Определение характеристик процесса по опытным данным

Московский  Государственный  Технологический  Университет «СТАНКИН» 

Кафедра «Математика» 
 
 

Лабораторная  работа по курсу «Теория случайных процессов»

Вариант 8 
 
 
 
 

Определение характеристик случайного процесса по экспериментальным  данным 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнил  студент группы И-8-1

Митасов А.В. 

Проверил  преподаватель

Владимиров  А.Г. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва 2011 г.

Задание №1 

Условие задачи

      Задан случайный процесс:. А – случайная величина с равномерным законом распределения на отрезке [0; 4].

      Найти математическое ожидание m_x и корреляционную функцию R_x по совокупности реализаций.

      Для расчётов взять интервал по времени  [0; 100], число реализаций n=100, число точек – 50. 

Теоретический материал

      Рассматриваемый в данном задании случайный процесс  нестационарный, следовательно, для  оценки математического ожидания и  корреляционной функции можно использовать только общие формулы, основываясь на совокупности реализаций.

      Оценим  математическое ожидание. Пусть имеется n реализаций процесса. Тогда x_i(τ), где – n значений случайной величины или значения n реализаций случайного процесса в точке τ. Фактически это выборка случайной величины. Значит, мы можем оценить математическое ожидание данного случайного процесса в данной точке по следующей формуле: 

Если подсчитать оценку математического ожидания таким образом для каждой точки (), то получим последовательность математических ожиданий, по которым можно восстановить m(t) как функцию.

      Оценим  корреляционную функцию. Пусть имеется n реализаций процесса. Пусть подсчитаны значения этих реализаций для двух значений времени t₁ и t₂. Будем считать, что известно точное математическое ожидание процесса X(t). Тогда оценка корреляционной функции может быть найдена по следующей формуле: 

Если для подсчётов  используется оценка математического  ожидания , то используется следующая формула: 
 
 
 
 

Решение задачи

      Сначала подсчитаем по известным формулам точные значения математического ожидания и корреляционной функции. Они будут соответственно равны: 
 
 
 

      Расчёт  математического ожидания и корреляционной функции будем производить в  среде электронных таблиц.

      Случайная величина А генерируется с помощью функции СЛУЧМЕЖДУ. Значение этой функции всегда целочисленное, поэтому задаём генерацию в интервале [0; 4000], а значения аргумента делим на 1000 – так получаются числа с тремя значащими цифрами.

      Реализации  случайного процесса будем описывать  таблицей следующего вида:

N A (случ. величина)   t 0,000 2,000 1 =СЛУЧМЕЖДУ(0;4000)/1000   =B2*COS(4*E1+8)+8*E1 =B2*COS(4*F1+8)+8*F1 2 =СЛУЧМЕЖДУ(0;4000)/1000 =B3*COS(4*E1+8)+8*E1 =B3*COS(4*F1+8)+8*F1 3 =СЛУЧМЕЖДУ(0;4000)/1000 =B4*COS(4*E1+8)+8*E1 =B4*COS(4*F1+8)+8*F1 4 =СЛУЧМЕЖДУ(0;4000)/1000 =B5*COS(4*E1+8)+8*E1 =B5*COS(4*F1+8)+8*F1 5 =СЛУЧМЕЖДУ(0;4000)/1000 =B6*COS(4*E1+8)+8*E1 =B6*COS(4*F1+8)+8*F1

 

N A   t 0,000 2,000 1 0,010     -0,001 15,990 2 3,468     -0,505 12,679 3 0,144     -0,021 15,862 4 2,688     -0,391 13,426 5 2,244     -0,327 13,851

 

     Как видно, шаг по времени равен 2, каждая строка в таблице описывает одну реализацию, а каждый столбец –  значения реализаций в один момент времени.

     Для подсчёта оценки математического ожидания суммируем значения каждого столбца и делим сумму на 100 (количество реализаций).

     Для оценки погрешности вычислений будем  использовать формулу , т.е. модуль разности между точным значением математического ожидания в данной точке и его оценкой.

     При подсчётах с заданными параметрами  минимальное значение погрешности  получается 0,001, а максимальное – 0,012, т.е. функции практически полностью совпадают. Графики функций математического ожидания и оценки математического ожидания приведены ниже:

 

     Теперь  произведём расчёт оценки корреляционной функции с известным точным математическим ожиданием. Для этого в таблице реализаций вычтем из значения каждой ячейки соответствующее значение математического ожидания, получив таким образом значения реализаций центрированного случайного процесса:

