г. А.

Нормоконтролёр:                                                                                                                Медведева М. А.

Студент гр. ИМ‑27011:                                                                                                  Нуриахметова Г. Р.

Оценка

Дата защиты

Члены комиссии

Екатеринбург

2009

Содержание

ЗАДАНИЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

ВВЕДЕНИЕ

РАЗДЕЛ 1. Теоретические основы статистической обработки экспериментальных данных

1.1. Основные законы распределения непрерывных случайных величин

1.1.1. Функция распределения вероятностей случайной величины

1.1.2. Числовые характеристики случайных величин

1.1.3. Равномерное распределение вероятностей

1.1.4. Показательное распределение вероятностей

1.1.5. Нормальное распределение

1.2. Анализ статистических распределений

1.2.1. Выборочная совокупность

1.2.2. Статистические оценки параметров распределения

1.2.3. Метод моментов

1.2.4. Проверка статистических гипотез

РАЗДЕЛ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЫБОРОЧНЫХ СОВОКУПНОСТЕЙ

2.1. Статистический анализ выборочных совокупностей.

2.1.1. Составление статистических распределений.

2.2. Вычисление параметров статистических распределений

2.3. Установление законов распределения выборочных совокупностей

2.3.1. Сопоставление вида плотности эмпирического и теоретического распределений

2.3.2. Формулировка нулевой гипотезы

2.3.3. Сравнение коэффициентов асимметрии, эксцессы и коэффициентов вариации статистических и теоретических распределений

2.3.4. Проверка гипотезы о нормальном распределении выборки 1

2.3.5. Проверка гипотезы о показательном распределении выборки 2

2.3.6. Проверка гипотезы о равномерном распределении выборки 3

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ЗАДАНИЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

Целью курсовой работы является формирование умения анализировать статистические данные и определять их распределения. Выполнение курсовой работы  обеспечивает углубление знаний о математических моделях вероятностных явлений, методах оценки параметров распределений и проверки  статистических гипотез, а также развивает навыки работы с графическими и статистическими программами.

Выполнение курсовой работы «Статистическая обработка экспериментальных данных» предусматривает исследование студентами трех выборочных совокупностей объемом по сто наблюдений каждая.

Исследование выборочной совокупности включает следующие этапы:

1. Составление статистических распределений выборочных совокупностей.

2. Нахождение параметров статистических распределений.

3. Установление законов распределения выборочных совокупностей [1].

21

ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятностей развивалась изначально на основе наблюдений за азартными играми и желанию людей угадывать их исходы. Со временем теория вероятностей оформилась как отдельное направление в математике, получила свою аксиоматику, свои определения, теоремы и леммы. Теория вероятностей зародилась в 16-17 в.в. Основоположниками теории вероятностей можно назвать Паскаля, Ферма и Гюйгенса.

Следующий период истории теории вероятностей (18 - 19 в. в.) связан с именами А. Муавра, П. Лапласа, К. Гаусса и С. Пуассона. Это - период, когда теория вероятностей уже находит ряд актуальных применений в науке и технике (главным образом в геодезии и астрономии, в теории стрельбы). К этому периоду относится доказательство первых предельных теорем, носящих теперь названия теорем Лапласа и Пуассона. А. Лежандром и Гауссом в это же время был разработан метод наименьших квадратов.

Третий период истории теории вероятностей (2-я половина 19 в.) связан в основном с именами русских математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова. Со 2-й половины 19 в. исследования по теории вероятностей в России занимают ведущее место в мире. Чебышев и его ученики Ляпунов н Марков поставили и решили ряд общих задач в теории вероятностей , обобщающих теоремы Бернулли и Лапласа. Чебышев чрезвычайно просто доказал закон больших чисел при весьма общих предположениях. Он же впервые сформулировал центральную предельную теорему для сумм независимых случайных величин и указал один из методов её доказательства. Другим методом Ляпунов получил (1901) близкое к окончательному решение этого вопроса. Марков впервые рассмотрел один случай зависимых испытаний, который впоследствии получил название цепей Маркова.

А.Н. Колмогорова, внес величайший вклад в становление и развитие аппарата теории вероятностей. Он написал несколько фундаментальных трудов, которыми с успехом пользуются по сей день.

На базе аппарата теории вероятностей появились такие дисциплины, как математическая статистика, теория случайных процессов, теория массового обслуживания, теория телетрафика и другие. В них математический аппарат теории вероятностей расширяется и применяется к различным моделям и ситуациям.

Математическая статистика возникла в XVII в. и развивалась параллельно с теорией вероятности.

В XX в. наиболее существенный вклад в математическую статистику был сделан советскими математиками, а так же английскими (Стьюдент, Р. Фишер, Э. Пирсон) и американскими (Ю. Нейман, А. Вальд) учеными [2].

