Контрольная работа по "Статистике"

 

Линейное  уравнение тренда имеет вид y = bt + a

1. Находим  параметры уравнения методом  наименьших квадратов.

Система уравнений  МНК:

a₀n + a₁∑t = ∑y

a₀∑t + a₁∑t² = ∑y•t

Для наших  данных система уравнений имеет  вид:

36a₀ + 666a₁ = 348

666a₀ + 16206a₁  = 6585

Из первого  уравнения выражаем а₀ и подставим во второе уравнение

Получаем a₀ = 0.0377, a₁ = 8.97

Уравнение тренда:

y = 0.0377 t + 8.97

Эмпирические  коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов β_i, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Коэффициент тренда b = 0.0377 показывает среднее изменение  результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени t на единицу его измерения. В данном примере с увеличением t на 1 единицу, y изменится в среднем на 0.0377.

Ошибка аппроксимации.

Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

 

Ошибка аппроксимации  в пределах 5%-7% свидетельствует о  хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным.

 

Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда.

Однофакторный дисперсионный анализ.

Средние значения

 

 

 

Дисперсия

 

 

Среднеквадратическое  отклонение

 

 

Коэффициент эластичности.

Коэффициент эластичности представляет собой показатель силы связи фактора t с результатом у, показывающий, на сколько процентов изменится значение у при изменении значения фактора на 1%.

 

 

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении t на 1%, Y изменится  менее чем на 1%. Другими словами - влияние t на Y не существенно.

Эмпирическое  корреляционное отношение.

Эмпирическое  корреляционное отношение вычисляется  для всех форм связи и служит для  измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1].

 

где

 

В отличие  от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].

Связи между  признаками могут быть слабыми и  сильными (тесными). Их критерии оцениваются  по шкале Чеддока:

0.1 < η < 0.3: слабая;

0.3 < η < 0.5: умеренная;

0.5 < η < 0.7: заметная;

0.7 < η < 0.9: высокая;

0.9 < η < 1: весьма высокая;

Полученная  величина свидетельствует о том, что изменение временного периода t не существенно влияет на y.

Коэффициент детерминации.

 

 

т.е. в 7.98% случаев  влияет на изменение данных. Другими  словами - точность подбора уравнения  тренда - низкая.

 

t	y	t 2	y 2	t•y	y(t)	(y-y cp) 2	(y-y(t))2	(t-t p) 2	(y-y(t)) : y
1	11.22	1	125.89	11.22	9.01	2.41	4.89	306.25	0.2
2	6.14	4	37.7	12.28	9.05	12.44	8.44	272.25	0.47
3	9.7	9	94.09	29.1	9.08	0.001	0.38	240.25	0.0636
4	8.06	16	64.96	32.24	9.12	2.58	1.13	210.25	0.13
5	8.66	25	75	43.3	9.16	1.02	0.25	182.25	0.0576
6	9.13	36	83.36	54.78	9.2	0.29	0.0044	156.25	0.0073
7	9.11	49	82.99	63.77	9.23	0.31	0.0154	132.25	0.0136
8	9.14	64	83.54	73.12	9.27	0.28	0.0173	110.25	0.0144
9	10	81	100	90	9.31	0.11	0.48	90.25	0.069
10	10.19	100	103.84	101.9	9.35	0.27	0.71	72.25	0.0827
11	12.36	121	152.77	135.96	9.38	7.25	8.85	56.25	0.24
12	9.51	144	90.44	114.12	9.42	0.0248	0.0076	42.25	0.0092
13	10.05	169	101	130.65	9.46	0.15	0.35	30.25	0.0587
14	8.95	196	80.1	125.3	9.5	0.51	0.3	20.25	0.0612
15	9.56	225	91.39	143.4	9.54	0.0115	0.0005	12.25	0.0026
16	7.75	256	60.06	124	9.57	3.68	3.32	6.25	0.24
17	8.54	289	72.93	145.18	9.61	1.27	1.15	2.25	0.13
18	9.25	324	85.56	166.5	9.65	0.17	0.16	0.25	0.0431
19	8.93	361	79.74	169.67	9.69	0.54	0.57	0.25	0.0847
20	9.15	400	83.72	183	9.72	0.27	0.33	2.25	0.0627
21	11.03	441	121.66	231.63	9.76	1.86	1.61	6.25	0.11
22	11.5	484	132.25	253	9.8	3.36	2.89	12.25	0.15
23	12.59	529	158.51	289.57	9.84	8.54	7.58	20.25	0.22
24	10.12	576	102.41	242.88	9.87	0.2	0.0601	30.25	0.0242
25	10.17	625	103.43	254.25	9.91	0.25	0.0663	42.25	0.0253
26	8.89	676	79.03	231.14	9.95	0.6	1.12	56.25	0.12
27	8.94	729	79.92	241.38	9.99	0.53	1.1	72.25	0.12
28	8	784	64	224	10.03	2.78	4.1	90.25	0.25
29	8.32	841	69.22	241.28	10.06	1.82	3.04	110.25	0.21
30	9.15	900	83.72	274.5	10.1	0.27	0.9	132.25	0.1
31	9.01	961	81.18	279.31	10.14	0.43	1.27	156.25	0.13
32	9.5	1024	90.25	304	10.18	0.028	0.46	182.25	0.0712
33	10.05	1089	101	331.65	10.21	0.15	0.0268	210.25	0.0163
34	11.74	1156	137.83	399.16	10.25	4.3	2.22	240.25	0.13
35	12.61	1225	159.01	441.35	10.29	8.66	5.39	272.25	0.18
36	11.01	1296	121.22	396.36	10.33	1.8	0.47	306.25	0.062
666	348.03	16206	3433.75	6584.95	348.03	69.17	63.65	3885	3.95

 

 

 

  Анализ точности определения  оценок параметров уравнения  тренда.

 

где m = 1 - количество влияющих факторов в  модели тренда.

Анализ  точности определения оценок параметров уравнения тренда

 

 

 

 

S _b = 0.022

Доверительные интервалы для зависимой переменной

 

По  таблице Стьюдента находим Tтабл

T_табл (n-m-1;α/2) = (34;0.025) = 2.021

Рассчитаем  границы интервала, в котором  будет сосредоточено 95% возможных  значений Y при неограниченно большом  числе наблюдений и t = 20

(9 + 0*20 - 2.021*3 ; 9 + 0*20 - 2.021*3)

(7;13)

Интервальный  прогноз.

Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого  показателя.

 

m = 1 - количество влияющих факторов  в уравнении тренда.

 

где L - период упреждения; у_n+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя;  T_табл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы, равного n-2. 

Абсолютные  приросты (DУ) определяются как разность между двумя уровнями динамического ряда:

Цепные:  DУц  = Уi -Уi-1

Базисные:  DУб = Уi  - У0

где  Уi - каждый последующий уровень динамического ряда;

       У -  каждый предыдущий уровень динамического ряда;

        Уо - начальный  уровень ряда динамики.

Темпы роста определяются как отношение двух уровней динамического ряда:

Тц = Уi / Уi-1 (в коэффициентах)

 

Тц = (Уi / Уi-1 ) *100 (в процентах)

 

Тб = Уi / У0  (в коэффициентах)

 

Тб = (Уi / У0) *100 (в процентах)

 

Темпы прироста определяются путем  отношения абсолютных приростов (цепных или базисных) к уровню ряда динамики (предыдущему или начальному):

DТц = DУц / Уi-1  = Тц - 1 (в коэффициентах)

DТц =  (DУц / Уi-1 ) *100 = Тц*100 - 100 (в процентах)

Абсолютное значение одного процента прироста (А) определяется ценным способом по формулам:  

А =     или А =

 

Средний абсолютный  прирост уровней ряда динамики (D ) может быть исчислен двумя способами:

1. как средняя арифметическая простая величина цепных абсолютных приростов:

D =

где  n - число цепных абсолютных приростов;

2. делением базисного абсолютного прироста за весь период на число уровней ряда динамики, не считая базисного

 

D =

где    n - число уровней ряда динамики.