N A   t 0 2 1 =СЛУЧМЕЖДУ(0;4000)/1000     =B2*COS(4*E1+8)+8*E1-E103 =B2*COS(4*F1+8)+8*F1-F103 2 =СЛУЧМЕЖДУ(0;4000)/1000     =B3*COS(4*E1+8)+8*E1-E103 =B3*COS(4*F1+8)+8*F1-F103 3 =СЛУЧМЕЖДУ(0;4000)/1000     =B4*COS(4*E1+8)+8*E1-E103 =B4*COS(4*F1+8)+8*F1-F103 4 =СЛУЧМЕЖДУ(0;4000)/1000     =B5*COS(4*E1+8)+8*E1-E103 =B5*COS(4*F1+8)+8*F1-F103 5 =СЛУЧМЕЖДУ(0;4000)/1000     =B6*COS(4*E1+8)+8*E1-E103 =B6*COS(4*F1+8)+8*F1-F103

 

=2*COS(4*E1+8)+8*E1

=2*COS(4*F1+8)+8*F1

(последняя строчка  – подсчёт точного значения  математического ожидания, это и  есть E103, F103 и т.д.) 

N A   t 0 2 1 2,880     -0,128 -0,843 2 2,357     -0,052 -0,342 3 1,241     0,110 0,727 4 3,465     -0,213 -1,403 5 0,172     0,266 1,751

 

-0,291

14,085

 

     Оценку  корреляционной функции будем представлять в виде следующей таблицы:

	0	2
0	=(1/100)*СУММПРОИЗВ(E2:E101;E2:E101)	=(1/100)*СУММПРОИЗВ(E2:E101;F2:F101)
2	=(1/100)*СУММПРОИЗВ(F2:F101;E2:E101)	=(1/100)*СУММПРОИЗВ(F2:F101;F2:F101)
4	=(1/100)*СУММПРОИЗВ(G2:G101;E2:E101)	=(1/100)*СУММПРОИЗВ(G2:G101;F2:F101)
6	=(1/100)*СУММПРОИЗВ(H2:H101;E2:E101)	=(1/100)*СУММПРОИЗВ(H2:H101;F2:F101)
8	=(1/100)*СУММПРОИЗВ(I2:I101;E2:E101)	=(1/100)*СУММПРОИЗВ(I2:I101;F2:F101)
10	=(1/100)*СУММПРОИЗВ(J2:J101;E2:E101)	=(1/100)*СУММПРОИЗВ(J2:J101;F2:F101)
12	=(1/100)*СУММПРОИЗВ(K2:K101;E2:E101)	=(1/100)*СУММПРОИЗВ(K2:K101;F2:F101)

 

	0	2
0	0,033	0,217
2	0,217	1,429
4	-0,096	-0,633
6	-0,189	-1,245
8	0,151	0,995
10	0,145	0,955
12	-0,193	-1,273

 

     Как видно, верхний и левый столбцы  – это «координатные прямые»  двух аргументов функции, t₁ и t₂. Функция СУММПРОИЗВ выполняет суммирование произведений массивов чисел в заданных диапазонах.

      Оценивая  погрешность тем же методом, что  и раньше, получаем минимальное расхождение 0,0001, максимальное – 0,021. График представлен ниже:

      Оценка  корреляционной функции  с известной оценкой  математического  ожидания производится абсолютно аналогично. В формуле подсчёта значения функции в каждой ячейке требуется умножать не на 1/100, а на 1/99, а также вычитать не точное значение математического ожидания, а оценку математического ожидания для данного времени. Минимальная погрешность равна 0,0001, а максимальная – 0,050. График функции имеет точно такой же вид. 

Задание №2 

Условие задачи

      Задан случайный процесс:. φ – случайная величина с равномерным законом распределения на отрезке [-π; π].

      Найти математическое ожидание m_x и корреляционную функцию R_x, используя общие формулы. Найти m_x и R_x по одной реализации.

      Для расчётов взять интервал по времени  [0; 100], число реализаций n=100, число точек – 50. 

Теоретический материал

      Рассматриваемый в данном задании случайный процесс  стационарный и эргодичный как по математическому ожиданию, так и по корреляционной функции, следовательно, для оценки математического ожидания и корреляционной функции можно использовать как общие формулы, так и специальные формулы для стационарных процессов, чтобы посчитать необходимые характеристики по одной реализации.

      Оценим  математическое ожидание по одной достаточно длинной реализации на отрезке времени [0; T]. Для этого необходимо подсчитать следующий интеграл: 

Интеграл можно  подсчитать любым удобным методом  численного интегрирования. Будем использовать метод серединных прямоугольников. После алгебраических преобразований получим следующую формулу: 

где n – количество отрезков, на которые разбивается интервал интегрирования [0; T].

      Оценим корреляционную функцию. Изначальная формула следующая:  

где . Преобразуем эту формулу для численного подсчёта. Разобьём интервал от 0 до τ на n равных частей, причём . На каждом отрезке выберем точки, соответствующие серединам отрезков: t1, t2,…, tn. Тогда оценка корреляционной функции может быть рассчитана по формуле: