Средняя арифметическая

Пример: Таблица 2.2.2

     По  табл.2.2.2. модальный интервал составляет 2000 - 2499шт, так  как ему соответствует  наибольшая частота 37,5%, нижняя его  граница х_о = 2000, а величина интервала h = 500. Следовательно,  

     Это значит, что чаще всего встречаются  хозяйства, у которых надой в  среднем от одной коровы составляет 2280 кг.

     Для решения практических задач наибольший интерес представляет обычно мода, выраженная в виде интервала, а не дискретным числом. Объясняется это назначением моды, которая должна выявить наиболее распространенные размеры явления. Выраженная в виде дискретного числа мода часто не отвечает этому требованию. Так, в нашем примере процент хозяйств, у которых годовой надой в среднем на одну корову составляет 2280 кг, хотя и больше, чем хозяйств с любым другим уровнем надоя, но сам по себе он может быть небольшим. Хозяйств же с удойностью в пределах интервала 2000 - 2499 кг - 37,5%, а 2000 - 3000 кг - 58,1, - т. е. весьма значительный процент.

2.2.1 Медиана 

     Медиана (Ме) — величина варьирующего признака, делящая совокупность на две равные части — со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы.

     В ранжированном вариационном ряду с  нечетным числом единиц совокупности медианой является значение признака у средней в ряду единицы. Медиана  не зависит от значений признака, стоящих  на краях вариационного ряда.

     В интервальном вариационном ряду для  нахождения медианы применяется формула: 

      , 

     где X_Me - нижняя граница интервала, в котором находится медиана;

     f´_Me - число наблюдений (или объем взвешивающего признака), накопленное до начала медианного интервала;

     f_Me - число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (в абсолютном или относительном выражении);

     i - величина медианного интервала;

      - половина от общего числа  наблюдений или половина объема  того показателя, который используется  в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении).

     Примером  такого ряда может служить месячная заработная плата рабочих цеха. 

     Таблица 2.2.1

     В этом ряду среднее место по размеру  заработной платы занимает рабочий  с номером 4, получивший 160 руб. Эта величина и есть медиана. Меньше и больше медианы одинаковое число вариантов. При нечетном числе вариантов (п) порядковый номер, которому соответствует медиана, определяется по формуле

         . 

     Когда количество вариантов в ряду четное число, медианой считают один из тех  вариантов, который по своей величине мог бы находиться посередине между вариантами с номером и . Так, если бы в цехе был еще и восьмой рабочий с заработной платой в 276 руб., то медиана находилась бы посередине между четвертым и пятым порядковыми номерами. В таких случаях принято считать, что в промежутке между номерами и идет равномерное нарастание или убывание вариантов. Поэтому за медиану принимают среднюю арифметическую из вариантов с номерами и . В данном примере  

     Смысл полученного результата такой: одна половина рабочих получила за месяц  меньше, а другая — больше 167,5 руб.

     Следовательно, медиана — обобщающий показатель распределения совокупности, уровень  признака, который делит совокупность на две равные части, и представляет обычно интерес в анализе, как это видно из приведенного примера.

     Медиана, в отличие от средней, не является абстрактной величиной. Она находится  точно в середине ряда, представляет собой реальное значение признака, соответствует определенному варианту и при этом наиболее точна в случае нечетного числа членов совокупности. Медиана как обобщающая характеристика совокупности не может, однако, заменить среднюю. Медиана — это центр распределения численности единиц совокупности, а средняя — центр распределения отклонений значений признака от равнодействующей. Величина медианы определяется лишь одним или двумя серединными значениями признака. Изменения всех остальных величин, если они не меняют последовательности членов в центре ряда, не находят отражения в медиане. Так, если месячную заработную плату наименее оплачиваемых двух рабочих поднять на 40 руб., это не скажется на медиане, несмотря на то, что тем самым значительно повышаются доходы двух рабочих цеха и существенно выравнивается заработная плата членов коллектива. Поэтому медиана, представляющая определенный интерес в анализе, не может заменить среднюю, которая при замене реального коллектива абстрактным коллективом с уравненными значениями признака оставляет неизменным определяющий показатель совокупности.

     Медианой  целесообразно пользоваться, когда  не известны границы открытых крайних  интервалов вариационного ряда, на которые приходится значительная часть  единиц всей совокупности, так как  средняя в этих случаях страдает значительной неточностью. При исчислении же медианы отсутствие сведений об этих границах не влияет на точность расчета.