Контрольная работа по "Статистике"

Задача 1.

Из генеральной  совокупности , распределенной по нормальному закону, извлечена выборка. Требуется:

       1. Составить вариационный, статистический  и выборочный ряды распределения; найти размах выборки;

По полученному распределению  выборки:

2. Построить полигон относительных  частот;

3. Построить график эмпирической  функции распределения;

4. Вычислить выборочную среднюю,  выборочную дисперсию, выборочное  исправленное среднее квадратическое отклонение, моду и медиану;

5. С надежностью  найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения изучаемого признака генеральной совокупности.

 

1.1

11	11,6	11,8	11,4	11,8	11,2	11	11,6
11,6	11,6	11,4	11,2	11,4	11,8	11,4	11,6
11,4	11,4	11,4	11,2	11,6	12	11	11,8
11,2	11,8	11,6	11,2	12	11,8	12	11,8
11,4	12,2	11,6	12,2	11,6	11,6	12	11,2

 

Составим  вариационный  ряд. Напомним,  что  вариационным  рядом называется  последовательность  наблюдаемых  значений  признака , расположенных в неубывающем порядке , ,…, , где  … . Следовательно, в нашей задаче вариационный ряд запишется так:

11	11	11	11.2	11.2	11.2	11.2	11.2
11.2	11,4	11,4	11,4	11,4	11,4	11,4	11,4
11,4	11,6	11,6	11,6	11,6	11,6	11,6	11,6
11,6	11,6	11,6	11,8	11,8	11,8	11,8	11,8
11,8	11,8	12	12	12	12	12,2	12,2

 

 

Составим  статистический  ряд  распределения  данной  нам  выборки

 

	11	11,2	11,4	11,6	11,8	12	12,2
	3	6	8	10	7	4	2

 

- варианты, - частоты.

Найдем  объем выборки 

.

Относительная частота  вычисляется по формуле  .

        Запишем выборочный  ряд распределения

 

	11	11,2	11,4	11,6	11,8	12	12,2

 

Хmin=11  Хmaх=12,2

Размах выборки  , т.е.  в нашем случае  R=12,2-11=1,2

 

Построим полигон относительных  частот

 

Вычислим выборочную среднюю

Х=∑хiwi=1\40(3∙11+6∙11,2+8∙11,4+10∙11,6+7∙11,8+4∙12+2∙12,2)= 1\40(33+67,2+91,2+114,0+82,60+48+24,40)=11,51

 

Построим график эмпирической функции  распределения где       ( число вариант, меньших, чем  значение аргумента  ).

Вычислим выборочную дисперсию , где в нашем случае

= (3∙121+6∙125,44+8∙129,96+10∙134,56+7∙139,24+4∙144+2∙148,84)= (363+752,64+1039,68+1345,60+974,68+576+297,68)=5349,28  =133,73

                                                                                               40

 

133,73-(11,51)²  =133,73-132,48=1,25

Найдем  выборочное среднее квадратическое отклонение

 

Q_b=  D_b=  1,25=1,11

 

Вычислим  "исправленную" дисперсию , которая выражается формулой

(в нашем случае     )

и "исправленное" среднее квадратическое отклонение

Модой  называется варианта с наибольшей частотой, т.е. в нашей задаче . Медиана - варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант, т.е. в нашей задаче _М0=11,6.

Найдем  с надежностью g=0,95 доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения изучаемого признака генеральной совокупности.

Так как по условию задачи генеральная  совокупность x распределена по нормальному закону и объем выборки равен n=40, то искомый доверительный интервал для оценки математического ожидания имеет вид

,

где  - среднее квадратическое отклонение, а величина t определяется по таблице значений функции Лапласа из равенства .

Следовательно, в нашем случае последнее равенство  принимает вид  . Из этого равенства по таблице значений интегральной функции Лапласа находим значение t=1,96. Величина была найдена ранее: и .

Вычислим  . .

Учитывая, что  , доверительный интервал для оценки математического ожидания запишется  или, окончательно, .

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины находится по формуле , где s - "исправленное" среднее квадратическое отклонение, а d находится по формуле , где величина q определяется по специальной таблице значений функции .

Найдем  для нашей конкретной задачи:

q=q(0,95;40)=0,24;   d=sq=1,06×0,24=0,25 Следовательно, или окончательно .

На  этом решение задачи 1 закончено.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11	9	10	7	10	10	8	10
13	9	11	12	11	9	9	10
11	9	10	9	8	12	10	8
7	8	10	13	7	11	9	11
10	10	12	9	8	12	10	10

 

1.3.

7	7,6	7,8	7,4	7,8	7,2	7	7,6
7,6	7,6	7,4	7,2	7,4	7,8	7,4	7,6
7,4	7,4	7,4	7,2	7,6	8	7	7,8
7,2	7,8	7,6	7,2	8	7,8	8	7,8
7,4	8,2	7,6	8,2	7,6	7,6	8	7,2

 

	9,5	10,5	7,5	10,5	10,5	8,5	10,5
13,5	9,5	11,5	12,5	11,5	9,5	9,5	10,5
11,5	9,5	10,5	9,5	8,5	12,5	10,5	8,5
7,5	8,5	10,5	13,5	7,5	11,5	9,5	11,5
10,5	10,5	12,5	9,5	8,5	12,5	10,5	10,5

 

 

 

Задача 2.

 

Для выборки, извлеченной из генеральной  совокупности и представленной интервальным рядом (в первой строке указаны интервалы  значений исследуемого количественного признака генеральной совокупности; во второй – частоты , т.е. количество элементов выборки, значения признака которых принадлежат указанному интервалу). Требуется:

1) Построить полигон относительных  накопленных частот (кумулятивную  кривую);

2) Построить гистограмму частот  и гистограмму относительных  частот;

3) Найти выборочную среднюю,  выборочную дисперсию, моду и  медиану;

4) Проверить на уровне значимости  гипотезу о нормальном распределении признака генеральной совокупности по критерию согласия Пирсона;

5) В случае согласованности с  нормальным распределением найти  с надежностью доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения признака генеральной совокупности.

 

2.1.

	6,5-7,0	7,0-7,5	7,5-8,0	8,0-8,5	8,5-9,0	9,0-9,5	9,5-10
	46	126	196	210	135	55	18

 

2.2.

	0,3-0,4	0,4-0,5	0,5-0,6	0,6-0,7	0,7-0,8	0,8-0,9	0,9-1
	15	64	130	150	100	45	15

 

2.3.

	3-4	4-5	5-6	6-7	7-8	8-9	9-10
	10	70	453	972	860	332	60

 

 

 

Задача 6.

По промышленным предприятиям города имеются следующие  данные за отчетный год:

 

№ предприятия	Объем продукции, млн.руб.	Среднегодовая стоимость  Основных средств, млн.руб.	Среднесписочное число работников, чел.	Прибыль, млн.руб.
1	197,7	10,0	900	13,5
2	592,0	22,8	1500	136,2
3	465,5	18,4	1412	97,6
4	296,2	12,6	1200	44,4
5	584,1	22,0	1485	146,0
6	480,0	19,0	1420	110,4
7	578,5	21,6	1390	138,7
8	204,7	9,4	817	30,6
9	466,8	19,4	1375	111,8
10	292,2	13,6	1200	49,6
11	423,1	17,6	1365	105,8
12	192,6	8,8	850	30,7
13	360,5	14,0	1290	64,8
14	208,3	10,2	900	33,3