Критерий Стьюдента и критерий Фишера в области здорового образа жизни

МИНОБРНАУКИ

Государственное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования

«Санкт-Петербургский  государственный электротехнический

университет “ЛЭТИ” им. В. И. Ульянова (Ленина)»

(СПбГЭТУ)

____________________________________________________________

 

Кафедра ФВиС

 

 

Реферат на тему:

«Критерий Стьюдента и критерий Фишера в области здорового образа жизни»

 

 

 

 

 

 

 

 

Работу выполнила:                    

 

 

Работу проверила:   

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2013

 

Содержание

Введение 3

Основные понятия и определения 3

Числовые характеристики выборки 4

Закон нормального распределения 7

Проверка статистических гипотез 8

Примеры 11

Список литературы 13

 

 

 

Введение

    Задачи оценки  достоверности результатов и  определения интервала наиболее  вероятных значений решаются  с использованием статистических  критериев. 

   Теоретической основой  их применения служит закон  нормального распределения.

    Он является  основным в математической статистике, потому, что большинство признаков  у живых организмов распределено  между объектами по нормальному  закону.

Например: рост, вес, быстрота, выносливость, способности, МПК, гибкость и другие.

Основные  понятия и определения

Генеральная совокупность –  множество однородных, но индивидуально  различимых объектов, имеющих хотя бы один общий признак, позволяющий  их классифицировать,  сравнивать друг с другом.

Выборка  (выборочная совокупность) — часть объектов исследования, определенным образом выбранная из генеральной совокупности.

Числовые характеристики выборки – количественные характеристики эмпирических данных, позволяющие сравнивать их между собой.

Статистической гипотезой (гипотезой) называется утверждение относительно истинных значений параметров исследуемой генеральной совокупности.

Нулевая гипотеза (Но) – предположение о том, что между параметрами генеральных совокупностей  разница равна нулю и различия между ними носят не систематический, а случайный характер.

Альтернативная гипотеза (Н₁) – гипотеза, противоположная нулевой.

Уровень значимости  -  вероятность отклонения  нулевой гипотезы, когда она верна.

Критерий хи-квадрат, критерий l Колмогорова–Смирнова – критерии согласия, часто используемые для проверки гипотезы о нормальности распределения.

t – критерий Стьюдента – метод, позволяющий оценить, насколько статистически существенно различаются средние арифметические двух выборок.

F – критерий Фишера – метод, позволяющий проверить гипотезу, что две независимые выборки получены из генеральных совокупностей X и Y  с одинаковыми дисперсиями s_x² и s_Y² .

Числовые  характеристики выборки

После проведения эксперимента исследователь  имеет определенное количество данных. Для того, чтобы его результаты можно было сравнить с данными  других исследователей, необходимо рассчитать числовые характеристики выборки. Наибольшее практическое значение имеют  характеристики  положения, рассеивания и асимметрии (табл.1).

Таблица 1

Название и  обозначение числовых характеристик  выборки

Характеристики
Положения	Вариативности	Формы распределения
Среднее арифметическое (М)	Размах вариации (R)	Коэффициент асимметрии (As)
Мода (Мо)	Дисперсия (S2)	Коэффициент эксцесса (Ex)
Медиана (Ме)	Стандартное отклонение (S)	-

 

Характеристики  положения

Среднее арифметическое  (М) – одна из основных характеристик выборки.  Этот показатель характеризуется тем, что сумма отклонений от него выборочных значений (с учетом знака) равна нулю.

где: n  – объем выборки, x_i   – варианты выборки.

Среднее арифметическое, вычисленное  на основе выборочных данных, как правило, не совпадает с генеральным средним  (m).  Чтобы оценить, насколько выборочное среднее арифметическое отличается от генерального среднего, вычисляется ошибка среднего арифметического или ошибка репрезентативности (m)

где: S ‐ стандартное отклонение (см. далее).

Очень часто окончательный результат приводится в следующем виде:  М±m.  В качестве примера приведем фрагмент таблицы из публикации Г.Г.Лапшиной (табл. 2).

