Основные понятия теории вероятностей

Введение

 

До сих пор, изучая математику, мы не однажды приводили примеры  из естествознания, в которых различные  процессы описывались с помощью  функций. Функциональная связь между  переменными являлась «жесткой»: значение одной из них вполне определялось значением другой. Однако нередко приходится изучать явления, для которых практически трудно или принципиально невозможно отыскать все причины, порождающие их, и, тем более, количественно их выразить и учесть. Такие явления невозможно описать функционально.

Например, при бросании монеты нельзя предсказать, какой стороной она упадет; для этого необходимо было бы учесть слишком  много различных факторов: работу мышц руки, участвующей в бросании, малейшие отклонения в распределении массы монеты, движение воздуха и прочее. Результат конкретного бросания случаен. Но, оказывается, при достаточно большом числе бросаний монеты (при большом объеме статистического материала) существует определенная закономерность: герб и цифра выпадут приблизительно поровну.

Теоретические закономерности, которым подчиняются массовые случайные события, явления, процессы изучаются в разделе математики, который называется теорией вероятностей; а способы и методы расчетов различных характеристик, описывающих эти закономерности, исходя из результатов систематизации и обработки фактически  имеющихся данных (статистического материала), рассматриваются в математической статистике.

Методы теории вероятностей  (ТВ) и математической статистики (МС) широко применяются в естествознании, технике, экономике, физике и других разделах теории и практики.

 Математическая статистика  – это раздел прикладной математики, непосредственно примыкающий к  теории вероятностей. Основное содержание  и отличие  МС от ТВ состоит  в том, что  в МС  рассматриваются  не действия над законами распределения (ЗР) и числовыми характеристиками (ЧХ) случайных величин (СВ)  (как в ТВ), а приближенные методы отыскания этих законов и ЧХ  по результатам экспериментов.

   Разработка методов регистрации,  описания и анализа экспериментальных  данных, получаемых в результате наблюдения массовых случайных явлений, составляет предмет математической статистики. 

На практике нам всегда приходится иметь дело с ограниченным количеством  экспериментальных данных. Поэтому  результаты наблюдений и их обработки содержат больший или меньший элемент случайности. При  этом  нужно уметь определить, какие черты наблюдаемого явления относятся к постоянным, действительно присущи ему, а  какие являются случайными и проявляются в данной серии наблюдений только за счет ограниченного объема  экспериментальных данных.

     В настоящее время  общепринятой является точка  зрения, что МС – это наука  об общих способах обработки  результатов эксперимента. Решая  эти задачи, МС одновременно  устанавливает  и качества, какими должен обладать эксперимент, чтобы сделанные на его основании суждения были правильными. Поэтому она часто дает рекомендации по проведению эксперимента,  становится отчасти наукой о его планировании.

 

 

 

 

 

 

 

Тема № 1. Основные понятия  теории вероятностей.

               (лекции №1, №2)

 

§ 1. Случайные события  и их классификация.

 

Подобно тому, как в  геометрии первыми понятиями  являются точка и прямая, в теории вероятностей первыми понятиями  служат событие и вероятность.

Событием называется явление, о котором имеет смысл  говорить, что оно произошло или  не произошло (происходит или не происходит, произойдет или не произойдет).

События можно подразделить на три  вида: достоверные, невозможные и  случайные.

Событие называется достоверным, если  оно при осуществлении данного комплекса условий S обязательно произойдет. Например, если в урне только белые шары, то извлечение из урны белого шара – событие достоверное.

В дальнейшем вместо того, чтобы говорить “при  осуществлении данного  комплекса условий S”; будем говорить короче “при испытании” или ”при опыте”.

В приведенном примере извлечение шара из урны есть испытание, а появление белого шара при этом – событие.

Событие называется невозможным, если оно при испытании не может произойти. Например, если в урне имеются только белые шары, то извлечение из нее черного шара – событие невозможное.

Событие называется случайным, если оно при испытании может произойти или не произойти. Например, выпадение осадков в конкретном месте и в конкретное время – событие случайное.

Случайные события принято обозначать большими буквами латинского алфавита: А, В, С, …,  достоверные – буквой U и невозможные – буквой  V.

