Определение характеристик процесса по опытным данным

где m – количество отрезков от t₁ до t₂.  

Решение задачи

      Сначала подсчитаем по известным формулам точное значение математического ожидания. 

      Произведём  оценку математического ожидания двумя методами: как в первом задании и с помощью специальной формулы для всех 100 реализаций, затем сравним полученные результаты.

      На  первом графике представлено сравнение  результатов подсчёта оценки математического ожидания по общим формулам и точного значения:

     Как мы видим, погрешность довольно высока, разница между точным значением  и оценкой составляет от 0,028 до 0,517.

      На  втором графике представлено сравнение  результатов подсчёта оценки математического  ожидания по специальным формулам и  точного значения. Подсчёт по специальным  формулам производился с помощью  функции СУММ, суммирующей все  заданные числа в массиве, затем  полученная сумма была умножена на (1/50). Данное действие производилось  для всех 100 реализаций, чтобы посмотреть всю совокупность.

      Здесь по оси аргументов – номера реализаций, а не время, как было на всех предыдущих графиках. Как видно, погрешность  на порядок меньше, разница между точным значением и оценкой находится в интервале от 0,002 до 0,297.

     Вывод: для стационарных и эргодичных процессов при оценке математического ожидания лучше пользоваться специальными формулами. Но для этого нужно предварительно доказать, что данный случайный процесс является стационарным и эргодичным по математическому ожиданию.  

      Теперь  оценим корреляционную функцию, используя общие формулы. Оценку будем производить, используя точное математическое ожидание, его оценки по общим формулам и по специальным формулам.

      На  графике ниже представлена корреляционная функция, подсчитанная по общим формулам с известным точным математическим ожиданием.

      Здесь представлена часть значений функции:

	0	2	4	6	8
0	35,353	-22,203	30,475	13,335	-34,355
2	-22,203	30,329	-7,523	-28,140	15,712
4	30,475	-7,523	34,506	-2,518	-33,773
6	13,335	-28,140	-2,518	28,872	-5,884
8	-34,355	15,712	-33,773	-5,884	35,485

      Верхний и левый столбцы – «координатные  оси» аргументов функции, обе размерности  времени.

     Как видно по графику и матрице  значений – действительно выполняется свойство корреляционной функции стационарного эргодичного процесса .

      На  этом графике представлена оценка корреляционной функции по общим формулам с использованием оценки математического ожидания по общим формулам:

      Часть значений функции:

	0	2	4	6	8
0	28,730	-9,318	-26,019	16,889	21,104
2	-9,318	36,166	-1,207	-35,815	11,629
4	-26,019	-1,207	26,370	-6,467	-24,488
6	16,889	-35,815	-6,467	37,697	-4,503
8	21,104	11,629	-24,488	-4,503	25,798

      Как видно, принципиально они не отличаются, порядок чисел в одинаковых точках сохраняется, свойства также сохраняются. 

      Здесь представлена часть значений оценки корреляционной функции, подсчитанной по общим формулам с использованием оценки математического ожидания, подсчитанной с помощью специальных формул 

	0	2	4	6	8
0	32,300	-6,837	-30,094	15,811	25,709
2	-6,837	32,170	-2,903	-31,704	11,750
4	-30,094	-2,903	30,838	-6,172	-29,143
6	15,811	-31,704	-6,172	33,913	-3,284
8	25,709	11,750	-29,143	-3,284	30,084

      На  этом графике представлен график:

      Вывод: для дальнейших подсчётов оценки корреляционной функции лучше использовать оценку математического ожидания, подсчитанную по специальным формулам, т.к. результат получается наиболее близким к более точной оценке, подсчитанной с точным значением математического ожидания.