Контрольная работа по "Статистике"

=(1,01-1)*20910 = 209 (тыс. руб.).

      Аналогично  по товарам В: = (1,01-1)*21280 = 213 (тыс. руб.).

      Аналогично  по товарам С: = (1,01-1)*13260 = 133 (тыс. руб.).

      Контроль  правильности расчетов:

       = , то есть 209 + 213 + 133 = 555 (тыс. руб.).

      Так, по товарам А изменение товарооборота за счет второго фактора (структурных сдвигов в количестве проданных товаров) равно:

       =1,01*(0,94-1)*20910 = - 1267 (тыс. руб.).

      Аналогично  по товарам В: =1,01*(1,1-1)*21280 = 2149 (тыс. руб.).

      Аналогично  по товарам С: =1,01*(0,95-1)*13260 = –670 (тыс. руб.).

      Контроль  правильности расчетов:

       = , то есть -1267 + 2149+ (–670) = 212 (тыс. руб.).

      И, наконец, по товарам А изменение товарооборота за счет 3-го фактора (изменения отпускной цены) равно:

       =1,01*0,94*(1,029-1)*20910 = 576 (тыс. руб.).

      Аналогично  по товарам В: =1,01*1,1*(0,911-1)*21280 = -2104 (тыс. руб.).

      Аналогично по товарам С: =1,01*0,95*(1,15-1)*13260 = 1908 (тыс. руб.).

      Контроль  правильности расчетов:

       = , то есть 576+(–2104) + 1908= 380 (тыс. руб.)

      Результаты  факторного анализа частного товарооборота также заносятся в таблицу, в которой все числа оказались взаимно согласованными.

    Задание № 2

     По  условным данным таблицы 1 о стоимости  основных фондов х и валовом выпуске продукции у (в порядке возрастания стоимости основных фондов) выявить наличие и характер корреляционной связи между признаками x и y. Произвести корреляционно – регрессионный анализ.

Таблица 1. Стоимость основных фондов и валовой  выпуск по 10 однотипным предприятиям

 

    Решение:

     Для выявления наличия и характера корреляционной связи между двумя признаками в статистике используется ряд методов.

      1. Графический метод, когда корреляционную зависимость для наглядности можно изобразить графически. Для этого, имея n взаимосвязанных пар значений x и y и пользуясь прямоугольной системой координат, каждую такую пару изображают в виде точки на плоскости с координатами x и y. Соединяя последовательно нанесенные точки, получают ломаную линию, именуемую эмпирической линией регрессии (Рис. 1). Анализируя эту линию, визуально можно определить характер зависимости между признаками x и y. В нашей задаче эта линия похожа на восходящую прямую, что позволяет выдвинуть гипотезу о наличии прямой зависимости между величиной основных фондов и валовым выпуском продукции. 

     Рис.1

       
 
 
 
 
 
 
 

      2. Рассмотрение параллельных данных (значений x и y в каждой из n единиц). Единицы наблюдения располагают по возрастанию значений факторного признака х и затем сравнивают с ним (визуально) поведение результативного признака у. В нашей задаче в большинстве случаев по мере увеличения значений x увеличиваются и значения y (за несколькими исключениями – 2 и 3, 6 и 7 предприятия), поэтому, можно говорить о прямой связи между х и у (этот вывод подтверждает и эмпирическая линия регрессии). Теперь необходимо ее измерить, для чего рассчитывают несколько коэффициентов.

      3. Коэффициент корреляции знаков (Фехнера) – простейший показатель тесноты связи, основанный на сравнении поведения отклонений индивидуальных значений каждого признака (x и y) от своей средней величины. При этом во внимание принимаются не величины отклонений ( ) и ( ), а их знаки («+» или «–»). Определив знаки отклонений от средней величины в каждом ряду, рассматривают все пары знаков и подсчитывают число их совпадений (С) и несовпадений (Н). Тогда коэффициент Фехнера рассчитывается как отношение разности чисел пар совпадений и несовпадений знаков к их сумме, т.е. к общему числу наблюдаемых единиц:

                                 

      Очевидно, что если знаки всех отклонений по каждому признаку совпадут, то К_Ф=1, что характеризует наличие прямой связи. Если все знаки не совпадут, то К_Ф=–1 (обратная связь). Если же åС=åН, то К_Ф=0. Итак, как и любой показатель тесноты связи, коэффициент Фехнера может принимать значения от 0 до 1. Однако, если К_Ф=1, то это ни в коей мере нельзя воспринимать как свидетельство функциональной зависимости между х и у.

      В нашей задаче ; .

      В двух последних столбцах таблицы 1 приведены знаки отклонений каждого х и у от своей средней величины. Число совпадений знаков – 9, а несовпадений – 1. Отсюда К_Ф= =0,8. Обычно такое значение показателя тесноты связи характеризует сильную зависимость, однако, следует иметь в виду, что поскольку К_Ф зависит только от знаков и не учитывает величину самих отклонений х и у от их средних величин, то он практически характеризует не столько тесноту связи, сколько ее наличие и направление.

      4. Линейный коэффициент корреляции применяется в случае линейной зависимости между двумя количественными признаками x и y. В отличие от К_Ф в линейном коэффициенте корреляции учитываются не только знаки отклонений от средних величин, но и значения самих отклонений, выраженные для сопоставимости в единицах среднего квадратического отклонения t:

                             и  .

      Линейный  коэффициент корреляции r представляет собой среднюю величину из произведений нормированных отклонений для x и у:

       ,            или  .   

      Числитель формулы , деленный на n, т.е. , представляет собой среднее произведение отклонений значений двух признаков от их средних значений, именуемое ковариацией. Поэтому можно сказать, что линейный коэффициент корреляции представляет собой частное от деления ковариации между х и у на произведение их средних квадратических отклонений. Путем несложных математических преобразований можно получить и другие модификации формулы линейного коэффициента корреляции, например:

                                     .    

      Линейный  коэффициент корреляции может принимать  значения от –1 до +1, причем знак определяется в ходе решения. Например, если , то r по формуле (4) будет положительным, что характеризует прямую зависимость между х и у, в противном случае (r<0) – обратную связь. Если , то r=0, что означает отсутствие линейной зависимости между х и у, а при r=1 – функциональная зависимость между х и у. Следовательно, всякое промежуточное значение r от 0 до 1 характеризует степень приближения корреляционной связи между х и у к функциональной. Таким образом, коэффициент корреляции при линейной зависимости служит как мерой тесноты связи, так и показателем, характеризующим степень приближения корреляционной зависимости между х и у к линейной. Поэтому близость значения r к 0 в одних случаях может означать отсутствие связи между х и у, а в других свидетельствовать о том, что зависимость не линейная.

      В нашей задаче для расчета r построим вспомогательную таблицу 2.

Таблица 2. Вспомогательные расчеты линейного  коэффициента корреляции

      В нашей задаче: = =29,299; = =65,436. Тогда r = 9,516166/10 =  0,9516. Аналогичный результат получаем: r = 1824,4/(29,299*65,436) = 0,9516 или: r = (7024,4 – 52*100) / (29,299*65,436) = 0,9516, то есть связь между величиной основных фондов и валовым выпуском продукции очень близка к функциональной.

      Проверка  коэффициента корреляции на значимость (существенность). Интерпретируя значение коэффициента корреляции, следует иметь в виду, что он рассчитан для ограниченного числа наблюдений и подвержен случайным колебаниям, как и сами значения x и y, на основе которых он рассчитан. Другими словами, как любой выборочный показатель, он содержит случайную ошибку и не всегда однозначно отражает действительно реальную связь между изучаемыми показателями. Для того, чтобы оценить существенность (значимость) самого r и, соответственно, реальность измеряемой связи между х и у, необходимо рассчитать среднюю квадратическую ошибку коэффициента корреляции σ_r. Оценка существенности (значимости) r основана на сопоставлении значения r с его средней квадратической ошибкой: .

      Существуют некоторые особенности расчета σ_r в зависимости от числа наблюдений (объема выборки) – n.

1. Если число наблюдений достаточно велико (n>30), то σ_r рассчитывается по формуле:

.

      Обычно, если >3, то r считается значимым (существенным), а связь – реальной. Задавшись определенной вероятностью, можно определить доверительные пределы (границы) r = ( ), где t – коэффициент доверия, рассчитываемый по интегралу Лапласа

      2. Если число наблюдений небольшое  (n<30), то σ_r рассчитывается по формуле:

      

    

а значимость r проверяется на основе t-критерия Стьюдента, для чего определяется расчетное значение критерия по формуле и сопоставляется c t_ТАБЛ.

      Табличное значение t_ТАБЛ находится по таблице распределения t-критерия Стьюдента при уровне значимости α=1-β и числе степеней свободы ν=n–2. Если t_РАСЧ> t_{ТАБЛ ,} то r считается значимым, а связь между х и у – реальной. В противном случае (t_РАСЧ< t_ТАБЛ) считается, что связь между х и у отсутствует, и значение r, отличное от нуля, получено случайно.