Ряды динамики

Lecture 6

 

Ряды динамики

 

1. Понятие о рядах динамики  и их роль в анализе

 

Ряд динамики представляет собой ряд числовых значений определенного статистического показателя в последовательные моменты или периоды времени. Числовые значения того или иного статистического показателя, составляющие динамический ряд, принято называть уровнями ряда.

 

Ряды динамики могут быть выражены таблично или графически.

 

Одной из основных задач анализа  динамических рядов является выявление  определенной закономерности в изменении уровней ряда, именуемой трендом. Уровни любого ряда являются результатом взаимодействия самых разных причин, одни из которых могут действовать длительно, другие - кратковременно, одни являются главными, определяющими тенденцию изменения, а другие - случайными, затушевывающими ее. Поэтому для правильных выводов о закономерностях развития того или иного показателя надо суметь отделить тенденцию изменения от колебаний, вызванных случайными кратковременными причинами. Для этого ряды динамики подвергают анализу и математической обработке.

 

Виды рядов динамики:

1. По виду показателей:

• ряды абсолютных величин;

• относительных величин;
• средних величин.

2. По виду показателя-фактора:

• моментные ряды;

• интервальные ряды.

 

Ряды относительных и средних  величин можно получить на основе рядов абсолютных величин, но обратная операция (перевод рядов относительных величин в абсолютные) невозможна.

 

Отличительной особенностью интервальных рядов является возможность дробить  и складывать их уровни, что по отношению к моментным рядам лишено смысла.

 

Независимо от вида ряда основным требованием к нему является сопоставимость его уровней. Сопоставимость предполагает идентичность данных, образующих уровни ряда, по источникам, методологии и способу получения. Несопоставимость может возникнуть по различным причинам:

1. изменение территории, к которой отнесены те или иные показатели;
2. изменение методологии учета или расчета показателей;
3. изменение цен для стоимостных показателей;
4. различная продолжительность периодов, к которым относятся уровни;
5. изменение даты учета и др.

 

Решение о  том, считать данные сопоставимыми  или нет, принимается отдельно в  каждом случае (пример с изменением территории: данные об изменении численности или объема производства сопоставимы, о темпах естественного прироста - нет).

 

Под смыканием рядов динамики понимают объединение в один (более длинный) ряд двух или нескольких рядов, уровни которых исчислены по разной методологии или в разных границах. Для корректного смыкания необходимо, чтобы для одного из периодов (переходного) имелись данные, исчисленные по разным методологиям (в разных границах). На базе данных переходного периода происходит пересчет одного из рядов в сопоставимый с последующими уровнями вид.

 

 

2. Основные характеристики рядов  динамики

 

1. Средний уровень ряда. Для интервальных рядов и рядов средних величин рассчитывается как обычная средняя арифметическая, для моментных рядов - как средняя хронологическая, рассчитываемая по формуле: . Эта формула справедлива для равноинтервальных моментных рядов. Если промежутки времени различны, следует использовать среднюю арифметическую взвешенную, используя в качестве весов отрезки времени между датами.
2. Среднее квадратическое отклонение
3. Коэффициент вариаций %.
4. Абсолютный прирост - разность между двумя уровнями ряда. При увеличении уровня имеет знак +, при уменьшении - минус.
5. Темп роста показывает, во сколько раз уровень данного периода больше или меньше базисного уровня или сколько процентов составил уровень данного периода по сравнению с базисным уровнем. Если базисный уровень остается неизменным, то говорят о базисных темпах роста, если за базу принимается уровень предшествующего периода - о цепных темпах роста.
6. Темп прироста - относительный показатель, показывающий, на сколько процентов один уровень больше или меньше базисного уровня. Рассчитывается вычитанием 100% из темпа роста или как процентное отношение абсолютного прироста к тому базисному уровню, по сравнению с которым абсолютный прирост был рассчитан.

 

Для показателей 4-6 тоже могут быть рассчитаны обобщающие показатели в  виде средних величин: среднегодовой абсолютный прирост, среднегодовой коэффициент и темп роста и прироста.

 

Алгоритм расчета - самостоятельно.

 

 

3. Выравнивание динамических рядов

 

Колебания уровней ряда могут вызываться случайными причинами, сезонностью, действием  каких-либо главных, определяющих факторов, способствующих повышению или снижению показателя. В общем случае динамика ряда включает три компонента: тенденцию (долговременное движение), кратковременное систематическое движение и несистематическое случайное движение. Исследователи с давних времен пытаются разделить эти компоненты и выявить закономерности развития явлений в отдельные отрезки времени. Обработка рядов с этой целью может быть более или менее сложной.

 

Сглаживание путем укрупнения интервалов - используется для абсолютных уровней интервальных рядов. Устраняет случайные помехи, но может уничтожить сезонную волну или иные закономерные колебания с частотой несколько месяцев. Применять с осторожностью.

 

Сглаживание способом скользящей средней. По этому способу фактические уровни заменяются рядом скользящих средних, которые рассчитываются для определенных подвижных (скользящих) интервалов и относятся к середине каждого из них. Способ устраняет случайные короткодействующие помехи, поэтому получил название “высокочастотного фильтра”. Недостатком способа является укорочение ряда по сравнению с фактическим на (n-1)/2 членов с одного и другого конца (n - число членов, из которых рассчитываются скользящие средние).

 

Если сглаживание производится по четному числу членов, то приходится применять прием центрирования: изкаждой пары сглаженных скользящих средних рассчитывается средняя арифметическая, которая и относится к определенной временной точке, поскольку средняя, рассчитанная для четного числа членов, попадает между двумя временными точками.

 

Выравнивание рядов  динамики по аналитическим формулам: подбирается аппроксимирующая функция, которая принимается за модель развития и по которой рассчитываются выровненные значения. Задача выравнивания сводится к определению вида функции в каждом конкретном случае, отысканию ее параметров по эмпирическим данным и расчету теоретических уровней по найденной формуле. Теоретический уровень результирующего фактора называется “у, выровненный по t”.

• Выравнивание по прямой линии. Имеет эффект, когда абсолютные приросты более или менее постоянны, т.е. когда уровни меняются близко к арифметической прогрессии. Полная аналогия соответствующего вариационного ряда, только вместо параметра х используется параметр t.
• Выравнивание по показательной функции производится в основном, когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии, т.е. когда цепные темпы роста более или менее постоянны. Для расчета проводится предварительное логарифмирование, а получившаяся функция обрабатывается как прямая линейная зависимость.
• Выравнивание по логарифмической функции целесообразно в том случае, если уровни ряда вначале резко возрастают или убывают, а потом стабилизируются.
• Другие функции используются по необходимости; особое место занимает логистическая функция.

 

Выравнивание при помощи ряда Фурье, который выражается следующим уравнением:

 

Используется в тех случаях, когда в эмпирическом ряду наблюдается периодичность изменения уровней, которые можно представить в виде синусоидальных колебаний. Их называют гармониками различных порядков (по названию гармонических колебаний). Показатель k в приведенном уравнении определяет число гармоник. Обычно при выравнивании по ряду Фурье рассчитывают не более четырех гармоник на первом шаге и затем уже определяют, с каким числом гармоник наилучшим образом отражается периодичность изменения уровней ряда.

 

Параметры уравнения находят по способу наименьших квадратов. Приведем готовые формулы:

Последовательные значения t обычно определяются от 0 с приростом, равным 2p/n, где n - число уровней эмпирического ряда.

 

Выравнивание по ярду Фурье часто дает положительный эффект в рядах, содержащих сезонную волну.

 

К сожалению, электронные таблицы  типа Excel не позволяют проводить  выравнивание по ряду Фурье. Вместо него можно использовать параболу соответствующего порядка:

 

Количество гармоник	Порядок параболы
k = 1	квадратическая парабола
k = 2	парабола четвертого порядка
k = 3	парабола шестого порядка и  т.д.

