Ряди динаміки

Метод обчислення середнього рівня динамічного ряду залежить від статистичної структури показника. В інтервальному ряді абсолютних величин, рівні якого динамічно адитивні, використовується середня арифметична проста:

,

де n — число рівнів ряду.

У моментному ряді, за припущення про рівномірну зміну показника між датами, середня розраховується як півсума значень на початок і кінець періоду:

.

Якщо в  моментному ряді n > 2 і між суміжнимі датами однакові інтервали, розрахунок виконується за формулою середньої хронологічної:

.

Обґрунтування та розрахунок такої середньої наведено в підрозд. 4.4.

У моментних рядах  з різними інтервалами між датами розраховується середня арифметична зважена:

,

де  — інтервал часу між датами, m — кількість інтервалів.

Середній  абсолютний приріст (абсолютна швидкість динаміки) обчислюється діленням загального приросту за весь період на довжину цього періоду у відповідних одиницях часу (рік, квартал, місяць тощо):

.

Наприклад, 1996 року автомобільним транспортом  переве- 
зено 2072 тис. т вантажів, 1999 року — 2126 тис. т. Середьо- 
річний приріст цього показника за 1997 — 1999 рр. становить  = (2126 – 2072) : 3 = 18 тис. т.

При обчисленні середнього темпу зростання враховується правило складних процентів, за якими змінюється відносна швидкість динаміки (нагромаджується приріст на приріст). Тому середній темп зростання обчислюється за формулою середньої геометричної з ланцюгових темпів зростання:

,

де n — кількість темпів зростання за однакові інтервали часу.

Наприклад, за останні 3 роки невпинно зростали тарифи на  
автоперевезення. Темпи зростання становили: 1997 р. — 1,03; 1998 р. — 1,08; 1999 р. — 1,05. Середьорічний темп зростання

 або 105,3 %.

Урахувавши взаємозв’язок  ланцюгових і базисних темпів зростання, формулу середньої геометричної можна записати так:

.

Скажімо, вартість споживчого кошика за три роки зросла на 12,5%. Середньорічний темп зростання становить

Тобто щороку споживчий  кошик дорожчав у середньому на 4%. Розрахунок можна виконувати за допомогою логарифмів: або . Наприклад, прямі іноземні інвестиції в галузь 1996 року становили 172 млн дол. США, 1999 року — 313,7. Десяткові логарифми, відповідно, 2,2355 і 2,4965. Звідси Потенціювання дає

Отже, середній темп зростання  можна обчислити на основі:

• ланцюгових темпів зростання k_t;
• кінцевого (за весь період) темпу зростання K_n;
• кінцевого y_n і базисного y₀ рівнів ряду.

При інтерпретації середньої абсолютної чи відносної швидкості динаміки необхідно вказувати часовий інтервал, до якого належать середні, та часову одиницю вимірювання (рік, квартал, місяць, доба тощо).

8.3. Середня абсолютна та відносна  швидкість розвитку

З плином часу змінюються, варіюють рівні динамічних рядів і обчислені на їх основі абсолютні прирости та темпи зростання. Постає потреба узагальнення притаманних динамічному ряду властивостей, визначення типових характеристик розвитку. Такими характеристиками є середні величини. Зауважимо, що динамічна середня буде типовою характеристикою лише за умови однорідності ряду, коли причинний комплекс формування закономірностей розвитку більш-менш стабільний.

Середні рівні використовують насамперед для узагальнення коливних рядів. Наприклад, при аналізі динаміки сільськогосподарського виробництва оперують не річними, а більш сталими середньорічними показниками за певні періоди. Середні рівні необхідні також для забезпечення порівнянності чисельника і знаменника при побудові динамічних рядів похідних показників. Наприклад, виробництво продукції на одного працюючого. Обсяг продукції — інтервальний показник, а кількість працюючих — моментний. Щоб забезпечити порівнянність цих показників, слід обчислити середньорічну кількість працюючих.

Метод обчислення середнього рівня  динамічного ряду залежить від статистичної структури показника. В інтервальному ряді абсолютних величин, рівні якого динамічно адитивні, використовується середня арифметична проста:

,

де n — число рівнів ряду.