РАЗДЕЛ 1. Теоретические основы статистической обработки экспериментальных данных

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, неизвестное заранее, какое именно.

1.1. Основные законы распределения непрерывных случайных величин

1.1.1. Функция распределения вероятностей случайной величины

Функцией распределения называют функцию F(х), определяющую вероятность того, что непрерывная случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее числа х:

.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):

.

1.1.2. Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание М(Х) непрерывной случайной величины, распределенной на интервале (х1; х2), характеризует ее среднее значение и определяется по формуле

Дисперсия D(X) непрерывной случайной величины, распределенной на интервале (х1; х2), характеризует ее рассеяние относительно математического ожидания и определяется по формуле

.

Среднее квадратическое отклонение σ(Х) случайной непрерывной величины определяется по формуле

.

Начальным моментом порядка s случайной величины Х называют математическое ожидание величины Хs:

.

В частности, .

Начальный момент первого порядка случайной величины Х соответствует ее математическому ожиданию.

Центральным моментом порядка s случайной величины Х называют математическое ожидание величины :

.

В частности, центральный момент первого порядка случайной величины Х равен нулю: , а центральный момент второго порядка равен ее дисперсии .

Центральный момент четвертого порядка случайной величины Х характеризует «крутость» или островершинность графика ее плотности распределения и служит для вычисления эксцесса , который определяется по формуле .

Эксцесс положительный, если кривая распределения имеет острую вершину. Эксцесс отрицательный, если кривая распределения имеет пологую вершину.

1.1.3. Равномерное распределение вероятностей

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале (a; b), которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение:

Функция равномерного  распределения на интервале (a; b) имеет вид:

График плотности равномерного распределения вероятностей представлен на рис.1.

Характеристики равномерного распределения определяются по формулам:

1) математическое ожидание ;

2) дисперсия ;

3) среднее квадратическое отклонение ;

4) асимметрия As = 0;

5) эксцесс .

Вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, в заданный интервал (х1; х2) определяется по формуле .

1.1.4. Показательное распределение вероятностей

Показательным (экспоненциальным) называют распределение непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью   

где λ – постоянная положительная величина.

Функция показательного распределения имеет вид:

График плотности показательного распределения вероятностей представлен на рис. 2.

Характеристики показательного распределения определяются по формулам (2) – (4): 

1) математическое ожидание ;

2) дисперсия ;

3) среднее квадратическое отклонение .

Вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по показательному закону, в заданный интервал (х1; х2) определяется по
формуле                 .

1.1.5. Нормальное распределение

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

График плотности нормального распределения представлен на рис. 3.

Математическое ожидание нормального распределения равно
параметру а. Среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру σ. Коэффициент асимметрии и эксцесс  нормального распределения равны нулю: и .

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Х в заданный интервал (х1; х2) определяется по формуле (1):

,

где Ф(х) – функция Лапласа,

.

Значения функции Ф(х) приведены в таблице (приложение 1) [3].

1.2. Анализ статистических распределений

Математическая статистика – это раздел математики, в котором изучаются математические методы планирования экспериментов, систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических целей.

Методы математической статистики обосновывают способы группировки и анализа статистических сведений о качественных и количественных признаках объектов различной природы.  Проведение обследования каждого объекта большой совокупности относительно интересующего признака или физически невозможно или экономически нецелесообразно. Для установления статистических закономерностей случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

1.2.1. Выборочная совокупность

Выборочной совокупностью, или просто выборкой, называют совокупность случайно отобранных объектов. Объемом n выборочной совокупности называют число объектов этой совокупности.

Интервальным статистическим распределением выборки называют перечень интервалов и соответствующих им частот ni или относительных частот (в качестве частоты ni, соответствующей интервалу, принимают количество наблюдений, попавших в этот интервал). Для  визуального восприятия интервального статистического распределения строят гистограмму.

Для распределения наблюдений по интервалам необходимо найти длину интервала h, определяемую как отношение разности между  максимальным Xmaх и минимальным Xmin элементами выборки к  количеству интервалов k

.

Желательно перед вычислением длины интервала h максимальное Xmaх и минимальное Xmin значения выборки округлить до целых или удобных значений.

Количество интервалов k (целое число) целесообразно выбрать не менее 7, но и не более 15 или определить по формуле Старджесса

,

где n – объем выборки.

Если k, вычисляемое по формуле Старджесса,  нецелое число, то в качестве числа интервалов можно выбрать ближайшее к k целое число, не меньшее k.

1.2.2. Статистические оценки параметров распределения

Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности. Если все значения х1, х2, ….., хn выборки объема n различны, то

.

Если значения признака  х1, х2, ….., хk имеют соответственно частоты , причем n1+n2+……+nk = n, то