Ряди динаміки

.

Отже, . Значення можна визначити за формулами:

для непарного числа  членів ряду

;

для парного числа  членів ряду

.

Порядок обчислення параметрів лінійної функції розгляне- 
мо на прикладі динамічного ряду видобутку нафти в регіоні (табл. 8.4).

Таблиця 8.4

ДИНАМІКА ВИДОБУТКУ НАФТИ

Рік	, млн т	Δt	Змінна часу t	yt t	= 74,5 + 3,8t
1993	63,5	—	–3	–190,5	63,1
1994	66,8	3,3	–2	–133,6	66,9
1995	71,0	4,2	–1	–71,0	70,7
1996	74,3	3,3	0	0	74,5
1997	76,9	2,6	1	76,9	78,3
1998	82,2	5,3	2	164,4	82,1
1999	86,8	4,6	3	260,4	85,9
Разом	521,5	´	0	106,6	521,5

 

Ланцюгові абсолютні прирости динамічного  ряду практично стабільні, тому тенденцію  можна описати лінійною функцією. Оскільки довжина ряду n = 7, то Σ t² = 7 (7² – 1) : 12 = 28. Параметри трендового рівняння становлять:

a = Σy_t : n = 521,5 : 7 =74,5;

b = Σy_t t : Σ t² = 106,6 : 28 = 3,8.

Лінійний тренд має  вигляд = 74,5 + 3,8t, тобто середній рівень видобутку нафти становить 74,5 млн т, середньорічний приріст видобутку — 3,8 млн т.

В останній графі таблиці  для кожного року наведено теоретичні рівні , тобто очікувані рівні видобутку нафти в t-му році, зумовлені дією основних чинників розвитку галузі: для 1993 р. = 74,5 + 3,8 (–3) = 63,1 млн т, для 1994 р. = 74,5 + 3,8 (–2) = 
= 66,9 млн т і т. д.

Суми фактичних рівнів і розрахованих за лінійним трендом теоретичних рівнів однакові: = = 521,5 млн т.

Продовження виявленої  тенденції за межі ряду динаміки називають екстраполяцією тренду. Це один із методів статистичного прогнозування, передумовою використання якого є незмінність причинного комплексу, що формує тенденцію. Прогнозний, очікуваний рівень залежить від бази прогнозування та періоду упередження v. Так, припускаючи, що умови, в яких формувалась тенденція видобутку нафти, найближчим часом не зміняться, визначимо прогноз на 2001 рік. Базою прогнозування є теоретичний рівень 1999 р., період упередження v = 2. Очікуваний в 2001 р. видобуток нафти досягне 93,5 млн т:

= 85,9 + 3,8 · 2 = 93,5.

Метод екстраполяції дає точковий прогноз. На практиці, як правило, визначають довірчі межі прогнозного рівня , де — стандартна похибка прогнозу, t-квантиль розподілу Стьюдента (див. підрозд. 6.2).

 

 

8.5. Оцінка коливань та сталості  динаміки

 

Фактичні  рівні динамічних рядів під впливом  різного роду чинників варіюють, відхиляючись від основної тенденції розвитку. В одних рядах коливання мають систематичний, закономірний характер, повторюються через певні інтервали часу, в інших — не мають такого характеру і тому називаються випадковими. У конкретному ряду можуть поєднуватися систематичні та випадкові коливання.

Найпростішою  оцінкою систематичних коливань є коефіцієнти нерівномірності, які обчислюються відношенням максимального і мінімального рівнів динамічного ряду до середнього. Чим більша нерівномірність процесу, тим більша різниця між цими двома коефіцієнтами.

Наприклад, споживання питної води за добу становить 7200 м³, у середньому за годину 7200 : 24 = 300 м³. Найбільший рівень споживання води в період від 20 до 21 години — 381 м³, найменший — у період від 2 до 3 год — 165 м³.

Коефіцієнти нерівномірності  такі:

K_max = 381 : 300 = 1,27;

K_min = 165 : 300 = 0,55.

Амплітуда коливань у  розмірі 72 пункти [100 (1,27 – 0,55)] свідчить про істотну нерівномірність споживання води протягом доби.

Окремим соціально-економічним  процесам притаманні внутрішньорічні, сезонні піднесення і спади. Наприклад, виробництво й переробка сільськогосподарської продукції, нерівномірне завантаження транспорту, коливання попиту на товари тощо. Сезонні коливання виявляються і аналізуються на основі рядів щомісячних або щоквартальних даних.

Характер сезонних коливань описується «сезонною хвилею», яку утворюють індекси сезонності. У динамічних рядах, які не виявляють чіткої тенденції розвитку, індекси сезонності є відношенням фактичних місячних (квартальних) рівнів до середньомісячного (середньоквартального) за рік , %:

.

Рис. 8.3. Сезонна  хвиля  
споживання електроенергії

Порядок обчислення сезонної хвилі розглянемо на прикладі споживання електроенергії комунальним господарством регіону (табл. 8.5). Середньомісячний обсяг споживання = 1848 : : 12 = 154 млн квт × год. Індекси сезонності коливаються від 121,4% у грудні [(187 : 154)100] до 80,5% у липні [124 : 154)100]. Амп- 
літуда сезонних коливань ста- 
новить R_t = 121,4 – 80,5 =  
= 40,9 п. п. Характер сезонної хвилі схематично ілюструє рис. 8.3.

Оскільки  сезонні коливання з року в  рік не лишаються незмінними, виявити сталу сезонну хвилю можна за допомогою середніх індексів сезонності за кілька років:

,

де n — число років.

Таблиця 8.5

ЩОМІСЯЧНА ДИНАМІКА СПОЖИВАННЯ ЕЛЕКТРОЕНЕРГІЇ

Місяць року	Спожито   електроенергії, уt, млн квт · год	Індекс   сезонності Іс, %	Іс – 100	(Іс – 100)2
Січень	172	111,7	11,7	136,89
Лютий	161	104,5	4,5	20,25
Березень	158	102,6	2,6	6,76
Квітень	151	98,0	–2,0	4,00
Травень	147	95,5	–4,6	20,25
Червень	130	84,4	–15,6	243,36
Липень	124	80,5	–19,5	380,25
Серпень	146	94,9	–5,1	26,01
Вересень	149	96.8	–3,2	10,24
Жовтень	155	100,6	0,6	0,36
Листопад	168	109,1	9,1	82,81
Грудень	187	121,4	21,4	457,96
Разом	1848	100	0	1389,14

Для порівняння інтенсивності сезонних коливань різних явищ чи одного й того самого явища в різні роки використовуються узагальнюючі характеристики варіації індексів сезонності:

середнє лінійне відхилення ;

або середнє квадратичне  відхилення .

У динамічному ряду споживання електроенергії (табл. 8.5) середнє квадратичне  відхилення:

 п. п.

Якщо спостерігається  тенденція розвитку, попередньо проводиться згладжування чи вирівнювання динамічного ряду, визначаються теоретичні рівні для кожного місяця (кварталу) року, а індекс сезонності обчислюється як відношення фактичних рівнів ряду до теоретичних , тобто .

Розрахунок  сезонної хвилі за наявності тенденції подано в табл. 8.6 на прикладі щоквартальної динаміки продажу безалкогольних напоїв (млн дкл). Тенденція ряду описується рівнянням Y_t = 48,2 +  
+ 1,445 t, де t змінюється в межах від t₁ = –5,5 до t_n = +5,5.

Таблиця 8.6

ТРЕНД І СЕЗОННІ КОЛИВАННЯ  ПРОДАЖУ БЕЗАЛКОГОЛЬНИХ НАПОЇВ

Рік	Квартал	Млн дкл, yt	Тренд Yt	Індекс   сезонності	Тренд, скоригований на сезоність, Yt =
1997	1	24,4	40,3	0,606	27,7
	2	52,6	41,7	1,262	51,0
	3	60,4	43,1	1,401	59,0
	4	34,0	44,6	0,763	32,1
1998	1	32,7	46,0	0,711	31,6
	2	56,2	47,5	1,184	58,0
	3	67,3	48,9	1,377	66,9
	4	36,2	50,4	0,719	36,1
1999	1	37,8	51,8	0,730	35,6
	2	65,3	53,3	1,225	65,1
	3	73,1	54,7	1,337	74,9
	4	38,4	56,1	0,689	40,4
Разом	´	578,4	578,4	12	578,4

Середньозважені індекси сезонності (для яких ваги — середньорічні обсяги продажу) становлять:

Для першого кварталу

Аналогічно розраховані  індекси для другого кварталу для третього для четвертого .

Скоригований на сезонність тренд наведено в останній графі  табл. 8.6. Для першого кварталу 1997 р.

.

Відхилення фактичних  рівнів y_t від скоригованих трендів зумовлено дією випадкових причин.

Абсолютною  мірою випадкових коливань є середнє квадратичне відхилення , яке обчислюється на основі залишкової дисперсії:

.

За даними табл. 8.7 залишкова  дисперсія продажу безалкогольних напоїв становить

звідки  .

Таблиця 8.7

ДО РОЗРАХУНКУ ЗАЛИШКОВОЇ ДИСПЕРСІЇ 

t	yt
–5,5	24,4	27,7	–3,3	10,89
–4,5	52,6	51,0	1,6	2,56
–3,5	60,4	59,0	1,4	1,96
–2,5	34,0	32,1	1,9	3,61
–1,5	32,7	31,6	1,1	1,21
–0,5	56,2	58,0	–1,8	3,24
0,5	67,3	66,9	0,4	0,16
1,5	36,2	36,1	0,1	0,01
2,5	37,8	35,6	2,2	4,84
3,5	65,3	65,1	0,2	0,04
4,5	73,1	74,9	–1,8	3,24
5,5	38,4	40,4	–2,0	4,00
Разом	578,4	578,4	0	35,76