У моментному ряді, за припущення про рівномірну зміну показника між датами, середня розраховується як півсума значень на початок і кінець періоду:

.

Якщо в  моментному ряді n > 2 і між суміжнимі датами однакові інтервали, розрахунок виконується за формулою середньої хронологічної:

.

Обґрунтування та розрахунок такої середньої наведено в підрозд. 4.4.

У моментних рядах з різними  інтервалами між датами розраховується середня арифметична зважена:

,

де  — інтервал часу між датами, m — кількість інтервалів.

Середній  абсолютний приріст (абсолютна швидкість динаміки) обчислюється діленням загального приросту за весь період на довжину цього періоду у відповідних одиницях часу (рік, квартал, місяць тощо):

.

Наприклад, 1996 року автомобільним транспортом  переве- 
зено 2072 тис. т вантажів, 1999 року — 2126 тис. т. Середьо- 
річний приріст цього показника за 1997 — 1999 рр. становить  = (2126 – 2072) : 3 = 18 тис. т.

При обчисленні середнього темпу зростання враховується правило складних процентів, за якими змінюється відносна швидкість динаміки (нагромаджується приріст на приріст). Тому середній темп зростання обчислюється за формулою середньої геометричної з ланцюгових темпів зростання:

,

де n — кількість темпів зростання за однакові інтервали часу.

Наприклад, за останні 3 роки невпинно зростали тарифи на  
автоперевезення. Темпи зростання становили: 1997 р. — 1,03; 1998 р. — 1,08; 1999 р. — 1,05. Середьорічний темп зростання

 або 105,3 %.

Урахувавши взаємозв’язок  ланцюгових і базисних темпів зростання, формулу середньої геометричної можна записати так:

.

Скажімо, вартість споживчого кошика за три роки зросла на 12,5%. Середньорічний темп зростання становить

Тобто щороку споживчий  кошик дорожчав у середньому на 4%. Розрахунок можна виконувати за допомогою логарифмів: або . Наприклад, прямі іноземні інвестиції в галузь 1996 року становили 172 млн дол. США, 1999 року — 313,7. Десяткові логарифми, відповідно, 2,2355 і 2,4965. Звідси Потенціювання дає

Отже, середній темп зростання  можна обчислити на основі:

• ланцюгових темпів зростання k_t;
• кінцевого (за весь період) темпу зростання K_n;
• кінцевого y_n і базисного y₀ рівнів ряду.

При інтерпретації середньої абсолютної чи відносної швидкості динаміки необхідно вказувати часовий інтервал, до якого належать середні, та часову одиницю вимірювання (рік, квартал, місяць, доба тощо).

 

 

8.4. Характеристика основної  
тенденції розвитку

 

Будь-який динамічний ряд  у межах періоду з більш-менш стабільними умовами розвитку виявляє певну закономірність зміни рівнів — загальну тенденцію. Одним рядам притаманна тенденція до зростання, іншим — до зниження рівнів. Зростання чи зниження рівнів динамічного ряду, у свою чергу, відбувається по-різному: рівномірно, прискорено чи уповільнено. Нерідко ряди динаміки через коливання рівнів не виявляють чітко вираженої тенденції.

Щоб виявити й схарактеризувати основну тенденцію, застосовують різні способи згладжування та аналітичного вирівнювання динамічних рядів.

Суть згладжування полягає в укрупненні інтервалів часу та заміні первинного ряду рядом середніх по інтервалах. У середніх взаємоврівноважуються коливання рівнів первинного ряду, внаслідок чого тенденція розвитку вирізняється чіткіше.

Залежно від  схеми формування інтервалів розрізняють  ступінчасті та ковзні (плинні) середні. Ряди цих середніх схематично зображено на рис. 8.2 для інтервалу m = 3. Очевидно, що ковзна середня більш гнучка і може краще відбити особливості тенденції.

