Доходы населения

       Д – величина среднедушевого  денежного дохода населения в  целом или отдельной группы;

       Р – средняя цена товара (услуги) или стоимости определенного набора товаров и услуг. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Расчетная часть 

   Задание 1

   По  материалам 1%-ной механической выборки домашних хозяйств региона получены следующие данные о распределении домохозяйств по величине среднедушевых доходов:

   Таблица 1

   

   По  данным обследования определить:

1. Структуру домохозяйств по среднедушевому доходу.
2. Среднедушевой доход домашних хозяйств.
3. показатели вариации: дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Оцените качество (однородность) совокупности.
4. Моду, медиану, первый и девятый децили.
5. Рассчитайте децильный коэффициент дифференциации доходов.
6. С вероятностью 0,954:

      а) возможные пределы среднедушевого дохода домашних хозяйств региона;

      б) возможные пределы удельного веса домашних хозяйств имеющих доход менее 2000 руб.

   Сделайте  выводы.

1. Для того, чтобы определить структуру домохозяйств по среднедушевому доходу необходимо рассчитать относительные показатели структуры.

   Относительные показатели структуры характеризуют  состав изучаемой совокупности, доли, удельные веса элементов совокупности в общем итоге и представляют собой отношение части единиц совокупности ко всему объему совокупности :

    , где  удельный вес частей совокупности.

   Рассчитаем  относительные величины структуры  домохозяйств по среднедушевому доходу:

   

   Рассчитанные  относительные величины структуры  представлены в таблице 2.

   Таблица 2.

   Структура домохозяйств по среднедушевому доходу

   

2. Для расчета  среднедушевого дохода домашних хозяйств воспользуемся формулой вычисления средней арифметической взвешенной, т.к. данные о распределении домохозяйств по величине среднедушевых доходов  представлены в виде интервального  ряда распределения.

   Вспомогательные данные для расчета среднедушевого дохода домашних хозяйств представлены в таблице 3.

  Таблица 3.

  Вспомогательные данные для расчета  среднедушевого дохода домашних хозяйств

   Вывод: таким образом,  среднедушевой  доход домашних хозяйств в месяц  составляет 1885 руб.

3. Для измерения степени колеблемости отдельных значений признака от средней исчисляются основные обобщающие показатели вариации: дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. На этом этапе статистического анализа ставится задача определить, на сколько близко единицы совокупности сгруппированы вокруг средней.

   Для расчета показателей вариации на основании таблицы 1 построим вспомогательную  таблицу 4.  
 
 
 
 
 
 
 

   Таблица 4.

   Вспомогательная таблица для расчета  показателей вариации

  Размах  вариации (амплитуда колебаний) показывает, на сколько велико различие между единицами совокупности, находящимися на концах ранжированного ряда. Вычисляется по формуле:

  

  Вывод: таким образом, различие между максимальным значением среднедушевого денежного  дохода в месяц отличается от минимального значения на 4900 руб.

  Среднее линейное отклонение – это средний  модуль отклонения вариантов признака от средней арифметической величины признака. Вычисляется по формуле:

  

  Вывод: таким образом, средний модуль отклонения вариантов признака среднедушевые  денежные доходы в месяц, руб. от среднего значения этого признака на 759,375 руб.

  Дисперсия – средний квадрат отклонений варианта признака от средней арифметической величины признака. Вычисляется по формуле:

  

  Среднее квадратическое отклонение – корень из среднего квадрата отклонений варианта признака от средней арифметической величины признака. Вычисляется по формуле:

  

  Вывод: таким образом, величина среднедушевых  денежных доходов в месяц каждого  из рассматриваемых домохозяйств отличается от средней величины среднедушевых  денежных доходов в месяц, руб. одного домохозяйства на 970,45 руб.

        Коэффициент вариации (относительный показатель интенсивности) используется для оценки интенсивности  вариации и показывает, сколько единиц среднеквадратического отклонения приходится на единицу среднего значения изучаемого признака. Рассчитывается по формуле:

  

  Вывод: Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает  значения, равное 0,33. .

  В этом случае средняя величина среднедушевых  денежных доходов в месяц считается  нетипичной, ненадежной характеристикой  статистической совокупности, статистическая совокупность является неоднородной по рассматриваемому признаку среднедушевые  денежные доходы в месяц.

4. Графически определим значение моды и медианы.

  Мода  – наиболее часто встречающееся  значение признака , которой соответствует максимальная частота этого признака.

  В интервальном вариационном ряду мода вычисляется по формуле:

  

  где – нижняя граница модального интервала;

    – верхняя граница модального  интервала;

    – частота модального интервала;

   – частота интервала, стоящего перед  модальной частотой;

   – частота интервала, стоящего после  модальной частоты.

  Первоначально по наибольшей частоте признака определим  модальный интервал. Наибольшее число  домохозяйств – 916 шт. – имеют среднедушевой  денежный доход в месяц в интервале 1000-2000 руб., который и является модальным.

  

  Вывод: таким образом, наиболее часто встречающаяся  величина среднедушевых денежных доходов в месяц среди домохозяйств составляет 1535,09 руб.

  Рисунок 1. 

  Медиана – значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда . Медианой следует считать значение признака в той группе, в которой накопленная частота превышает половину численности совокупности. 

  В интервальном вариационном ряду медиана вычисляется по формуле:

  

  где – нижняя граница медианного интервала;

    – верхняя граница медианного  интервала;

    – накопленная частота  интервала, предшествующая медианному  интервалу;

   – частота медианного интервала

  Определим медианный интервал, в котором  находится порядковый номер медианы. Для этого подсчитаем сумму частот накопленным итогом до числа, превышающего половину объема совокупности (1600/2=800).

  В графе «сумма накопленных частот»  значение 800 соответствует интервалу 1000-2000. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана.

  

  Вывод: таким образом, приблизительно половина домохозяйств  имеет среднедушевой  денежный доход менее 1672,49 руб., а  вторая половина более 1672,49 руб.

  Рисунок 2 

  Дециль  – вариант ранжированного ряда отсекающий десятую часть совокупности.

  Нижний  и верхний децили исчисляются  по формуле медианы (см. пункт 4), только в этом случае вместо медианного интервала используют интервалы, в которых находятся варианты, отсекающие по 10% численности частот в разных концах ряда распределения.

  Нижний  дециль (самые низкие доходы) определяется по формуле:

  

  Для расчета первого (нижнего) дециля находим 1/10 численности частот:

  

  По  накопленным частотам видно, что  вариант соответствующий такой  частоте находится в интервале 1-1000 руб., тогда:

   . Отсюда самые низкие доходы  равны: 

  

  Верхний дециль ( ) (самые высокие доходы) определяется по формуле:

  

  Для расчета девятого (верхнего) дециля находим 9/10 численности частот:

  

  По  накопленным частотам видно, что  вариант соответствующий такой  частоте находится в интервале 3000-4000 руб., тогда:

   . Отсюда самые высокие доходы  равны: 

  

5. Децильный коэффициент доходов населения - это отношение уровней верхнего и нижнего децилей вариационных рядов соответствующих показателей:

   , где  и - соответственно девятый и первый децили.

  Таким образом, децильный коэффициент дифференциации доходов равен:

  

  Децильный коэффициент дифференциации доходов домохозяйств показывает, что среднедушевой денежный доход, выше уровня которого имели доход 10% домохозяйств (высокодоходная группа) среди анализируемых домохозяйств превышал в 3,49 раз уровень дохода, ниже которого имели  доход 10% домохозяйств (низкодоходная группа).

  а)

  Средняя ошибка выборки (бесповторная) для среднедушевого дохода домашних хозяйств региона:

   

  Предельная  ошибка выборки  для среднедушевого дохода домашних хозяйств региона при бесповторной выборке:

  

  Генеральная средняя будет равна , а доверительный интервал генеральной средней исчисляется, исходя из двойного неравенства:

   

   Таким образом, с вероятностью 0,954 можно  утверждать, что возможные пределы  среднедушевого дохода домашних хозяйств региона составят не  меньше 795,502 руб. и не больше 2944,498 руб.

б) 

   Средняя ошибка выборки  (бесповторная) для доли домашних хозяйств, имеющих доход менее 2000 руб.: