Средние величины

 

 

 

                                             

 

 

 

 

 

Реферат

 

по дисциплине ”Статистика”

 

 

НА ТЕМУ:

 

 “Средние величины”

 

 

 

 

                                                              Выполнила: 

                                                              Проверила: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уфа – 2012г.

 

Содержание

 

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Понятие средней величины. . . . . . . . . . 4

2. Виды средних величин  . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 Степенные средние  величины . . . . . . 6

2.1.1 Средняя арифметическая . . . . . . . .  8

2.1.2 Средняя гармоническая . . . . . . . . . .10

2.1.3 Средняя геометрическая . . . . . . . . . 11

2.1.4 Средняя квадратическая . . . . . . . . . 12

2.2 Структурные средние  величины . . . . 13

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

 

     В данной работе рассмотрим такое  понятие, как средние величины. Большое  распространение в статистике имеют средние величины. В средних величинах отображаются важнейшие показатели товарооборота, товарных запасов, цен. Средними величинами характеризуются качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др. Правильное понимания сущности средней определяет ее особую значимость в условиях рыночной экономики, когда средняя через единичное и случайное позволяет выявить общее и необходимое, выявить тенденцию закономерностей экономического развития.

Мы рассмотрим виды средних величин, а именно: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая и структурные средние.

Актуальность темы заключается  в том, что область применения и использования средних величин  в статистике довольно широка.  Цель - ознакомление с применением средних величин в статистике

 

 

 

 

 

 

1. Понятие средней величины.

 

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т.е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличие от средней абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям. Так, если нужно сопоставить уровни оплаты труда работников на двух предприятиях, то нельзя сравнивать по данному признаку двух работников разных предприятий. Оплата труда выбранных для сравнения работников может быть не типичной для этих предприятий. Если же сравнивать размеры фондов оплаты труда на рассматриваемых предприятиях, то не учитывается численность работающих и, следовательно, нельзя определить, где уровень оплаты труда выше. В конечном итоге сравнить можно лишь средние показатели, т.е. сколько в среднем получает один работник на каждом предприятии. Таким образом, возникает необходимость расчета средней величины как обобщающей характеристики совокупности.

Вычисление среднего – один из распространенных приемов  обобщения; средний показатель отрицает то общее, что характерно (типично) для  всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайности и необходимости. При исчислении средних в силу действия закона больших чисел случайности взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления, от количественных значений признака в каждом конкретном случае. В способности абстрагироваться от случайности отдельных значений, колебаний и заключена научная ценность средних как обобщающих характеристик совокупностей.

Для того, чтобы средний показатель был действительно типизирующим, он должен рассчитываться с учетом определенных принципов.

Остановимся на некоторых  общих принципах применения средних  величин. 
1. Средняя должна определяться для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц. 
2. Средняя должна исчисляться для совокупности, состоящей из достаточно большого числа единиц. 
3. Средняя должна рассчитываться для совокупности, единицы которой находятся в нормальном, естественном состоянии. 
4. Средняя должна вычисляться с учетом экономического содержания исследуемого показателя.

 

2. Виды средних величин

 

Средние величины делятся  на два больших класса: степенные средние и структурные средние

Степенные средние:

Арифметическая

Гармоническая

Геометрическая

Квадратическая

Структурные средние:

Мода

Медиана

Выбор формы средней величины зависит  от исходной базы расчета средней и от имеющейся экономической информации для ее расчета.

Исходной базой расчета и  ориентиром правильности выбора формы  средней величины являются экономические  соотношения, выражающие смысл средних  величин и взаимосвязь между  показателями.

Расчет некоторых средних величин:

Средняя заработная плата 1 работника = Фонд заработной платы / Число работников

Средняя цена 1 продукции = Стоимость производства / Количество единиц продукции

Средняя себестоимость 1 изделия = Стоимость производства / Количество единиц продукции

Средняя урожайность = Валовый сбор / посевная площадь

Средняя производительность труда = объем продукции, работ, услуг / Отработанное время

Средняя трудоемкость = отработанное время / объем продукции, работ, услуг

Средняя фондоемкость = Средняя стоимость основных фондов / объем продукции, работ и услуг

Средняя фондоотдача = объем продукции, работ и услуг / средняя стоимость основных фондов

Средняя фондовооруженность = средняя величина основных производственных фондов / среднесписочная численность производственного персонала

Средний процент брака = ( стоимость бракованной продукции / Стоимость всей произведенной продукции ) * 100%

 

2.1 Степенные средние величины

Степенные средние в зависимости  от представления исходных данных могут  быть простыми и взвешенными. 
Если вариант   встречается один раз, расчеты проводим по средней простой (например зарплата в 3 тыс.руб. встречается только у одного рабочего), а если вариант повторяется неодинаковое число раз, то есть имеет разные частоты   (например зарплата в 4 тыс.рублей встречается у пяти работников), то расчет проводим по средней взвешенной.

Формула степенной простой в  общем виде

где:

 — индивидуальное значение признака  -й единицы совокупности

 — показатель степени средней величины

 — число единиц совокупности

Формула степенной средней взвещенной в общем виде

где:

 — частота повторения  -й варианты.

 

В зависимости от того, какое значение принимает показатель степени средней величины  , получаем различные виды средних:

При расчете различных степенных  средних по одним и тем же данным значения средних будут неодинаковыми. Чем выше показатель степени ( ), тем больше величина средней

 

 

2.1.1 Средняя  арифметическая

 

Самым распространенным видом средней  является средняя арифметическая.

Средняя арифметическая простая

Простая среднеарифметическая величина представляет собой среднее  слагаемое, при определении которого общий объем данного признака в совокупности данных поровну распределяется между всеми единицами, входящими в данную совокупность. Так, среднегодовая выработка продукции на одного работающего — это такая величина объема продукции, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь объем выпущенной продукции в одинаковой степени распределялся между всеми сотрудниками организации. Среднеарифметическая простая величина исчисляется по формуле:

Простая средняя арифметическая — Равна отношению суммы индивидуальных значений признака к количеству признаков в совокупности

Пример 1. Бригада из 6 рабочих получает в месяц 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 тыс.руб.

Найти среднюю заработную плату 
Решение: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 тыс. руб.

Средняя арифметическая взвешенная

Если объем совокупности данных большой и представляет собой ряд распределения, то исчисляется взвешенная среднеарифметическая величина. Так определяют средневзвешенную цену за единицу продукции: общую стоимость продукции (сумму произведений ее количества на цену единицы продукции) делят на суммарное количество продукции.

Представим это в виде следующей  формулы:

 — цена за единицу продукции;

 — количество (объем) продукции;

Взвешенная средняя арифметическая — равна отношению (суммы произведений значения признака к частоте повторения данного признака) к (сумме частот всех признаков).Используется, когда варианты исследуемой совокупности встречаются неодинаковое количество раз.

Пример 2. Найти среднюю заработную плату рабочих цеха за месяц

Заработная плата одного рабочего  тыс.руб; X	Число рабочих  F
3,2	20
3,3	35
3,4	14
4,0	6
Итого:	75

Средняя заработная плата  может быть получена путем деления  общей суммы заработной платы  на общее число рабочих:

Ответ: 3,35 тыс.руб.

 

 

Средняя арифметическая для интервального ряда

При расчете средней  арифметической для интервального  вариационного ряда сначала определяют среднюю для каждого интервала, как полусумму верхней и нижней границ, а затем — среднюю всего ряда. В случае открытых интервалов значение нижнего или верхнего интервала определяется по величине интервалов, примыкающих к ним.

Средние, вычисляемые  из интервальных рядов являются приближенными.

 

2.1.2 Средняя гармоническая

Средняя гармоническая — используется в тех случаях когда известны индивидуальные значения признака   и произведение  , а частоты   неизвестны.

В примере ниже   — урожайность известна,   — площадь неизвестна (хотя её можно вычислить делением валового сбора зерновых на урожайность),   — валовый сбор зерна известен.

Среднегармоническую величину можно определить по следующей формуле:

Формула средней гармонической:

Пример. Вычислить среднюю урожайность по трем фермерским хозяйствам

Фермерское  хозяйство	Урожайность  ц/га (х)	Валовый сбор зерновых  Ц (z = x*f)
1	18,2	3640
2	20,4	3060
3	23,5	2350
Итого		9050

Ответ: 20,1 ц/га

Гармоническая простая

В тех случаях, когда  произведение   одинаково или равно 1 (z = 1) для расчета применяют среднюю гармоническую простую, вычисляемую по формуле:

Средняя гармоническая простая — показатель, обратный средней арифметической простой, исчисляемый из обратных значений признака.

 

2.1.3 Средняя геометрическая

Среднегеометрическая  величина дает возможность сохранять  в неизменном виде не сумму, а произведение индивидуальных значений данной величины. Ее можно определить по следующей формуле:

Среднегеометрические  величины наиболее часто используются при анализе темпов роста экономических показателей.

Геометрическая  простая

Для расчетов средней  геометрической простой используется формула:

где:

 — цепной коэффициент роста

 — число этих коэффициентов роста

П — знак произведения

 — количество уровней ряда

 — значение начального уровня ряда

 — значение конечного уровня ряда

Геометрическая  взвешенная

Для определения средней  геометрической взвешенной применяется  формула:

 

2.1.4 Средняя квадратическая

Средние диаметры колес, труб, средние стороны квадратов  определяются при помощи средней  квадратической.

Среднеквадратические  величины используются для расчета некоторых показателей, например коэффициент вариации, характеризующего ритмичность выпуска продукции. Здесь определяют среднеквадратическое отклонение от планового выпуска продукции за определенный период по следующей формуле:

Эти величины точно характеризуют  изменение экономических показателей  по сравнению с их базисной величиной, взятое в его усредненной величине.

Квадратическая  простая

Средняя квадратическая простая вычисляется по формуле:

 

Квадратическая  взвешенная

Средняя квадратическая взвешенная равна:

 

 

2.2 Структурные средние величины

Кроме степенных средних  в статистике для относительной  характеристики величины варьирующего признака и внутреннего строения рядов распределения пользуются структурными средними, которые представлены ,в основном, модой и медианой.

Мода — это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем — значение модальной величины признака по формуле:

где:

 — значение моды

 — нижняя граница модального интервала

 — величина интервала

 — частота модального интервала

 — частота интервала, предшествующего модальному

 — частота интервала, следующего за модальным

Медиана — это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот  , а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее. (Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле: