Контрольная работа по "Статистике"

Содержание

 

Задача 8.11. 3

Задача 9.16. 14

Задача 10.5. 28

Задача 12.5. 31

Задача 14.5. 32

Литература 35

 

 

 

Задача 8.11. По данным приложения 5 произведите аналитическую группировку результата Y, разбив совокупность на четыре группы. Каждую группу охарактеризуйте числом единиц в подгруппе и средними показателями . Сделайте анализ результатов группировки.

Вычислите парные коэффициенты корреляции и постройте  матрицу парных коэффициентов корреляции. Сделайте выводы о тесноте связи  между признаками.

Найдите линейное уравнение связи  , совокупный коэффициент корреляции и детерминации, b-коэффициенты, коэффициенты эластичности. Сделайте подробные выводы.

Приложение 5

 

	Объем продукции, млн. руб.	Основные фонды, млн. руб.	Использование производственных мощностей, %
	Y	X1	Х2
1	3,5	4,7	74
2	2,3	2,7	75
3	3,2	3,0	78
4	9,6	6,1	92
5	4,4	3,0	80
6	3,0	2,5	80
7	5,5	3,1	85
8	7,9	4,5	87
9	3,6	3,2	77
10	8,9	5,0	95
11	6,5	3,5	93
12	4,8	4,0	76
13	1,6	1,2	77
14	12,0	7,0	96
15	9,0	4,5	97
16	4,4	4,9	80
17	2,8	2,8	79
18	9,4	5,5	86
19	14,0	6,6	98
20	2,5	2,0	84

 

 

Решение

Найдем  максимальное и минимальное значение ряда

Y_min = 1.6   и Y _max = 14

R= Y _max  - Y_min =  14-1.6 = 12,4

  n = 4 – число групп в ряде 

i = R/n = 12,4/4 = 3.1 – величина интервала

Таким образом у нас получаются интервалы  [1,6 ;4,7], [4,7;7,8], [7,8;10,9] и

[10,9; 14]

Отсортируем начальные данные по возрастанию  признака Y и построим вспомогательную таблицу

№	Прежний №	Объем продукции, млн. руб.	Основные фонды, млн. руб.	Использование производственных мощностей, %
		Y	X1	Х2
1	13	1,6	1,2	77
2	2	2,3	2,7	75
3	20	2,5	2	84
4	17	2,8	2,8	79
5	6	3	2,5	80
6	3	3,2	3	78
7	1	3,5	4,7	74
8	9	3,6	3,2	77
9	5	4,4	3	80
10	16	4,4	4,9	80
Итого по группе		31,3	30	784
Среднее значение показателя по группе 1		3,13= =31,3/10	3= =30/3	78,4= =784/10
11	12	4,8	4	76
12	7	5,5	3,1	85
13	11	6,5	3,5	93
Итого по группе		16,8	10,6	254
Среднее значение показателя по группе 2		5,6= =16,8/3	3,53= =10,6/3	84,67 = =254/3
14	8	7,9	4,5	87
15	10	8,9	5	95
16	15	9	4,5	97
17	18	9,4	5,5	86
18	4	9,6	6,1	92
Итого по группе		44,8	25,6	457
Среднее значение показателя по группе 3		8,96 =44,8/5	5,12 =25,6/5	91,4 = = 457/5
19	14	12	7	96
20	19	14	6,6	98
Итого по группе		26	13,6	194
Среднее значение показателя по группе 4		13 = =26/2	6,8= =13,6/2	97= =194/2

 

Как видно  из построенной таблицы для группы:

1-й значение

2-й значение 

3-й значение 

4-й значение 

Как видно  из группировки значения результативного  признака (Y) распределено достаточно неравномерно и чаще встречается в 1-й группе (10) и менее всего в 4-й (2)

