Средняя арифметическая

Средняя арифметическая

 

   Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений.

   Отдельные значения признака называют вариантами и обозначают  через х ( ); число единиц совокупности обозначают через n, среднее значение признака - через . Следовательно, средняя арифметическая простая равна:

   

Например,имеются  следующие данные о производстве рабочими продукции  А  за смену:

   В данном примере варьирующий признак - выпуск продукции за смену.

   Численные значения признака (16,  17 и т. д.) называют вариантами. Определим среднюю выработку  продукции рабочими данной группы:

   

   Простая средняя арифметическая применяется  в случаях,  когда имеются отдельные  значения признака,  т.е. данные не сгруппированы. Если данные представлены  в  виде  рядов распределения или группировок,  то средняя исчисляется иначе. 
 

   Средняя арифметическая взвешенная вычисляется по формуле , где f_i - частота повторения i-ых вариантов признака, называемая весом. Таким образом, средняя арифметическая взвешенная равна сумме взвешенных вариантов признака, деленная на сумму весов. Она применяется в тех случаях, когда каждая варианта признака встречается несколько (неравное) число раз.

Средняя гармоническая

 

     Наряду  со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина,  обратная  средней  арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной. Применяется она тогда, когда необходимые веса (f_i) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в одни из имеющихся показателей. К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.

    

   Средняя гармоническая простая рассчитывается по формуле , т.е. это обратная величина средней арифметической простой из обратных значений признака.

   Например, бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй - 15 мин.,  третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определите среднее время, необходимое  на изготовление одной детали.

   На  первый  взгляд  кажется,  что  задача легко решается по формуле  средней арифметической простой:

   

   Полученная  средняя была бы правильной,  если  бы  каждый  рабочий сделал только  по  одной детали.  Но в течение дня отдельными рабочими было изготовлено различное число деталей.  Для определения числа деталей, изготовленных каждым рабочим, воспользуемся следующим соотношением:

                    

                                                              все затраченное время

   Среднее время, затраченное =  --------------------------------------

             на одну деталь                              число деталей 

   Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени  работы к среднему времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время,  необходимое для изготовления одной детали, равно:

      

   Это же решение можно представить  иначе: 

     

   Таким образом,  формула для расчета  средней гармонической простой будет иметь вид:

   

   Средняя гармоническая взвешенная:

, где M_i=x_i*f_i (по содержанию).

Например, необходимо определить среднюю урожайность  всех технических культур на основании  следующих данных (таблица 3):

Таблица 1

Валовой сбор и урожайность технических  культур по одному из районов во всех категориях хозяйств.

 

     Здесь в исходной информации веса (площадь  под культурами) не заданы, но входят сомножителем в валовой сбор, равный урожайности, умноженной на площадь  M_i=x_i*f_i ,  поэтому , а средняя урожайность будет равна .

Средняя геометрическая

     Если  при замене индивидуальных величин  признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин, то следует  применить геометрическую среднюю величину.

     Ее  формула такова: 

      , для простой.

      , для взвешенной. 

     Основное  применение геометрическая средняя  находит при определении средних  темпов роста. Пусть, например, в результате инфляции за первый год цена товара возросла в 2 раза к предыдущему году, а за второй год еще в 3 раза к уровню предыдущего года. Ясно, что за два года цена выросла в 6 раз. Каков средний темп роста цены за год? Геометрическая средняя дает правильный ответ: √6 - 2,45 раза.

     Геометрическая  средняя величина дает наиболее правильный по содержанию результат осреднения, если задача состоит в нахождении такого значения признака, который качественно был бы равно удален как от максимального, так и от минимального значения признака. Например, если максимальный размер выигрыша в лотерее составляет миллион рублей, а минимальный - сто рублей, то какую величину выигрыша можно считать средней между миллионом и сотней? Только геометрическая средняя дает верный с точки зрения экономики и логики ответ: Десять тысяч — не миллион, и не сотня! Это, действительно, нечто среднее между ними.

     Наиболее  часто формулу средней геометрической используют для определения средних  валютных курсов, эффективности валютных курсов, реальной эффективности валютных курсов (международная финансовая статистика).

     Средняя квадратическая величина

     Если  при замене индивидуальных величин  признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов  исходных величин, то средняя будет  являться квадратической средней величиной.

     Ее  формула такова: 

      , для простой.

      , для взвешенной. 

     Например, имеются три участка земельной  площади со сторонами квадрата: х₁ = 100 м; х₂ = 200 м; х₃ = 300 м. Заменяя разные значения длины сторон на среднюю, мы очевидно, должны исходить из сохранения общей площади всех участков. Арифметическая средняя величина (100 + 200 + 300):3 = 200 м не удовлетворяет этому условию, так как общая площадь трех участков со стороной 200 м была бы равна: 3*(200 м)² =120 000 м². В то же время площадь исходных трех участков равна: (100 м)² + (200 м)² + (300 м)² = 140 000 м². Правильный ответ дает квадратическая средняя: 

     

     Средняя кубическая величина

     Если  по условиям задачи необходимо сохранить  неизменной сумму кубов индивидуальных значений признака при их замене на среднюю величину, мы приходим к средней кубической, имеющей вид: 

      , для простой.

      , для взвешенной. 

     Средняя кубическая имеет ограниченное применение в практике статистики. Ею пользуются для исчисления средних диаметров труб, стволов и т.п., необходимых для разного рода расчетов, как, например, для определения запасов древесины на складах и на лесных участках. 

 

      2.2.2 Мода

     Мода (Мо) - это вариант признака, который при данном сочетании причин разного порядка чаще всего встречается в вариационном ряду. Например, цена, по которой чаще всего реализуется данный товар на рынке, является модой или модальной ценой. Месячная заработная плата, которая чаще всего встречается в данном коллективе, является для него модальной заработной платой.

     Мода - типичная величина, в том смысле, что она встречается в совокупности или объективно может встретиться чаще других. Она имеет важное значение для решения некоторых задач, например какой высоты должны быть предназначенные для массового потребления станки, столы и т. п., какое количество детей чаще всего встречается в семье, какое время дня является «пиковым» для работы предприятий общественного питания, электростанций, городского транспорта  и др., какой уровень выполнения плана наиболее часто встречается в том или ином коллективе рабочих или   предприятий и т. п.

     Мода  соответствует определенному значению признака. На практике моду находят, как правило, по сгруппированным данным.

     В дискретном ряду мода определяется без  вычисления как значение признака с  наибольшей частотой.

     В интервальном вариационном ряду, тем  более при непрерывной вариации признака, строго говоря, каждое значение признака встречается только один раз. Модальным интервалом является интервал с наибольшей частотой. Внутри этого интервала находят условное значение признака, вблизи которого плотность распределения, то есть число единиц совокупности, приходящееся на единицу измерения варьирующего признака, достигает максимума. Это условное значение и считается точечной модой. Логично предположить, что такая точечная мода располагается ближе к той из границ интервала, за которой частота в соседнем интервале больше частоты в интервале за другой границей модального интервала. Отсюда имеем обычно применяемую формулу:\ 

      , 

     X_Mo - нижнее значение признака X в модальном интервале;

     i - величина интервала;

     f_Mo - частота (частость) повторения признака X в модальном интервале;

     f_Mo-1 ,f_Mo+1 - соответственно частоты (частости) признака для интервала, предшествующего модальному и следующего за ним.