 

 

4. Выявление и измерение сезонных  колебаний

 

Внутригодовые уровни многих показателей существенно  зависят от сезонности. Укрупнение интервалов в этих случаях затушевывает закономерность, а ее необходимо выявить по причинам:

1. для устранения нежелательных колебаний;
2. планирования выпуска и реализации продукции, потребности в рабочей силе и др.

 

1. Первый способ: для каждого года рассчитывается средний уровень, а затем с ним сопоставляется (в процентах) уровень каждого месяца. Это процентное соотношение называется индексом сезонности: I_сезон = y_i / y_{ср *} 100%.
2. Использование данных ряда лет: для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня за три года, затем из них рассчитывается среднемесячный уровень для всего ряда и в заключение определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, т.е. : I_сезон = y_iср / y_{ср *} 100%, где

• y_iср   - средняя для каждого месяца за три года,
• y_ср - общий среднемесячный уровень за три года.

3. Способ цепных помесячных соотношений - при наличии тенденции к увеличению или уменьшению уровней из года в год.

4. Измерение сезонных колебаний с использованием скользящей средней: помесячные уровни исследуемого показателя за ряд лет сглаживаются 12-месячной скользящей средней. Затем фактические уровни каждого месяца процентируются к скользящей средней. На основе таких отношений (индексов сезонности) за ряд лет находится средняя арифметическая для каждого месяца, эти средние являются индексами сезонных колебаний.

 

Аналогично индексы сезонности могут быть построены на основе отношений  фактических помесячных данных к уровням, выровненным по аналитическим формулам.

 

5. Понятие об автокорреляции в рядах динамики

 

Во многих рядах динамики наблюдается  определенная зависимость уровней t-го периода от предшествующих им (численность поголовья скота, численность населения, урожайность и др.). Зависимость между последовательными уровнями ряда динамики называется автокорреляцией, которая измеряется при помощи коэффициента автокорреляции, исчисляемого на основе формул парного линейного коэффициента корреляции.

 

Для расчета коэффициента автокорреляции параллельно с исходными уровнями ряда (y_t) записываются уровни, сдвинутые на один период (y_t-1 или y_t+1). Тогда коэффициент автокорреляции равен:

Иногда приходится исследовать  вопрос о наличии или отсутствии автокорреляции не между самими уровнями ряда, а между их отклонениями от среднего уровня или тренда. В этом случае сумма таких остаточных величин (отклонений) и средняя из них равны 0. В этом случае формула коэффициента автокорреляции принимает вид (e - остаточная величина уровня ряда динамики):

Коэффициент автокорреляции может  рассчитываться не только между соседними, но между любыми двумя уровнями ряда. Сдвиг между ними (m - число единиц времени), именуемый временным лагом, определяет и порядок коэффициента автокорреляции: первого порядка при m = 1, второго порядка при m = 2 и т.д. При m = 0, когда ряд автокоррелируется сам с собой, r_a = 1.  

По найденному значению коэффициента автокорреляции судить о наличии  или отсутствии автокорреляции в ряду “на глаз” рискованно. Существуют специальные таблицы, в которых для разного числа членов ряда (n) и разных уровней существенности (значимости) (обычно 1% и 5%) определена критическая область проверяемой гипотезы об отсутствии автокорреляции: если фактическое значение меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду может быть принята, если больше, то можно сделать вывод о наличии автокорреляции в ряду. Возможны ситуации, когда для 5%-ного уровня значимости выводом будет наличие автокорреляции, а для 1%-ного - ее отсутствие.

 

Уравнение, выражающее зависимость  каждого уровня (y_t) от предыдущих, называется уравнением авторегрессии. Уравнение авторегрессии, связывающее исходные уровни ряда с теми же уровнями, сдвинутыми на определенный лаг, находится по общим правилам регрессионного анализа. Например, для линейной зависимости система нормальных уравнений будет выглядеть следующим образом: