Особенности и применения балансового метода

 

 

Результаты аналитической  группировки показывают, что с  увеличением выпуска продукции  в среднем на 1 предприятие фонд заработной платы растет. Сравним 5 и 1 группы – с увеличением выпуска  продукции на 73,09 – 20,72 = 52,37 млн. руб. фонд заработной платы увеличился в  среднем на 1 предприятие на 24,23 – 6,70 = 17,53 млн. руб. Зависимость между  признаками прямая.

2) Построим график полученного  ряда распределения. 

 

В интервальном вариационном ряду мода (М₀) вычисляется по формуле: 

 

 

  M₀ = X₀ + i  f_Mo – f_{Mo-1___________}    

(f_Mo - f_{Mo – 1}) + (f_Mo- f_{Mo + 1}) 

 

где X₀  - начало модального интервала,

i – ширина модального интервала,

f_Mo – частота модального интервала,

f_{Mo – 1} – частота предмодального интервала,

f_{Mo + 1} – частота послемодального интервала.

Таблица 2.6

Интервальный ряд  распределения предприятий по выпуску  продукции.

Группы по выпуску продукции, млн. руб.	Число предприятий f	Накопленная частота S	X	Xf	(X –  X)2f
14,4 – 27,36 27,36 – 40,32 40,32 – 53,28 53,28 – 66,24 66,24 – 79,2	4 8 9 6 3	4 12 21 27 30	20,88 33,84 46,8 59,76 72,72	83,52 270,72 421,2 358,56 218,16	2340,64 1008,90 26,94 1294,78 2293,57
Итого	30	___	___	1352,16	6964,83

 

 

X₀  = 40,32

i = 53,28 – 40,32 = 12,96

f_Mo = 9

f_{Mo – 1} = 8

f_{Mo + 1} = 6 

M₀ = 40,32 + 12,96   9 – 8_____   =

(9 – 8) + (9 – 6) 

 

=40,32 + 12,96 * 0,25 = 40,32 + 3,24 = 43,56

Чаще всего встречаются  предприятия с выпуском продукции 43,56 млн. руб.

Для того, определить моду графическим  путем нужно построить гистограмму  распределения (представляет собой  столбцовую диаграмму, по оси ордината – группы, по оси абцисс – число  предприятий).

В интервальном вариационном ряду медиану определяем по формуле:   

M_е = X₀ + i ?f/2 – S_{Me - 1___________}       

f_Me

где X₀ – начало медианного интервала,

i – ширина медианного интервала,

S_{Me – 1} – накопленная частота предмедианного интервала,

f_Me – частота в медианном интервале.

?f/2 = 30/2 = 15

X₀ = 40,32

i = 12,96 

f_Me = 9 

 

 

  M_е = 40,32 + 12,96 *(15 – 12)/9 = 40,32 + 4,32 = 44,64 млн. руб.

Половина предприятий  имеют выпуск продукции до 44,64 млн. руб., вторая половина больше 44,64 млн. руб.

Графически медиану можно  определить по кумуляте распределения.

Кумулята 

 

3) Средняя арифметическая  взвешенная определяется по формуле:

_   ? xf    1352,16

x = ------------  = --------------  = 45,07 млн.руб.

?f   30 

 

Среднее квадратическое взвешенное отклонение по формуле: 

 

 

  ? (x – x )² f  6964,83

? = ------------------ =   ---------------- = 15,24 млн. руб.

?f  30 

 

Коэффициент вариации определяется по формуле:

?  15,24

V_? = ----- 100% = ---------  100% = 33,8%  

x    45,07 

 

Средний выпуск продукции  по совокупности предприятий составляет 45,07 млн. руб. этот показатель по группам  предприятий отклоняется от среднего значения на + - 15,24 млн. руб. или + - 33,8 %

Коэффициент вариации характеризует  однородность изучаемой совокупности, чем меньше сигма и коэффициент  вариации, тем однороднее изучаемой  совокупности и надежнее полученная средняя по всей совокупности.

Совокупность считается  однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

Совокупность предприятий  по выпуску продукции неоднородная.

4) Вычислим среднюю арифметическую  по исходным данным и сравним  её с аналогичным показателем,  рассчитанным в п.3 настоящего  задания:

_   ? x_i    1320,54

x = -------------- = ---------------- =  44,02 млн. руб.  

n  30 

Причиной расхождения  является то, что при исчислении средней арифметической в рядах  распределения допускается некоторая  неточность, поскольку делается предположение  о равномерности распределения  единиц признака внутри группы.

Вывод:   

В результате группировки  образовалось пять групп с равными  интервалами равными 12,96 млн руб., где выяснилось, что наиболее многочисленной является третья группа предприятий  у которых  выпуск продукции от 40,32 – 53,28 млн руб., в эту группу входят 9 предприятий. Второй по численности является вторая группа предприятий, куда входят 8 предприятий, и выпуск продукции  от 27,36 – 40,32 млн руб. В четвертую  группу входят 6 предприятий, выпуск продукции от 53,28 – 66,24 млн руб. В первую группу входят  4 предприятия выпуск продукции составляет от 14,4 – 27,36 млн руб. И в пятую группу входят 3 предприятия, у которых выпуск продукции от 66,24 – 79,2 млн. руб. 

 Средний  выпуск продукции для этой совокупности составляет 44,02 млн руб. Данная совокупность  является количественно неоднородной, т.к. коэффициент вариации превышает нормальное состояние 33% и равен 33,8%. 

 

Задание 2

По исходным данным (табл. 1) с использованием  результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее:

1. Установить наличие и  характер связи между признаками среднегодовая стоимость основных производственных фондов и выпуск продукции, образовав шесть групп с равными интервалами по обоим признакам, методами: 

 а) аналитической группировки;  

 б) корреляционной таблицы.

2. Измерить тесноту корреляционной  связи между названными признаками  с использованием коэффициента  детерминации и эмпирического   корреляционного  отношения.

Сделать выводы.

Решение:

1) Аналитическая группировка  позволяет изучать взаимосвязь  факторного и результативного  признаков. Установим наличие  и характер связи между инвестициями  в основные фонды и нераспределенной  прибылью  методом аналитической группировки.

Вычислим длину интервала  по среднегодовой  стоимости основных фондов по формуле:  

,

x_max  - максимальное значение признака,

x_min – минимальное значение признака,

n – число групп = 5

i = (26,400 - 4,32) /5 = 4,416

Получаем интервалы по основным производственным фондам:

1 группа от 4,32 до  8,736

2 группа от 8,736 до 13,152

3 группа от 13,152 до 17,568

4 группа от 17,568 до 21,984

5 группа от 21,984 до 26,400

Строим рабочую таблицу  распределения предприятий по среднегодовой  стоимости основных производственных фондов.

Таблица 2.7

Группы по стоимости основных фондов, млн. руб.	№ п/п	Среднегодовая стоимость  основных производственных фондов, млн. руб.	Выпуск продукции, млн. руб.
4,32 - 8,736	15 20 2 6	4,32 5,85 8,112 8,532	14,4 18,2 23,4 26,86
Итого по 1 группе	__	26,81	82,86
8,736 - 13,152	24 10 21 14 29 1 16 22 9 18 5	8,848 9,540 9,858 10,465 10,948 11,340 11,502 11,826 12,062 12,792 13,035	28,44 30,21 31,8 35,42 35,903 36,45 36,936 39,204 40,424 41,0 41,415
Итого по 2 группе	__	122,22	397,2
13,152- 17,568	27 11 25 3 30 13 17 8 19	13,280 13,694 13,944 15,036 15,810 16,082 16,356 17,100 17,472	41,832 42,418 43,344 46,540 50,220 51,612 53,392 54,720 55,680
Итого по 3 группе	__	138,77	439,76
17,568 - 21,984	23 4 12	18,142 19,012 21,320	57,128 59,752 64,575
Итого по 4 группе	__	58,47	181,46
21,984 -26,400	28 26 7	22,356 23,920 26,400	69,345 70,720 79,2
Итого по 5 группе	__	72,68	219,27
Всего	__	418,95	1320,54

 

 

Теперь по данным рабочей  таблицы строим итоговую аналитическую  таблицу:

Таблица 2.8

Группы по среднегодовой  стоимости основных производственных фондов, млн. руб.	Число предприятий	Среднегодовая стоимость  основных производственных фондов, млн. руб.	Выпуск продукции, млн. руб.
Всего	в среднем на пред.	Всего	в среднем на предпр
4,32 – 8,736	4	26,81	6,70	82,86	20,72
8,736 – 13,152	11	122,22	11,11	397,2	36,11
13,152 – 17,568	9	138,77	15,42	439,76	48,86
17,568 -21,984	3	58,47	19,49	181,46	60,49
21,984 – 26,400	3	72,68	24,23	219,27	73,09
Всего в среднем	30	418,95	76,95	1320,54	239,27

 

 

Результаты аналитической  группировки показывают, что с  увеличением среднегодовой стоимости  основных производственных фондов в  среднем на 1 предприятие выпуск продукции растет. Сравним 5 и 1 группы – с увеличением среднегодовой  стоимости основных производственных фондов на 24,23 – 6,70 = 17,53 млн. руб.  выпуск продукции увеличился в среднем на 1 предприятие на 73,09 – 20,72 = 52,37 млн. руб. Зависимость между двумя  признаками прямая.

2) Проведем корреляционно-регрессионный  анализ предположив, что между  выручкой от продажи продукции  и чистой прибылью существует  линейная зависимость, выраженная  уравнением: 

 

у = а+вх,   где

а и в – параметры регрессии, которые определяются методом наименьших квадратов.

МНК: ? (у – у_х)² > min  следовательно

? у = аh + в ? х

? ух = а ? х + в ? х²

Система нормальных уравнений

Рассчитаем необходимые  показатели в таблице 2.9

Таблица 2.9

Исходные и расчетные  данные

№ п/п	Выпуск продукции, млн. руб. Y	Среднегодовая стоимость  основных производственных фондов, млн. руб. X	ХУ	Y2	X2
1	36,45	11,340	413,34	1328,60	128,6
2	23,4	8,112	189,82	547,56	65,8
3	46,540	15,036	699,78	2165,97	226,08
4	59,752	19,012	1136,01	3570,3	361,46
5	41,415	13,035	539,84	1715,2	169,91
6	26,86	8,532	229,17	721,46	72,8
7	79,2	26,400	2090,88	6272,64	696,96
8	54,720	17,100	935,71	2994,28	292,41
9	40,424	12,062	487,59	1634,1	145,49
10	30,21	9,540	288,20	912,64	91,01
11	42,418	13,694	580,87	1799,29	187,53
12	64,575	21,320	1376,74	4169,93	454,54
13	51,612	16,082	830,02	2663,8	258,63
14	35,42	10,465	370,67	1254,58	109,52
15	14,4	4,32	62,21	207,36	18,66
16	36,936	11,502	424,84	1364,27	132,3
17	53,392	16,356	873,28	2850,71	267,52
18	41,0	12,792	524,47	1681,00	163,64
19	55,680	17,472	972,84	3100,26	305,27
20	18,2	5,85	106,47	331,24	34,22
21	31,8	9,858	313,48	1011,24	97,18
22	39,204	11,826	463,63	1536,95	139,85
23	57,128	18,142	1036,42	3263,61	329,13
24	28,44	8,848	251,64	808,83	78,29
25	43,344	13,944	604,39	1878,7	194,44
26	70,720	23,920	1691,62	5001,32	572,17
27	41,832	13,280	555,53	1749,92	176,36
28	69,345	22,356	1550,28	4808,73	499,79
29	35,903	10,948	393,07	1289,03	119,86
30	50,220	15,810	793,98	2522,05	249,96
Итого	1320,54	418,95	20786,79	65155,57	6639,38

 

  

 

 

  1320,54 = а*30 + в*418,95 

20786,79 = а* 418,95+ в*6639,38 

30а = 1320,54 - 418,95в 

20786,79 = 1320,54а + 65155,58в 

 а = (1320,54 – 418,95в) / 30 

20786,79 = [(1320,54 – 418,95в)/30] * 418,95 + 6639,38в 

623603,7 = 553240,23 – 175519,1в + 199181,4в  

70363,47 = 23662,3в 

 в = 2,97 

 а = (1320,54 – 1244,28)/30 = 2,54

у_х = 2,54 + 2,97х

а – равен значению результативного  признака при х=0

в – показывает, что с  увеличением  фактического признака на единицу результативный признак меняется в среднем на величину (в). В нашем случае если выпуск продукции увеличивается на 1 млн. руб., то среднегодовая стоимость основных производственных фондов на 2,97 млн. руб.

3) Коэффициент детерминации показывает долю общей вариации результативного признака, обусловленную вариацией группировочного признака. Находится как отношение межгрупповой дисперсии к общей дисперсии:  

?² = ?²_мгр / ?²_общ 

 

где ?²_общ  – общая дисперсия,

?²_мгр  – межгрупповая (факторная) дисперсия.

Общая дисперсия  характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных) и вычисляется по формуле

?(y – y_общ)²f

?²_общ = --------------- 

  ? f

где  у – индивидуальные значения результативного признака;  

y_общ – общая средняя значений результативного признака;

Межгрупповая  дисперсия ?²_мгр измеряет систематическую  вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка) и вычисляется по формуле 

?(у_гр - у_общ)²f

?²_мгр = -----------------   

? f

Для расчета показателей ?²_общ и ?²_мгр необходимо знать величину общей средней у_общ , которая вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:  

? y_i   1320,54   

у_общ = -------- = -------------- = 44,02

n   30

Для расчета общей дисперсии ?²_общ применяется вспомогательная таблица 2.8. 

 

 

  

 

 

 Таблица 2.10

Вспомогательная таблица для расчета общей  дисперсии

Номер предприятия	Выпуск продукции млн. руб.
1	2	3	4
1	36,45	-7.57	57,3
2	23,4	-20.62	425,18
3	46,540	2.52	6,35
4	59,752	15.73	2,99
5	41,415	-2.60	6,76
6	26,86	-17.16	294,47
7	79,2	35.18	1237,63
8	54,720	10.70	114,49
9	40,424	-3.59	12,89
10	30,21	-13.81	190,72
11	42,418	-1.60	2,56
12	64,575	20.56	422,71
13	51,612	7.59	57,61
14	35,42	-8.6	73,96
15	14,4	-29.62	877,34
16	36,936	-7.08	50,13
17	53,392	9.37	87,8
18	41,0	-3.02	9,12
19	55,680	11.66	135,96
20	18,2	-25.82	666,67
21	31,8	-12.22	149,33
22	39,204	-4.81	23,14
23	57,128	13.11	171,87
24	28,44	-15.58	242,74
25	43,344	-0.67	0,45
26	70,720	26.70	712,89
27	41,832	-2.19	4,8
28	69,345	25.33	641,61
29	35,903	-8.12	65,93
30	50,220	6.20	38,44
Итого	1320.54		6783,84