Средняя арифметическая

     Форма средней зависит от имеющихся данных.

     Пример: при партии материала А были куплены по разным ценам. Определить среднюю покупную цену материала А, если известно.

      = (руб.) - средняя цена

     Для определения формы средней для той или иной задачи используется критерий, таким критерием выступают объемы формирования варьирующего признака, если объем формирования варьирующего признака формируется как сумма индивидуальных значений признака, то применяется среднее арифметическое; если объем варьирующего признака формируется как сумма обратных значений признака, то применяется среднее гармоническое; если объем варьирующего признака формируется как произведение индивидуальных значений признака, то применяется средняя геометрическая; если объем варьирующего признака формируется как сумма квадратов, то применяется среднее квадратичное.

     4.Свойства средней арифметической взвешенной:

1. произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты.

       

 

      Таблица 4- Продажа акций АО «Дока-хлеб» на торгах фондовой секции

       

     Найти средний курс продажи

      = (руб.) - средний курс продажи

     Проверка:

     1112,9*1900=1080*500+1050*300+1145*1100

     2) сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической всегда равна нулю.

     

     (1080-1112,9)500+(1050-1112,9)300+(1145-1112,9)1100=0

     Доказательство:

     

     3) сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой величины.

     4) если все усредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшиться на эту же величину.

     Пример: если все курсы продажи акций увеличить на 100 рублей (см. таблицу выше).

      (руб.)

6. если все варианты значений признака увеличить или уменьшить в А раз, то средняя увеличится или уменьшится в А раз.

     Пример: курс продажи возрастет в 1,5 раза.

      (руб.)

     6) если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не измениться.

     5. Структурные средние

     Мода - наиболее часто встречающаяся величина признаков совокупности. Ее определяют по наибольшей частоте или частности.

     Для дискретных вариационных рядов распределения модой является вариант с наибольшей частотой.

     Пример: 9 торговых фирм города реализуют товар А по следующим оптовым ценам в тыс. руб.: 1,4; 4,3; 4,4; 4,5; 4,3; 4,6; 4,2; 4,6; 4,3. Мода равна 4,3 тыс. руб. - модальная цена, то есть чаще всего повторяется.

     Если данные сгруппировать, то в начале необходимо найти модальный интервал, затем рассчитать значение моды.

     Для интервальных вариационных рядов распределения мода рассчитывается по формуле:

      ,

     где Мо- мода;

     Xм- нижняя граница модального интервала;

     iм - величина модального интервала;

     fм - частота модального интервала;

     fм-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

     fм+1 - частота интервала, следующего за модальным.

     Пример: имеются данные о распределении работников предприятия по уровню среднемесячной заработной платы.

 

      Таблица 6 - Данные по работникам

       

     Определить модальный размер заработной платы.

     Первоначально по наибольшей частоте признака определим модальный интервал. Набольшее число работников - 70 человек - имеют заработную плату в интервале 700-800 руб., который и является модальным.

      (руб.)

     Медиана - значение признака, находящегося в центре ряда распределения.

     Вариант, расположенный в середине упорядоченного вариационного ряда, делящий его на две равные части.

     В ранжированном ряду из четного числа членов медианой будет средняя арифметическая из двух вариантов, расположенных в середине интервала.

     Медиана дискретного ряда определяется по сумме накопленных частот, которая должна превышать половину всего объема единиц совокупности. Для дискретных рядов распределения необходимо найти номер медианы, а затем значение медианы.

     Для интервальных вариационных рядов медиана рассчитывается по формуле: 

                                                     (6)

 

      где Ме - медиана;

     Xм - нижняя граница медианного интервала;

     iм - величина медианного интервала;

      - сумма частот ряда;

     Sм-1 - сумма накопленных частот ряда, предшествующих медианному интервалу.

     Fм - частота медианного интервала.

     Пример: см. таблицу выше. Рассчитать медиану.

     Определяем медианный интервал, в котором находится порядковый номер медианы. Для этого подсчитаем сумму частота накопленным итогом до числа, превышающего половину объема совокупности (200/2=100).

     В графе «Сумма накопленных частот» значение 110 соответствует интервалу 700-800. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана.

      (руб.)

     Из расчета видно, что половина работников предприятия имеют заработную плату до 785,7 руб, а половина - выше полученной суммы.

     Соотношение между средней величиной, медианой и модой.

     По итогам решения задач различие между средней арифметической величиной, медианой и модой в данном распределении невелико. Если распределение по форме близко к нормальному закону, то медиана находится между модой и средней величиной, причем ближе к средней, чем к моде. При правосторонней асимметрии: > Me > Mo. При левосторонней асимметрии: < Me < Mo. Для умеренно ассиметричных распределений справедливо. 

 

     Литература 

1. Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Р. А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 560 с.

2. Практикум по теории статистики: Учеб. Пособие/ Под ред.  
Р. А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 416 с.

3. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. - М.: ИНФРА-М.2002. - 387 с.

4. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. - М.:ИНФРА-М,2001. - 346 с.

5. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности /Под ред. О. Э. Башиной, А. А Спирина. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 298 с.

6. Экономическая статистика: Учебник/ Под ред. Ю. Н. Иванова. - М.: ИНФРА-М, 2007. - 480 с.

7. Гусаров В.М. Статистика: Учеб. Пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 463 с.