Средняя арифметическая

     План 

1. Сущность средних величин

2. Степенные средние

3. Средние арифметические и средние гармонические

4. Свойство средней арифметической

5. Структурные средние

Литература 

 

      1. Сущность средних величин 

     Статистика изучает массовые явления и процессы. Каждое из таких явлений обладает как общими для всей совокупности свойствами. Различие между индивидуальными явлениями называют вариацией. Рассмотрим другое свойство явлений - присущую им близость характеристик отдельных явлений. Если в сосуд в горячей водой добавить холодную, то температура воды во всем сосуде станет одинаковой (осреднится). массовое промышленное производство невозможно без стандартизации, т.е. усреднения размеров деталей собираемых механизмов, узлов, агрегатов. Взаимодействие элементов совокупности приводит к ограничению вариации хотя бы части их свойств. Эта тенденция существует объективно. Именно в ее объективности заключена причина широчайшего применения средних величин в теории и на практике.

     Главное значение средних величин состоит в их обобщающей функции, т.е замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений.

     Средняя величина - это обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по какому-либо количественно варьирующему признаку, который показывает уровень признака к единице совокупности.

     Виды средних величин различаются, прежде всего тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.

     В статистике применяются различные виды степенных средних: арифметическая, гармоническая, квадратическая, геометрическая и структурных средних - мода и медиана.

     Особенности средней величины:

1. характеризуется одной величиной изучаемого признака для всех единиц качественно-однородной совокупности;
2. именованная величина, то есть имеет ту же размерность, что и исследуемый признак;
3. характеризует типичный уровень для изучаемой совокупности, отклоняясь от индивидуальных значений;
4. может быть надежной, то есть реально оценивать типичность и ненадежность.

     Группы средних величин:

1. Степенные средние (для определения обобщающей характеристики совокупности);
2. Структурные средние (характеризуют структуру совокупности);
3. Системные средние (характеризуют уровень развития явления, сравниваем отдельные совокупности между собой, выясняем причины различий, изменения явлений во времени).

     2. Степенные средние

     Главное значение - их обобщающая функция, то есть заменимое множество различных индивидуальных значений признака средней величиной.

     Функция имеет вид: , принимает различные выражения с изменением показателя степени . Данной функции соответствует единое выражение степенной средней: 

                                                            (1) 

      - индивидуальное значение признака; n - численность совокупности; п - произведение

     Исходя из данного выражения получаем правило мажорантности средних: 

 

                                     (2) 

     или 

                                     (3) 
 

     Таблица 1 - Виды степенных средних

       

     Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин, то следует применить геометрическую среднюю величину. Основное применение данная средняя находит при определении средних темпов роста. Геометрическая средняя величина дает наиболее правильный результат осреднения, если задача состоит в нахождении такого значения признака, который качественно был бы равноудален как от максимального, так и от минимального значения признака. (пример по выигрышу: если мин. размер - 100 руб., а максим.размер - 1 000 000 руб.).

     Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной.

     Пример: имеются 3 участка земельной площади со сторонами квадрата: 100 м., 200 м., 300 м. Заменяя разные значения длины сторон на среднюю, должны исходить из сохранения общей площади всех участков. Арифметическая средняя величина не удовлетворяет этому условию (равна 200 м), т.к. общая площадь трех участков была бы равна 3*200 = 120 000 , в то же время она равна 140 000 (100*100+200*200+300*300). Правильный ответ дает средняя квадратическая: .

     Степенные средние бывают простыми и взвешенными.

     Простые применяются когда индивидуальное значение признака не повторяются. Взвешенные применяются когда индивидуальные значения признака повторяются.

     Число единиц, имеющие одинаковое значение признака называются весами\частотами.

      , F - объемный показатель, определенный как произведение индивидуальных значений признака на их частоту.

     Пример: Студент сдал экзамены на 2 и 5, рассчитать среднюю. Если судить по средней арифметической, то средний балл равен 3,5. Но если деканат желает «утопить» студента, то можно вычислить среднюю гармоническую

      .

     Можно рассчитать и по средней кубической:

      .

     3. Среднее арифметическое и среднее гармоническое

     Средней арифметической величиной называется такое значение признака в расчете на единицу совокупности, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным.

     Иными словами средняя арифметическая величина - среднее слагаемое. При ее вычислении общий объем признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности. Например, средняя заработная плата и т.д.

     Пример: уровень квалификации работников бригады характеризуется следующими значениями тарифного разряда 2,3,4,5,6. Определить средний уровень квалификации.

     

     Если изучаемая совокупность велика, исходная информация чаще представляет собой ряд распределения, или группировку, то используется формула средней арифметической взвешенной. В качестве весов выступают числа единиц совокупности в разных группах. Название «вес» отражает тот факт, что разные значения признака имеют неодинаковую «важность» при расчете средней величины.

     Пример: В бригаде 7 человек

     Тарифный разряд 2 3 4 5 6

     Число работников 1 1 2 1 2

     

     Существует несколько способов расчета средней арифметической:

1. если имеются индивидуальные значения признака и их частота, то рассчитываются по формулам:

      ;                                     (4) 

     

3. по логической формуле. Если имеются не отдельные значения признака, а годовая их сумма и общая их численность.

     

4. среднее арифметическое для сгруппированных данных

     Если при группировке значения усредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины в качестве значения признака в группах принимают середины этих интервалов, т.е. исходят из гипотезы о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака надо определить экспертным путем исходя из сущности. Свойств признака и совокупности. 

     Таблица 2 - Распределение рабочих по среднемесячному доходу

       

      , где Xi - середина интервала

5. осреднение

     При вычислении таких средних величин необходимо, чтобы сохранилась сумма величины объема признака, который является числителем, при построении усредняемого относительного показателя, чтобы выполнить указанное условие в качестве весов, при расчете средней величины относительного показателя, необходимо принять значение того признака, который является знаменателем при определении относительного показателя.

     Пример: Произведем расчет средней доли товаров народного потребления в общем выпуске промышленной продукции по совокупности предприятий. 

     Таблица 3- Объем и структура промышленной продукции

       

     В этом случае весом должен являться общий объем всей продукции предприятия. Тогда средняя доля предметов народного потребления в продукции четырех предприятий равна: (615,5/2047)*100=30,07. Средняя доля ближе к значениям долей тех предприятий, которые имеют большой объем всей продукции (предприятия 2 и 3). Числитель средней величины - это объем выпуска предметов потребления всеми предприятиями - величина, которая должна сохраняться неизменной при замене разных четырех долей на среднюю величину.

     Средние гармонические используются, когда известен объектный показатель и неизвестна численность совокупности, то есть не известны частоты или частности.

     Средняя гармоническая простая - если объемный показатель не повторяется. Если объемный показатель повторяется, то используется среднее гармоническое взвешенное.

     Пример: Фирма специализируется на торговле по почте, на основе предварительных заказов, упаковкой и отправкой товаров занимается два работника. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 8 мин., а второй - 14 мин. Каковы средние затраты времени на один заказ, если общая продолжительность рабочего времени у работников равна? 

      =                                        (5)