Построим вспомогательную таблицу 

	Y	X1	Х2	YX1	YX2	X1X2	Y2	X12	X22
1	3,5	4,7	74	16,45	259	347,8	12,25	22,09	5476
2	2,3	2,7	75	6,21	172,5	202,5	5,29	7,29	5625
3	3,2	3	78	9,6	249,6	234	10,24	9	6084
4	9,6	6,1	92	58,56	883,2	561,2	92,16	37,21	8464
5	4,4	3	80	13,2	352	240	19,36	9	6400
6	3	2,5	80	7,5	240	200	9	6,25	6400
7	5,5	3,1	85	17,05	467,5	263,5	30,25	9,61	7225
8	7,9	4,5	87	35,55	687,3	391,5	62,41	20,25	7569
9	3,6	3,2	77	11,52	277,2	246,4	12,96	10,24	5929
10	8,9	5	95	44,5	845,5	475	79,21	25	9025
11	6,5	3,5	93	22,75	604,5	325,5	42,25	12,25	8649
12	4,8	4	76	19,2	364,8	304	23,04	16	5776
13	1,6	1,2	77	1,92	123,2	92,4	2,56	1,44	5929
14	12	7	96	84	1152	672	144	49	9216
15	9	4,5	97	40,5	873	436,5	81	20,25	9409
16	4,4	4,9	80	21,56	352	392	19,36	24,01	6400
17	2,8	2,8	79	7,84	221,2	221,2	7,84	7,84	6241
18	9,4	5,5	86	51,7	808,4	473	88,36	30,25	7396
19	14	6,6	98	92,4	1372	646,8	196	43,56	9604
20	2,5	2	84	5	210	168	6,25	4	7056
Σ	118,9	79,8	1689	567,01	10514,9	6893,3	943,79	364,54	143873
Σ  /n	5,945	3,99	84,45	28,3505	525,745	344,665	47,19	18,227	7193,65

 

Среднее значения рядов 

Найдем дисперсию исследуемых  признаков

Найдем среднеквадратичное значения рядов

 

Коэффициент корреляции  между признаками

y и x₁

y и x₂

  x₂ и x₁

 

Матрица попарной зависимости примет вид 

	Y	X1	Х2
Y	1	0,89	0,88
X1	0,89	1	0,65
X2	0,88	0,65	1

 

Таким образом, признак y в значительной мере зависит  от x₁ и x₂ а признаки  x₁ и x₂   в незначительной мере зависят друг от друга.

В тех случаях, когда необходимо оценить влияние нескольких факторов на исследуемую величину, строится уравнение множественной регрессии.

Если связь является линейной, то уравнение линейной множественной  регрессии запишется в виде:

i = a0 + a1xi1 + a2xi2 + ... + amxim,

где m - число учитываемых факторов (независимых переменных),

n - объем выборки.

Рассмотрим случай, когда y зависит от двух переменных – x₁ и x₂.

Уравнение с оцененными параметрами  будет иметь вид:

i = a0 + a1xi1 + a2xi2,

Чтобы определить значения коэффициентов a₀, a₁ и a₂, воспользуемся методом наименьших квадратов.

Как и ранее, задача формулируется  следующим образом:

Q =    =     →  min.

Приравяв частные производные  нулю и выполнив преобразования, получим  систему уравнений:

na0 + a1 xi1 + a2 xi2 =  yi,  a0 xi1 + a1  + a2 xi1xi2 =  yixi1,  a0 xi2 + a1 xi1xi2 + a2  =  yixi2.

Решив систему, можно получить формулы  для расчета коэффициентов уравнения  множественной линейной регрессии (a₀, a₁, a₂).

 

Рассмотрим более общий случай - зависимость переменной y от m факторов.

Обозначим:

A = {a_j}, j = 0, 1, 2, ..., m - вектор оценок параметров регрессии;

Y = {y_i},   - вектор значений зависимой переменной;

X = {x_ij},  ,  j = 0, 1, 2, ..., m - матрица значений независимых переменных;

при этом m - количество независимых переменных, n - объем выборки.

Уравнение регрессии может быть представлено в следующим образом.

Для конкретного y_i:

i = a0 + a1xi1 + a2xi2 + ... + amxim,

или в матричном виде:

Y = A ∙ X,

где X = 1   x11   x12    ...     x1m  1   x21   x22    ...     x2m            ... 1   xn1   xn2    ...     xnm .

Можно показать, что для общего случая множественной линейной регрессии, коэффициенты уравнения могут быть определены из следующего соотношения:

A = (Xт∙X)-1∙Xт∙Y.

X^T=

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
4,7	2,7	3	6,1	3	2,5	3,1	4,5	3,2	5	3,5	4	1,2	7	4,5	4,9	2,8	5,5	6,6	2
74	75	78	92	80	80	85	87	77	95	93	76	77	96	97	80	79	86	98	84