Sf – численность ряда (сумма частот);

S – накопленные итоги численностей до медианного интервала;

f₀ – численность медианного интервала.

     Ме=136+28×(15-11)/10= 147,2 шт. 
 

Вывод

     50% рабочих данной совокупности  имеют выработку до 147,2 шт., а вторая половина рабочих – выше 147,2 шт.

     На  рис. 2 изобразим графически медиану.

ЗАДАЧА 4

     По  результатам вычислений задач 2, 3 вычислить  дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Поясните смысл полученных характеристик вариации.

РЕШЕНИЕ

    Дисперсия – это средний квадрат отклонения.

    Расчет  дисперсии для всей совокупности, представленной в виде сгруппированного ряда в табл. 4, осуществляется по формуле:

    σ²=

,

     где х – середины интервалов;

     

    Расчет  данных для вычисления дисперсии  выполним в табл. 4.

σ²=32117,845 : 30=1070,595

Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:

     Коэффициент вариации определяется по формуле:

    v=

=

     Коэффициент вариации меньше 33%, следовательно, совокупность является однородной, а средняя – типичной и устойчивой.

ЗАДАЧА 5

     На  основании аналитической группировки задачи 1 вычислить общую, межгрупповую и среднюю из внутригрупповых дисперсий. Определите корреляционное отношение по выработке одного рабочего. Сделайте выводы.

РЕШЕНИЕ

     Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловливающих эту  вариацию и рассчитывается по формуле:

     

,

     где – общая средняя по всей совокупности.

     Межгрупповая  дисперсия характеризует систематическую  вариацию, т. е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле:

     δ_х²  =

,

     где – средние по отдельным группам;

     n_j – численности по отдельным группам.

     Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т. е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следующим образом:

     σ²=

.

     Средняя из внутригрупповых дисперсий:

     

     Закон, связывающий три вида дисперсий: общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:

     σ²_общ²=δ²+ σ²

     Данное  соотношение называют правилом сложения дисперсий.

     Для решения задачи сначала определим  средние по каждой группе. Расчет средних  выполнен в табл. 5.

     Средняя выработка в первой группе (до 3 лет) равна х₁=143,2 шт. (716:5), во второй (от 3 до 10 лет) х₂=142,875 шт.(2286:16), в третьей (свыше 10 лет) х₃=157,889 шт.(1421:9)

     Промежуточные расчеты дисперсий по группам  представлены в табл. 5.

     Таблица 5

Расчет  данных для определения внутригрупповых  дисперсий.

 

     Подставив полученные значения в формулу, получим:

     σ₁²= =3076,8:5=615,36;

     σ₂²= = 21091,756:16=1318,235;

     σ₃²= =1309,886:9=145,543.

     Средняя из групповых дисперсий:

      =(615,36×5+1318,235×16+145,543×9):30=849,281.

     Затем рассчитаем межгрупповую дисперсию. Средняя (общая) по всей совокупности равна 147,433 шт. (см. табл. 2).

     δ_х²  =

=

     =[(143,2–147,433)²×5+(142,875–147,433)²×16+(157,889–147,433)²×9]:30=46,865

     Таким образом, общая дисперсия согласно правилу сложения дисперсий:

     σ²_общ²=δ²+ σ²=849,281+46,865=896,146

     На  основании правила сложения дисперсий  можно определить показатель тесноты  связи между группировочным (факторным) и результативным признаками, который называется корреляционным отношением: 

     Величина  0,228 показывает отсутствие связи между группировочным и результативным признаками.

     Коэффициент детерминации η² равен:

     η²=0,228²=0,052 или 5,2%

     Он  показывает, что вариация выработки на 5,2% зависит от стажа и на 94,8% (100%–5,2%) от других неучтенных факторов.

ЗАДАЧА 6

     По  исходным данным задачи 2 и результатам  вычислений задачи 3,4 установите:

1. с вероятностью 0,954 возможные пределы средней выработки в генеральной совокупности;
2. с вероятностью 0,997 возможные пределы удельного веса численности рабочих, имеющих выработку выше средней;
3. сколько необходимо отобрать рабочих, чтобы с вероятностью 99,7% предельная относительная ошибка выборки не превышала 5%?

РЕШЕНИЕ

     1) Средняя ошибка выборки определяется по формуле:

    

,

    где k – коэффициент выборочного наблюдения (по условию задачи 10% или 0,1)

    Предельная  ошибка выборки определяется по формуле: ,

    где t – коэффициент доверия (для вероятности 0,954 равен 2)

    Определим предельную ошибку средней выработки:

Δ _х=

== =2×5,667=11,334 шт.

     Найдем  границы изменения средней величины в генеральной совокупности:

     

     

150,933 –11,334<

<150,933+11,334;     139,599 < <162,267

     Вывод

     С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя выработка одного рабочего в генеральной совокупности находится в пределах от 139,599 шт. до 162,267 шт. (не ниже 139,599 шт., но не выше 162,267 шт.)

     2) Определим удельный вес рабочих, у которых выработка выше средней (150,933 шт.). Таких рабочих 12 человек. Тогда удельный вес их в общей численности составит:

   w=

,

     Рассчитаем предельную ошибку доли в случае механического отбора по формуле: ∆_p =t* ,

    где w – удельный вес рабочих, у которых выработка выше средней;

    n – объем выборочной совокупности;

    t – коэффициент доверия (t=3 для вероятности 0,997).

    ∆p =3*

=3*0,085= 0,255 или 25,5%

     Найдем  границы изменения доли в генеральной  совокупности:

     p=w±Δ_p

   p=0,4±0,255

     0,4-0,255<Р<0,4+0,255;

     0,145 <Р<0,655

     14,5%<Р<65,5%

   Вывод

   С вероятностью 0,997 можно утверждать, что удельный вес рабочих, у которых выработка выше средней, колеблется от 14,5% до 65,5%. В генеральной совокупности.

   3) Рассчитаем необходимую численность рабочих:

     n=(t²*V_σ²)/Δ²,

     t – коэффициент доверия (для вероятности 99,7% равен 3);

     V_σ – коэффициент вариации (21,7% – результат решения задачи 4);

     Δ² – относительная погрешность, %; (по условию задачи равна 5%).

     n=9*(21,7)²/25=169,52≈170 чел.

     С вероятностью 99,7% можно утверждать, что численность выборки, обеспечивающая относительную погрешность не более 5%, должна составлять не менее 170 чел. 

     ЗАДАЧА 7

     Имеются данные о стаже работы рабочих  и их выработке (приложения А, графа  3, Б–графа 5).

     Составьте линейное уравнение регрессии, вычислите  его параметры, рассчитайте коэффициенты корреляции и эластичности. По полученному уравнению регрессии рассчитайте теоретические (выравненные) уровни. Результаты расчетов оформите в виде таблицы. Сделайте выводы.

     РЕШЕНИЕ

       Уравнение связи в случае линейной зависимости  имеет вид:

       у_х=а₀+а₁х

       Параметры уравнения а₀ и а₁ определяют методом наименьших квадратов. Для этого необходимо решить систему уравнений:

                                                         na₀+a₁∑x=∑y;

       a₀ ∑x+ a₁∑x²=∑xy.

       Расчет  необходимых данных выполним в табл. 6

       Таблица 6

Расчет данных для уравнения регрессии