 

x	y	y`(x)	yi – yi-1	yi / yi-1
1	11,22	9,008063
2	6,14	9,045745	-5,08	0,547
3	9,7	9,083427	3,56	1,58
4	8,06	9,121109	-1,64	0,831
5	8,66	9,158792	0,6	1,074
6	9,13	9,196474	0,47	1,054
7	9,11	9,234156	-0,02	0,998
8	9,14	9,271838	0,03	1,003
9	10	9,30952	0,86	1,094
10	10,19	9,347202	0,19	1,019
11	12,36	9,384884	2,17	1,213
12	9,51	9,422566	-2,85	0,769
13	10,05	9,460248	0,54	1,057
14	8,95	9,497931	-1,1	0,891
15	9,56	9,535613	0,61	1,068
16	7,75	9,573295	-1,81	0,811
17	8,54	9,610977	0,79	1,102
18	9,25	9,648659	0,71	1,083
19	8,93	9,686341	-0,32	0,965
20	9,15	9,724023	0,22	1,025
21	11,03	9,761705	1,88	1,205
22	11,5	9,799387	0,47	1,043
23	12,59	9,837069	1,09	1,095
24	10,12	9,874752	-2,47	0,804
25	10,17	9,912434	0,05	1,005
26	8,89	9,950116	-1,28	0,874
27	8,94	9,987798	0,05	1,006
28	8	10,02548	-0,94	0,895
29	8,32	10,06316	0,32	1,04
30	9,15	10,10084	0,83	1,1
31	9,01	10,13853	-0,14	0,985
32	9,5	10,17621	0,49	1,054
33	10,05	10,21389	0,55	1,058
34	11,74	10,25157	1,69	1,168
35	12,61	10,28925	0,87	1,074
36	11,01	10,32694	-1,6	0,873
666	348,03	348,03	-0,21	0,981288

Найдем среднее  значение показателя ряда и средний  абсолютный прирост ряда

Найдем средний  темп роста и темп прироста

Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных  отклонений   от значений отклонений во всех других наблюдениях. Это гарантирует  отсутствие коррелированности между  любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями.

Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между  наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в  пространстве (перекрестные ряды). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается  в регрессионном анализе при  использовании данных временных  рядов и очень редко при  использовании перекрестных данных.

В экономических задачах значительно  чаще встречается положительная  автокорреляция, нежели отрицательная  автокорреляция. В большинстве случаев  положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов.

Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением  следует отрицательное и наоборот. Такая ситуация может иметь место, если ту же зависимость между спросом  на прохладительные напитки и  доходами рассматривать по сезонным данным (зима-лето).

Среди основных причин, вызывающих автокорреляцию, можно выделить следующие:

1. Ошибки спецификации. Неучет в  модели какой-либо важной объясняющей  переменной либо неправильный  выбор формы зависимости обычно  приводят к системным отклонениям  точек наблюдения от линии  регрессии, что может обусловить  автокорреляцию.

2. Инерция. Многие экономические  показатели (инфляция, безработица,  ВНП и т.д.) обладают определенной  цикличностью, связанной с волнообразностью  деловой активности. Поэтому изменение  показателей происходит не мгновенно,  а обладает определенной инертностью.

3. Эффект паутины. Во многих  производственных и других сферах  экономические показатели реагируют  на изменение экономических условий  с запаздыванием (временным лагом).

4. Сглаживание данных. Зачастую  данные по некоторому продолжительному  временному периоду получают  усреднением данных по составляющим  его интервалам. Это может привести  к  определенному сглаживанию  колебаний, которые имелись внутри  рассматриваемого периода, что  в свою очередь может служить  причиной автокорреляции.