Основные понятия теории вероятностей

Размещения.

Размещениями из n различных элементов по m различных элементов (m£n) называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Например, из трех элементов  а, в, с можно составить по 2 элемента следующие размещения: ав, ас, вс, ва, са, св.

Число различных размещений из n элементов по m элементов обозначается и определяется по формуле: = n  (n–1)(n–2)…(n–m+1)– всего m сомножителей.

                                                                           m

 

Например, с помощью  этой формулы можно найти количество всех трехзначных чисел, составленных из цифр от 1 до 9:

                                            =9×8(9–3+1)=504.

Для  расчета часто используют и другую формулу, в ряде случаев более удобную для практики:                          .

Особенно она удобна, когда n велико, а величина m неблизка к n:

                               

Перестановки.

Перестановками из n различных элементов называются размещения из этих n элементов по n элементов.

Таким образом, перестановки можно считать частным случаем  размещений при m=n. Следовательно, число всех перестановок из n элементов вычисляется по формуле:                           

                              Р_n =n(n–1)(n–2) …3×2×1=n!

При этом полагают: 1!=1 и 0!=1.

Например,   с помощью  этой формулы можно подсчитать, сколькими  способами можно разместить 7 больных  в палате, насчитывающей 7 коек: Р₇=7!=5040.

А теперь вернемся к примеру 2.

а) Занумеруем буквы в  том порядке, в каком они написаны:

                              Л, М, О, О, Т

                               1,  2,  3,  4,  5.

Подсчитаем число равновозможных случаев n. Очевидно, их будет столько, сколько можно сделать перестановок из пяти элементов, т. е. n=P₅=5!=120. Из этих 120 случаев только два случая благоприятствуют событию А– получению слова ”МОЛОТ”. Действительно, событие А произойдет, если карточки будут взяты только в таком порядке:

                               2   3  1 4  5           2  4   1  3  5

                                                 или

                               М О Л О Т           М О Л О Т

Таким образом, Р(А)=

б) Число всех равновозможных случаев равно, очевидно, числу размещений из 5 элементов по три, т.е. n=

Из этих 60 равновозможных случаев только два случая  благоприятствуют событию В–получению слова “ТОМ”.

Действительно, событие  В произойдет, если карточки будут  взяты в таком порядке:

                             5  3  2                     5   4  2

                                             или

                             Т  О  М                  Т  О  М.

Следовательно, Р(В)=

Однако, в практике теории вероятностей наиболее часто применяется последний из рассматриваемых нами видов комбинаций элементов, а именно

Сочетания.

Сочетаниями из n различных элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из n элементов по m  элементов обозначается и

вычисляется по формуле: 

При проведении расчетов бывает полезно использовать следующее  свойство сочетаний, упрощающее расчеты: . Это упрощение очевидно при больших и близких по величине n  и m:

Пример 3. Найти число равновозможных случаев распределения 5 лотерейных билетов среди группы из 25 студентов. Очевидно, это будет число сочетаний из 25 по 5:

                         

Пример 4. В разведку (по жребию) надо из 30 человек взять 5. Какова вероятность того, что среди них окажется 3 отличных стрелка и 2 хороших, если в разведвзводе (30 чел.) всего 17 отличных и 13 хороших стрелков?

Испытание –выбор пяти  из 30-ти. Число всех возможных вариантов n= Пусть событие А– выбраны 3 отличных и 2 хороших стрелка. Трех отличников можно выбрать из 17-ти способами, и после этого каждого такого выбора двух хороших из 13-ти  можно выбрать способами. Событию А благоприятствуют m = исходов испытания. И тогда

                  

Пример 5. Из колоды в 36 карт наугад вынимаются 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажутся два туза (событие А). Очевидно, n= И тогда

 

 

 

§ 4.  Другие  определения  вероятности. Аксиомы  теории вероятностей.

 

Рассмотренное  в § 2 определение вероятности, которое  мы назвали классическим, оказывается  неприменимым во многих случаях, важных для приложений.

Прежде всего, для классического  определения вероятности требуется  наличие конечного числа единственно возможных и несовместных равновозможных событий. Между тем, как раз добиться  конечности общего числа допустимых случаев далеко не всегда возможно. Неосуществимым нередко оказывается и само допущение о разложении рассматриваемого события на равновозможные случаи.

Преодолеть первую из указанных трудностей иногда удается  с помощью так называемого геометрического определения  вероятности. Оно используется для вычисления вероятности появления события в том случае, когда результат испытания определяется непосредственно случайным положением точек в некоторой области (или задача может быть искусственно приведена к такой схеме).

Если размер всей области  равен S, а размер части этой области, попадание в которую благоприятствует данному событию А, составляет величину S_А, то вероятность события А

                       Р(А)=S_A/S.

Область S может иметь любое число измерений, поэтому S_А и S могут представлять собой длины отрезков, площади, объемы,….

Пример 1.

                                 Территория нефтебазы имеет форму прямоугольника со сторонами а = 50                               =50м и                     м и в=30 м. На территории имеется 4 круглых нефтебака Ø10 м каждый.

                                 Какова вероятность прямого поражения нефтебаков  бомбой, попавшей в                               

                                  территорию  нефтебазы, если попадание бомбы  в любую её точку одина-

      Рис.1.1          ково  вероятно? (событие А) Здесь область S – это прямоугольник, площадь которого 1500 м², а S_А – сумма площадей четырех кругов, площадь  каждого из  которых есть 25p м², т.е. »78,5 м². И тогда

                         

В примере 1 постановка задачи непосредственно сама ”подтолкнула” нас на использование геометрического истолкования вероятности.

Покажем на примерах, где  собственно постановка задачи не очевидно ведет к этому; мы сами к этому  придем, сводя физическую суть задачи к её графической интерпретации.

 

 

 

 

Пример 2. В любые моменты времени промежутка Т равновозможны поступления в   приемник двух сигналов.  Приемник  будет “забит”, если разность по времени между этими

                                                               сигналами   у будет меньше t. Определить вероятность

                                                               того, что приемник будет “забит”.   Пусть х и у –

                                                               моменты поступления сигналов в приемник. Областью

                                                               возможных значений, у является, очевидно, квадрат

                                                               площадью  . Приемник будет “ забит”, если ½х–у½£t.

                                                               Данная область лежит между прямыми х–у=t и х–у=–t.

                                                               Ее площадь

           рис. 1.2         

                      S_A=S–2S_Δ=S–(T–t)²Þ

       

Пример 3.

 

 

 

S₁

 

 

S₂

 

                      S₃     S₁

           рис. 1.3                        Благоприятствующие значения: х+ у£1 и ху£2/9. граница х+у=1 делит квадрат пополам, причем, область х+у£1 представляет собой нижний треугольник.  Вторая граница ху=2/9 является гиперболой. Заменяя  у на 1 –х, из равенства х(1–х)=2/9 находим абсциссы  точек пересечения   этих границ: х=1/3 и х=2/3. Из рис. видим:

При рассмотрении геометрической вероятности  мы встречаемся уже с некоторыми новыми фактами. Так, при классическом определении справедливо не только утверждение, что вероятность достоверного события равна единице, но и обратное: если вероятность события равна единице, то событие достоверно. Действительно, мы видим, что Р(А)=1 означает наличие равенства  m=n, т.е. данному событию благоприятствуют все элементарные события полной группы, так что событие А с необходимостью(обязательно) наступит. Для геометрических вероятностей это обратное заключение оказывается несправедливым. В самом деле, выделим в рассматриваемой плоской области S конечное число точек или даже целую линию. Площадь оставшейся части равна площади всей области, а потому и вероятность попадания точки в эту основную часть равна единице (Р=S/S=1). Тем не менее, это событие не является достоверным, ибо возможно попадание в точку или линию.

Точно также вероятность  попадания в выделенные точки (или  линию) равна нулю (Р=S_A/S=0/S=0), в то время как это событие является возможным.

В различных приложениях  теории вероятностей в естественнонаучных и технических вопросах часто пользуются  так называемым статистическим определением вероятности.

Допустим, что имеется  возможность неограниченного повторения испытаний, в каждом из которых при  сохранении неизменных условий отмечается появление или непоявление некоторого события (примеры: бросание монеты или игральной кости, извлечение шара из урны (с возвратом), стрельба по цели и т. п. )

Пусть при достаточно большом числе n испытаний интересующее нас событие наступило m раз. Отношение W(A)= принято называть частостью (относительной частотой), а величину m – частотой события А.

Пример 4. Отдел технического контроля из 200 взятых наугад деталей обнаружил 5 бракованных деталей. Следовательно , в этой партии частота бракованных деталей  m=5, а частость W=5/200=0,025.

Наблюдение за появлением некоторых событий показало, что  в ряде случаев при очень большом  числе испытаний  их относительная  частота или, соответственно, частость сохраняет почти постоянную величину, причем, ее колебания становятся тем меньше, чем больше число испытаний.

Пример 5. Произведем с монетой серию из n₁ бросаний;  получим частость выпадения герба W₁=m₁/n_1. Производя новые серии испытаний, получим W₂=m₂/n₂, W₃ =m₃/n₃,… Многочисленные опыты подтверждают, что для  достаточно больших значений n_1,  n_2, … частости W₁, W₂, … незначительно колеблются около числа 0,5. Так, например, французский естествоиспытатель  Бюффон  и английский ученый биолог Пирсон произвели эксперименты с бросанием монеты и получили следующие результаты:

                                                                                       Таблица 1.1

Ч и с л а		частость	экспериментатор
бросаний	Выпадений герба
4040 12000 24000	2048 6019 12012	0,5069 0,5016 0,5005	Бюффон Пирсон Пирсон

   

Определение. Статистической вероятностью события А называется отвлеченное число, около которого группируются частости этого события, причем, при неизменных условиях  и неограниченном возрастании числа независимых друг от друга испытаний частости становятся почти одинаковыми и их отклонения от этого отвлеченного числа незначительны.

Именно поэтому при  достаточно большом числе независимых  друг от друга испытаний в некоторой  серии частость события А может  служить приближенной оценкой вероятности этого события, т. е. 

               W(A)»P(A),  W(A)=P(A).

и наоборот: знание вероятности  события дает основание предположить, с какой частостью это событие  будет появляться в испытаниях при  достаточно  большом n.

Приведенное определение также не может охватить всех случаев  применения понятия ”вероятность”. Более того, оно и не определяет однозначно численного значения вероятности, поскольку колебания частот оставляют для этого значения довольно широкие границы.

В настоящее время при строгом построении теории вероятностей принято пользоваться так называемым аксиоматическим определением вероятности.

Согласно этому определению, каждому событию из определенного  множества событий ставится в  соответствие некоторое число, причем, это соответствие должно обладать определенными, заранее предположенными свойствами, т. е. удовлетворять заданным аксиомам.  Основная суть этой аксиоматики состоит в следующем.