Таблица 2

Антропометрический  и функциональный статусы студенток, n= 83 (по: Г.Г.Лапшиной, 1989)

Показатели	М±m	s
Длина тела, см	163,7±0,9	5,8
Масса тела, кг	60,8±1,2	7,5

 

 

Медианой (Me) – называется такое значение признака, когда одна половина значений экспериментальных данных меньше ее, а вторая половина — больше.

Мода (Мо) – представляет собой значение признака, встречающееся в выборке наиболее часто.

Характеристики рассеивания

Средние значения не дают полной информации о варьирующем признаке, поэтому наряду со средними значениями вычисляют характеристики рассеивания.

Размах вариации (R) вычисляется как разность между максимальной и минимальной вариантами выборки:

Информативность этого  показателя невелика, так как распределения  могут иметь одинаковый размах варьирования, а их форма будет очень отличаться.

Дисперсия (S²) – средний квадрат отклонений значений признака от среднего арифметического  (4):

Наиболее часто используется не дисперсия, а стандартное отклонение (S).Этот показатель также называется среднеквадратическим отклонением или СКО (5):

Пример:

Таблица 3

Зависимость возраста достижения лучшего результата и количество необходимого для этого времени  от возраста начала спортивной специализации  у конькобежцев, дистанция 500 м, 225 спортсменов (по: Л.Н.Жданову, 1996).

Возраст начала спортивной специализации, лет	Спортивная квалификация	Мальчики, юноши
		Возраст лучшего результата		Количество лет с начала специализации
		М	s
10	МC	20,0	0,5	10,0
	КМС	17,6	0,5	7,6
	I,II	15,0	0,3	5,0

 

 

Коэффициент  вариации (V%). Чтобы сопоставить вариативность  признаков, измеренных в различных единицах, используется относительный показатель (6):

Коэффициент вариации используют для оценки однородности выборки. Если V < 10% – выборка однородна, то есть, получена из одной генеральной совокупности.

Характеристики  асимметрии

Коэффициент асимметрии (As) характеризует “скошенность“ распределения.

Коэффициент эксцесса (Ex) определяет характер распределения: остро‐ или плосковершинный.

 

Закон нормального распределения

Корректное  использование критериев проверки статистических  гипотез предполагает знание  закона распределения. Так, например, использование t – критерия  Стьюдента и  F‐ критерия Фишера требует нормального распределения экспериментальных данных.

Большинство экспериментальных  распределений, полученных при исследованиях  в области физической культуры и  спорта может быть описано с помощью  нормального  распределения. График плотности вероятности  нормального распределения имеет следующий вид (рис. 1).

Рис. 1

На рис. 1 представлено распределение  роста женщин с параметрами:  m (генеральное среднее) – 170 см, s = 5 см.

Нормальное распределение обладает следующими свойствами:

1. Нормальная кривая имеет колоколобразную форму, симметричную относительно  x =  m.

2. Точки перегиба отстоят от m  на  ± s .

3. Нормальное распределение полностью  определяется двумя параметрами: m и s.

4. Медиана и мода  совпадают и равны  m.

5. В интервал  m ± s     попадают  68 %  всех результатов.   

 В интервал  m ± 2 s  попадают  95%   всех  результатов.   

 В интервал  m ± 3 s  попадают  99 %  всех результатов.

Проверка  статистических гипотез

Рассчитав числовые характеристики выборки, экспериментатор получает возможность сравнивать свои результаты с данными других исследователей. Иногда задача работы состоит в том, чтобы сравнить результат, показанный группой спортсменов до и после  эксперимента.  Для оценки достоверности различий  результатов используются критерии значимости.         

 При использовании  критериев выдвигается нулевая гипотеза (Ho) — предположение о том, что  в параметрах генеральных совокупностей разница равна нулю и различия между ними носят не систематический, а случайный характер. Противоположная гипотеза называется альтернативной (Н₁).

Проверка статистических гипотез осуществима только тогда, когда из элементов сравниваемых выборок можно составить некоторую величину (критерий), закон распределения которой в случае справедливости Н₀ известен. Тогда для этой величины можно указать доверительный интервал, в который с заданной вероятностью Р_д попадает ее значение. Этот интервал называют критической областью. Если значение критерия попадает в критическую область, то принимается гипотеза Н₀. В противном случае принимается гипотеза Н₁.

Проверка гипотез о равенстве дисперсий, F-критерий Фишера

В некоторых клинических  исследованиях о положительном  эффекте свидетельствует не столько величина исследуемого параметра, сколько его стабилизация,уменьшение его колебаний. В этом случае возникает вопрос о сравнении двух генеральных дисперсий по результатам выборочного обследования. Эта задача может быть решена с помощью критерия Фишера.

Постановка задачи

Получены две выборки {Х₁} и {Х₂}, извлеченные из генеральных совокупностей снормальным законом распределения. Объемы выборок - n₁ и n₂, а выборочные дисперсии равны s₁ и s₂² соответственно. Требуется сравнить между собой генеральные дисперсии.

Проверяемые гипотезы:

Н₀ - генеральные дисперсии одинаковы;

Н₁ - генеральные дисперсии различны.

Показано, если выборки  извлечены из генеральных совокупностей  с нормальным законом распределения, то при справедливости гипотезы Н₀ отношение выборочных дисперсий подчиняется распределению Фишера. Поэтому в качестве критерия для проверки справедливости Н₀ берется величина F, вычисляемая по формуле:

22

где ^s1 ^и s2 - выборочные дисперсии.

Это отношение подчиняется  распределению Фишера с числом степеней свободы числителя ν₁ = n₁ - 1 и числом степеней свободы знаменателя ν₂ = n₂ - 1. Границы критической области находятся по таблицам распределения Фишера.

Проверка гипотез относительно равенства средних, t-критерий Стьюдента

Задача сравнения средних двух генеральных совокупностей возникает, когда практическое значение имеет именно величина исследуемого признака. Например, когда сравниваются сроки лечения двумя различными методами или количества осложнений, возникающих при их применении. В этом случае можно использовать t-критерий Стьюдента.

Постановка задачи

Получены две выборки {Х₁} и {Х₂}, извлеченные из генеральных совокупностей снормальным законом распределения и одинаковыми дисперсиями. Объемы выборок - n₁ и n₂, выборочные средние равны Х₁ и Х2, а выборочные дисперсии - s₁² и s₂²соответственно. Требуется сравнить между собой генеральные средние.

Проверяемые гипотезы:

Н₀ - генеральные средние одинаковы;

Н₁ - генеральные средние различны.

Показано, что в случае справедливости гипотезы Н₀ величина t, вычисляемая по формуле:

распределена по закону Стьюдента с числом степеней свободы  ν = ν₁ + + ν2 - 2.

Здесь где ν₁ = n ₁ - 1 - число степеней свободы для первой выборки; ν ₂ = n ₂ - 1 - число степеней свободы для второй выборки.

Границы критической области  находят по таблицам t-распределения. Распределение Стьюдента симметрично относительно нуля, поэтому левая и правая границы критической области одинаковы по модулю и противоположны по знаку.

Применимость t-критерия Стьюдента

Критерий Стьюдента применим только к выборкам из нормальных совокупностей содинаковыми генеральными дисперсиями. Если хотя бы одно из условий нарушено, то применимость критерия сомнительна. Требование нормальности генеральной совокупности обычно игнорируют, ссылаясь на центральную предельную теорему.Действительно, разность выборочных средних, стоящая в числителе (3.10), может считаться нормально распределенной при ν > 30. Но вопрос о равенстве дисперсий проверке не подлежит, и ссылки на то, что критерий Фишера не обнаружил различий, принимать во внимание нельзя. Тем не менее t-критерий достаточно широко применяется для обнаружения различий в средних значениях генеральных совокупностей, хотя и без достаточных оснований.

 

Примеры

Пример 1

Достоверно ли различаются  сила приводящих мышц рук у школьников 10, 11 и 12 лет?