Обработка многократных измерений

Следует также отметить, что вместо термина среднее квадратическое отклонение РМГ 29-99 рекомендует применять термин средняя квадратическая погрешность результатов единичных измерений в ряду измерений (или кратко, средняя квадратическая погрешность измерений). Это есть оценка рассеяния единичных (однократных) результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же физической величины около среднего их значения, вычисляемая по формуле:

 

Погрешность результата измерений  всегда известна с некоторой доверительной вероятностью и существуют ее доверительные границы. Под которыми понимают наибольшее и наименьшее значения погрешности измерений, ограничивающие интервал, внутри которого с заданной вероятностью находится искомое (истинное) значение погрешности результата измерений.

Доверительные границы в  случае нормального закона распределения вычисляются как x = ± t S, гдеS - средние квадратические погрешности, соответственно, единичного и среднего арифметического результатов измерений; t – коэффициент Стьюдента, зависящий от доверительной вероятности Р и числа измерений n.

Результат измерений записывается в виде x=x_cptS (P=…%). Результат измерений нецелесообразно записывать большим количеством цифр, причём он должен содержать такое же количество знаков, что и погрешность – это позволяет ориентировочно судить о точности измерения.

Исключительно важную роль при обработке результатов наблюдений играет проверка нормальности распределения  – она позволяет наиболее полно  оценить их сходимость. Это частный случай подбора статистической функции распределения.

Совокупность наблюдаемых значений величины представляет собой первичный статистический материал, подлежащий обработке, осмыслению и научному анализу. Такая совокупность называется «простой статистической совокупностью» или «простым статистическим рядом». Простой статистический ряд представляет собой первичную форму записи статистического материала и может быть обработан различными способами. Одним из способов такой обработки является построение статистической функции распределения случайной величины.

Статистической функцией распределения случайной величины X_i называется частота события Хх в данном статистическом материале:

F* (x) = P* (X x)

Для того чтобы найти значение статистической функции распределения  при данном x, достаточно подсчитать число опытов, в которых величина X приняла значение, меньшее чем x, и разделить на общее число n произведенных опытов.

Статистическая функция  распределения любой случайной  величины представляет собой прерывную  ступенчатую функцию, скачки которой  соответствуют наблюдаемым значениям случайной величины и по величине равны частотам этих значений. Если каждое отдельное значение случайной величины было наблюдено только один раз, скачок статистической функции распределения в каждом наблюденном значении равен , где n - число наблюдений.

     рис. 1

Пример графика статистической функции распределения представлен на рис. 1.

При увеличении числа опытов n, согласно теореме Бернулли, при любом x частота события X приближается (сходится по вероятности) к вероятности этого события. Следовательно, при увеличении n статистическая  функция распределения F*(x) приближается (сходится по вероятности) к подлинной функции распределения F(x) случайной величины X.

Если X - непрерывная случайная величина, то при увеличении числа наблюдений n число скачков функции F*(x) увеличивается, сами скачки уменьшаются и график функции F*(x) неограниченно приближается к плавной кривой F(x) - функции распределения величины X.

Построение статистической функции распределения решает задачу описания экспериментального материала. Однако при большом числе опытов n построение F*(x) описанным выше способом весьма трудоемко. Кроме того, часто бывает удобно - в смысле наглядности - пользоваться другими характеристиками статистических распределений, аналогичными не функции распределения, а плотности.

При большом числе наблюдений (порядка сотен) простая статистическая совокупность перестает быть удобной  формой записи статистического материала - она становится слишком громоздкой и мало наглядной. Для придания ему  большей компактности и наглядности  статистический материал должен быть подвергнут дополнительной обработке - строится так называемый «статистический  ряд».

Предположим, что в нашем  распоряжении результаты наблюдений над  непрерывной случайной величиной  X, оформленные в виде простой статистической совокупности. Разделим весь диапазон значений на интервалы или «разряды» и подсчитаем количество значений m_i, приходящееся на каждый i-й разряд. Это число разделим на общее число наблюдений и найдем частоту, соответствующую данному разряду:

 

Сумма частот всех разрядов, очевидно, должна быть равна единице.

Построим таблицу, в которой  приведены разряды в порядке  их расположения вдоль оси абсцисс  и соответствующие частоты. Эта  таблица называется статистическим рядом.

Статистический ряд часто  оформляется графически в виде так  называемой гистограммы. Гистограмма  строится следующим образом. По оси  абсцисс откладываются разряды, и на каждом из разрядов как их основании  строится прямоугольник, площадь которого равна частоте данного разряда. Для построения гистограммы нужно  частоту каждого разряда разделить  на его длину и полученное число  взять в качестве высоты прямоугольника. В случае равных по длине разрядов высоты прямоугольников пропорциональны соответствующим частотам. Из способа построения гистограммы следует, что полная площадь ее равна единице.

рис. 2

Пример гистограммы изображён на рис. 2.

Пользуясь данными статистического  ряда, можно приближенно построить  и статистическую функцию распределения  величины X. Построение точной статистической функции распределения с несколькими сотнями скачков во всех значениях измерений слишком трудоемко и себя не оправдывает. Для практики достаточно построить статистическую функцию распределения по нескольким точкам. В качестве этих точек удобно взять границы x₁, x₂,.. разрядов, которые фигурируют в статистическом ряду. Тогда

 

Соединяя полученные точки  плавной кривой, получим приближенный график статистической функции распределения (рис. 3).

рис. 3

2. Расчётная часть. Обработка результатов измерений.

2.1 Нахождение среднего арифметического х_ср результатов измерений X_i:

х_ср == 90,526

2.2 Оценка среднего квадратического отклонения:

  == 0,2205 (Приложение 1)

2.3 Оценка среднего квадратического отклонения результата измерений:

S_R =

2.4 Проверка нормальности распределения результатов измерений (Приложение 1 и 2)

По формуле F_n (X_к) = , где k = 1, 2, 3,…,19 - так как количество повторений результатов измерений равно 3, а n = 22. Находим значения F_n, сопоставляем по Табл. П1.1 с Z_к (список литературы, п.6).

Строим график зависимости  Z_к от Х_к – линия на графике доказательство нормальности распределения результатов измерений. (Приложение 2)

2.5 Проверка на промах.

Так как число измерений  n больше 20, используем критерий 3. Абсолютная разница по значению между среднеарифметическим х_ср и результатом измерений Х_i должна быть больше утроенного значения среднего квадратического отклонения . В ходе проверки выявлен промах Х_i=90,149.

2.6 Определение доверительной  погрешности:

=t_xSR, где S_R – ср.кв. результата измерений, t_x – коэффициент Стьюдента, табличное значение, равен 2,8 при вероятности =0,99.

2.7 Запись окончательного  результата измерений в виде:

X = x_cptxSR  (P=100-, %)

X=90,5262,80,047  (P=99,01%) или

90,526-2,80,047 Х 90,526+2,80,047 (Р=99,01%)

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

i	Xi	Случайные отклонения результатов измерений (Xi-xср)	Квадраты случайных отклонений (Хi-xcp)2	Вариационный ряд Хк	Статистическая функция распределения Fn(Xк)	Zк
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22	90,470 90,480 90,490 90,500 90,450 90,520 90,510 90,530 90,460 90,540 90,550 90,710 91,148 90,149 90,350 90,450 90,520 90,501 91,030 90,460 90,154 90,600	-0,056 -0,046 -0,036 -0,026 -0,076 -0,006 -0,016 0,004 -0,066 0,014 0,024 0,184 0,622 -0,377 -0,176 -0,076 -0,006 -0,025 0,504 -0,066 -0,372 0,074	0,003136 0,002116 0,001296 0,000676 0,005776 0,000036 0,000256 0,000016 0,004356 0,000196 0,000576 0,033856 0,386884 0,142129 0,030976 0,005776 0,000036 0,000625 0,254016 0,004356 0,138384 0,005476	90,149 90,154 90,350 90,450 90,460 90,470 90,480 90,490 90,500 90,501 90,510 90,520 90,530 90,540 90,550 90,600 90,710 91,030 91,148	0,04348 0,08700 0,13043 0,17391 0,21739 0,26087 0,30435 0,34783 0,39130 0,43478 0,47826 0,52174 0,56522 0,60870 0,65217 0,69565 0,73913 0,78260 0,82609	-1,71 -1,69 -0,80 -0,34 -0,30 -0,25 -0,21 -0,16 -0,12 -0,11 -0,07 -0,03 0,02 0,06 0,11 0,34 0,83 2,29 2,82
			1,02095

Х_ср=90,526   =0,2205   S_R=0,047   =0,131623

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

Курсовая работа позволила получить навыки статистической обработки результатов наблюдений, выявления погрешностей в результатах наблюдений, представления результатов измерений, оценки формы и вида законов экспериментальных распределений физических величин, записи результатов измерений. Выполнение курсовой работы также позволило овладеть практическими навыками в работе с нормативно-технической литературой и стандартами (паспортами СИ, таблицами характеристик распределения случайных величин, таблицами критериальных значений параметров распределения и др.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

1. Кузнецов В.А., Ялунина Г.В. Метрология (теоретические, прикладные и законодательные основы): Учебное пособие – М.: ИПК Изд-во стандартов, 1998. – 336 с.

2. Третьяк Л.Н. Обработка прямых измерений с многократными наблюдениями: Учебное пособие – Оренбург: ИПК ОГУ, 2002. – 60 с.

3. РМГ 29–99. Рекомендации по межгосударственной стандартизации ГСИ. Метрология. Основные термины и определения (взамен ГОСТ 16263–70) – М.: ИПК Изд-во стандартов, 2000. – 46 с.

4. ГОСТ 8.207-76 ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения - М.: Изд-во стандартов, 2006. – 10 с.

5. Радкевич Я.М., Схиртладзе А.Г., Локтионов Б.И. Метрология, стандартизация и сертификация – М.: Высш.школа, 2004. – 767 с.

6. Макаренко В.Г. Учебно-методическая  разработка к курсовой работе  «Оценка результатов измерений» - Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ), 2012. – 19 с.