События А₁, А₂, …, А_n называются совместными (совместимыми), если появление одного из них не исключает возможности появления других.  Например, пусть производится выстрел по цели из каждого орудия, число которых равно трем. Очевидно, что не исключается возможность попадания при  выстреле из любого орудия. Следовательно, эти три  события совместные.

События А₁, А₂, …, А_n называются несовместными (несовместимыми), если наступление одного из них исключает возможность появления любого другого. Например, при бросании монеты выпадение герба исключает возможность появления решки.

События А₁, А₂, …, А_n называются единственно возможными, если при испытании обязательно наступит хотя бы  одно из них.

Пример 1. Пусть в урне содержатся белые, черные и красные шары.  Извлекаем из урны шар; он может оказаться белым (событие А), черным (событие В) или красным (событие С). По определению, эти три события А, В, С – единственно возможные.

События А₁, А₂, …, А_n , единственно возможные и несовместные, называются полной системой событий.

Пример 2. Кубик, на гранях которого обозначено число очков от 1 до 6, называется игральной костью. Предполагается, что кубик сделан из однородного материала.

При бросании игральной  кости может выпасть одно, два, три, четыре, пять или шесть очков. Обозначим упомянутые события соответственно через А₁, А₂, …, А₆. Эти события единственно возможные и несовместные, следовательно, они  образуют полную систему событий.

Два единственно возможных  и несовместных события называются противоположными событиями.

 

 

 

 

Если  А – некоторое событие, то противоположное ему событие обозначают  Ā.

Пример 3. При бросании монеты может выпасть герб или решка. Эти события противоположные.

Противоположными будут  также, например, события: “сдать”  или ”не сдать” экзамен, “выиграть” или ”не выиграть” по лотерейному  билету, “попасть” или ”не попасть” в цель.

Если при каждом осуществлении комплекса условий S, при котором происходит событие А, происходит и событие В, то говорят, что А влечет за собой В, и этот факт обозначают символом АÌ В или В ÉА.

Если имеет место одновременно АÌ В и В ÉА,  то события А и В называются равносильными. В этом случае пишут А=В.

Таким образом, равносильные события  А и В при каждом испытании  оба наступают или оба не наступают.

Пример 4. Игральную кость бросили один раз. Пусть выпало шесть очков (событие А). Обозначим через В четное число, через С –число очков, делящееся на 3. Очевидно, АÌ В и АÌ С.

Пример 5.  В урне один белый шар и три черных. Все шары перенумерованы. Пусть белый шар имеет номер 1. При извлечении шара из урны событие появления белого шара обозначим буквой А, а событие появления шара №1–буквой В. Очевидно, что АÌ В и     ВÌ А, т. е. события А и В равносильны и поэтому можно написать А=В.

 

§ 2.  Классическое определение  вероятности.

 

События А₁, А₂, …, А_n , называются равновозможными, если при осуществлении комплекса условий S каждое из них имеет одинаковую возможность наступить.

Пример 1.  В урне содержится 3 одинаковых занумерованных шара. Очевидно, имеется одинаковая возможность извлечь из урны наугад шар с номером 1 (событие А₁), с        номером 2 (событие А₂) или с номером 3 (событие А₃), т. е. события А₁, А₂, А₃ – равновозможные.

Пример 2. Если бросить игральную кость, то выпадет любая из шести граней с одинаковой возможностью, т. к. в силу симметрии и однородности материала, из которого сделана игральная кость, ни одна из 6 граней какими –либо преимуществами перед другими не обладает. Следовательно, события А₁–выпадение одного очка, А₂–двух,…, А₆ –шести очков – равновозможные. Эти события также несовместные и единственно возможные.

Если нас интересует событие А – выпадение четного  числа очков, то ему, как принято говорить, из общего числа (шести) равновозможных случаев благоприятствуют три: А₂, А₄ и А₆.

Пример 3. Партия содержит 200 деталей: из них 4 детали нестандартные, а остальные стандартные, причем, стандартные и нестандартные детали имеют одинаковый вес и по внешнему виду ничем не отличаются. Извлекаем из партии наугад одну деталь. Она может оказаться стандартной (событие А) или нестандартной (событие В). Очевидно, что события А и В  не будут равновозможными и что событие В менее возможно, т. е. менее вероятно, чем событие А. Это видно из того, что из общего числа  200 равновозможных случаев событию А благоприятствуют 196 случаев, а  событию В – только 4.

Оказывается, что возможность  наступления события, иначе говоря, его вероятность, можно оценить числом.

Определение.

Вероятностью  события А называется отношение числа m благоприятствующих событию А случаев к общему числу n случаев равновозможных, единственно возможных и несовместных.

Вероятность события  А обозначается символом Р(А) и читается: вероятность события А (Р есть первая буква латинского слова probabilitas–вероятность).

Таким образом, .         (1)

Определение вероятности (1) называется классическим, оно было дано французским математиком Лапласом. Заметим, что вместо слова “случай” принято также говорить ”исход”.

Пример 4. В урне находятся 3 одинаковых шара с номерами 1, 2, 3.  Найти вероятность того, что извлеченный наугад шар будет с номером 1.

Событие  “извлечение  шара с номером 1” обозначим через  А₁. По формуле (1)  , так как m = 1,  n=3.

Пример 5.  Найти вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет четное число очков.

   Обозначим   это событие через А. По формуле  (1) , так как m=3 (цифры 2,4,6), n=6.

Пример 6.   Партия содержит 200 деталей, из них 4 нестандартные, а остальные стандартные. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется стандартной? (событие А). Имеем: так как здесь n =200 – число равновозможных, единственно возможных и несовместных случаев; m =196 – число случаев, благоприятствующих событию А. Аналогичным образом найдем вероятность того, что взятая наугад деталь будет нестандартной (событие В):

Вероятность достоверного события Р(U)=1,  так как все n  равновозможных, единственно возможных и несовместных случаев благоприятствуют событию U, т. е. здесь m=n ,  и поэтому

Например, если в урне 5 белых шаров (и больше никаких), то вероятность извлечь из урны белый шар (событие А) есть:

Вероятность невозможного события Р(V)=0, т. к. нет ни одного благоприятствующего событию V случая, т. е. здесь m=0, a n¹0, откуда  

Например, если в урне 10 белых шаров (и больше никаких), то вероятность извлечь из нее черный шар (событие В) есть: Р(В)=Р(V)=0/10=0.

Теорема.

Вероятность любого события А удовлетворяет  неравенствам 0£Р(А)£1.

Действительно, т. к. Р(А)=m/n, где 0£m£n, то  т.е. 0£Р(А)£1.

Заметим, что для вычисления вероятности  события А нет необходимости  производить какие-либо испытания. Надо лишь подсчитать число случаев, благоприятствующих наступлению события  А, и общее число равновозможных, единственно возможных и несовместных случаев, а затем применить формулу (1).

Таким образом, пользуясь  классическим определением вероятности, можно найти вероятность события  до опыта.

 

§ 3. Непосредственное вычисление вероятностей.

 

Вычисление вероятностей, основанное на классическом ее определении, т. е. с использованием формулы (1), называется непосредственным вычислением вероятностей. Такое вычисление, очевидно, может быть осуществлено лишь в том случае, когда результат опыта можно представить в виде полной группы событий, которые попарно несовместны и равновозможны. При этом вероятность события есть  отношение числа m, благоприятствующих этому событию случаев к общему числу всех возможных случаев n,    т. е. p=m/n.

Пример 1.  Бросается монета правильной формы. Какова вероятность выпадения герба?

Обозначим событие “выпал герб” буквой А. Число равновозможных случаев n=2. из этого числа случаев благоприятствует событию А только один случай, т. е. m=1. Следовательно,

               

Пример 2. На пяти одинаковых карточках написаны буквы Л, М, О, О, Т. какова вероятность того, что:

а) извлекая все карточки по одной  наугад, получим в порядке их выхода слово “МОЛОТ”;

б) извлекая три карточки по одной  наугад, получим в порядке выхода слово “ТОМ”?

В данном примере, как, впрочем, нередко в иных случаях непосредственного подсчета вероятностей, для отыскания величин n и m необходимо обратиться к формулам так называемой комбинаторики.

 

Основные формулы комбинаторики.

 

Комбинаторикой  называется раздел математики, изучающий вопрос о том, сколько  комбинаций определенного типа можно составить из данных элементов.

Наиболее употребительными видами таких комбинаций являются размещения, перестановки и сочетания.