 

 

Рис. 8.2. Схеми  утворення інтервалів згладжування  
динамічних рядів

 

При розрахунку ковзних середніх кожний наступний інтервал утворюється на основі попереднього заміною одного рівня. Оскільки середня належить до середини інтервалу, то доцільно формувати інтервали з непарного числа рівнів первинного ряду. У разі парного числа рівнів необхідна додаткова процедура центрування (усереднення кожної пари значень ).

Ряд ковзних середніх коротший за первинний на (m – 1) рівнів, що потребує уважного ставлення до вибору ширини інтервалу m. Якщо первинному ряду динаміки притаманна певна періодичність коливань, то інтервал згладжування має бути рівним або кратним періоду коливань.

Порядок згладжування методом  ковзної середньої розглянемо на прикладі динамічного ряду врожайності зернових у регіоні (табл. 8.3). Ширина інтервалу згладжування m = 3. Первинний ряд складається із семи рівнів, ряд ковзних середніх — з п’яти, тобто на два рівні коротший (7 – 3 + 1).

Таблиця 8.3

РОЗРАХУНОК КОВЗНИХ  СЕРЕДНІХ УРОЖАЙНОСТІ ЗЕРНОВИХ

Порядковий  номер року	, ц/га	Ковзна середня	Розрахунок
1	23,8	—	—
2	19,1	21,6	(23,8 + 19,1 + 21,9) : 3 = 21,6
3	21,9	22,2	21,6 + (25,6 – 23,8) : 3 = 22,2
4	25,6	24,0	22,2 + (24,5 – 19,1) : 3 = 24,0
5	24,5	26,2	24,0 + (28,5 – 21,9) : 3 = 26,2
6	28,5	26,9	26,2 + (27,7 – 25,6) : 3 = 26,9
7	27,7	—	—

 

Перше значення ковзної  середньої обчислюється як арифметична проста, кожне наступне можна визначити на основі попередньої середньої та коригуючого доданка. Наприклад:

(ц/га);

(ц/га);

(ц/га) і т. д.

У згладженому ряді трирічних ковзних середніх усунено первинні коливання врожайності й чітко виявляється систематичне підвищення її рівня.

Метод ковзних середніх застосовують також для попередньої  обробки дуже коливних динамічних рядів; можливе подвійне згладжування.

При аналітичному вирівнюванні динамічного ряду фактичні значення y_t замінюються обчисленими на основі певної функції Y = f (t), яку називають трендовим рівнянням (t — змінна часу, Y — теоретичний рівень ряду).

Вибір типу функції ґрунтується  на теоретичному аналізі суті явища, яке вивчається, і характері його динаміки. Зазвичай перевага надається функціям, параметри яких мають чіткий економічний зміст і вимірюють абсолютну чи відносну швидкість розвитку. Суттєвою підмогою при виборі функцій є аналіз ланцюгових характеристик інтенсивності динаміки. Якщо ланцюгові абсолютні прирости відносно стабільні, не мають чіткої тенденції до зростання чи зменшення, вирівнювання ряду виконується на основі лінійної функції: . Якщо ж відносно стабільними є ланцюгові темпи приросту, то найбільш адекватною такому характеру динаміки є експонента . У зазначених функціях t — порядковий номер періоду (дати), а — рівень ряду при t = 0. Параметр b характеризує швидкість динаміки: середню абсолютну в лінійній функції і середню відносну — в експоненті. Коли характеристики швидкості розвитку зростають (чи зменшуються), використовуються інші функції (парабола 2-го степеня, модифікована експонента тощо).

Параметри трендових  рівнянь визначають методом найменших квадратів. Згідно з умовою мінімізації суми квадратів відхилень фактичних рівнів ряду від теоретичних параметри визначаються розв’язуванням системи нормальних рівнянь. Для лінійної функції вона записується так:

,

.

Система рівнянь спрощується, якщо початок відліку часу (t = 0) перенести в середину динамічного ряду. Тоді значення t, розміщені вище середини, будуть від’ємними, а нижче — додатними. При непарнoму числі членів ряду (наприклад, n = 5) змінній t надаються значення з інтервалом одиниця: –2, –1, 0, 1, 2; при парному: –2,5, –1,5, –0,5, 0,5, 1,5, 2,5. В обох випадках , а система рівнянь набирає вигляду

,