Наследие Г.Г. Канторовича

Авторегрессионные модели с распределенными лагами

До сих пор мы рассматривали только один случайный процесс X_t. Мы исследовали его на стационарность, строили модели процесса, прогнозировали будущие значения процесса. Однако при изучении экономических явлений наибольший интерес представляет взаимозависимость экономических величин. Текущее значение экономической величины будет зависеть не только от ее предыдущих значений, но и от текущего и предыдущих значений других экономических величин. Другими словами, среди регрессоров будут лаговые значения как объясняемой, так и объясняющих величин. Такие модели принято называть авторегрессионными моделями с распределенными лагами, по-английски - ADL (auturegres-sive distributed lag) models. Другое название таких моделей - ARMAX напоминает об их сходстве с моделями ARIMA. Регрессор X_t как бы заменяет собой белый шум в модели ARIMA. Для случая только одной объясняющей экономической величины общий вид моделей рассматриваемого типа:Y_t =6 + a_lY_t__l +a₂Y_t_₂ + ...+a_pY_t__p + Д, X_t + p X_t__x + P₂ X_t_₂ +... + b_qX_t__q +s_t, t = 1Д...Г^.

Случайное возмущение по-прежнему полагается белым шумом. Используя операторные полиномы, получим a (L)Y_t = 9 + b (L)X_t + s_t. В отличие от модели

ARIMA мы отказываемся от нормирующего условия fi₀ ° 1. Мы будем использовать обозначения ADL(p,q) и ARMAX(p,q), чтобы указать количество лагов независимой и зависимой переменных.

Тест Йохансена

    Основные из применяемых в настоящее время тестов наличия коинтеграции [24] основаны на связи количества коинтегрирующих векторов с рангом матрицы П в VAR-представлении многомерного временного ряда, а следовательно, с количеством нулевых собственных чисел этой матрицы. Мы рассмотрим лишь один из тестов, предложенный Йохансеном в серии работ [9, 11, 12]. Пожалуй, этот тест является наиболее популярным и входит в большинство специализированных компьютерных пакетов, в частности в Eviews.

    Первым шагом в реализации теста Йохансена является оценка модели VAR(p) для заданного k-мерного временного ряда

Y, = {m + tb} + aj, __х +... + A_pYt _ _р + e t^.

По сравнению с ранее рассматриваемой моделью в нее добавлены векторы линейного тренда и допускается ненулевое математическое ожидание для каждой из компонент. Фигурные скобки указывают, что модель может не содержать ни одного из этих слагаемых, может включать только вектор свободных членов, а может включать оба дополнительных слагаемых. Разумеется, обычные условия для остатков модели предполагаются выполненными: остатки гомоскедастичны и не коррелированны. Первоначально Йохансен требовал также нормальности остатков, но в 1995 г. ослабил это условие до требования, чтобы остатки не очень сильно отличались от Гауссова белого шума. Мы уже рассматривали тесты для проверки этих свойств.

Порядок модели p выбирают обычно с использованием информационных критериев Акаике и Шварца среди моделей, прошедших диагностику остатков. При переборе моделей включают/исключают также свободные член и линейный тренд. Возможно также проверить гипотезу о том, что порядок VAR-модели равен p, против альтернативной гипотезы, что ранг равен q < p. Для проверки используется тест отношений правдоподобия. Если вектор случайных возмущений является гауссовым белым шумом, то логарифм функции правдоподобия для T наблюдений и k-мерной переменной принимает следующий вид

T    I -    I

ln l = const + ln Q ^{-1 ,}

2    ^{1      1}

где Q - оценка ковариационной матрицы остатков VAR-модели. Отношение правдоподобий поэтому принимает вид:

^{LR = - 2(ln l_q - ln l_p) = T (ln I WW _q~'| - ln |WW _p ~'|).}

При справедливости нулевой гипотезы, т.е. если порядок модели равен p, эта статистика распределена асимптотически как хи-квадрат с числом степеней свободы равным k ² (p - q) .

    После оценки VAR-модели в тесте Йохансена рассчитывается оценка матрицы   П= I _- A_{1 -} A_{2 -} ... _- A_p ,  соответствующая ECM-представлению модели

Dy _t = {m + t/3] + -Пу _t-l + Bj Dy _t-1 + ... + B_p-1 Dy _{t- +1} + e_t. Нулевой гипотезой является то, что ранг матрицы П не превышает некоторого числа r < k. В качестве альтернативной гипотезы используется H₁ : rank П = k , или H₁ : rank П = r + 1. Статистика для проверки нулевой гипотезы против первой из приведенных альтернативных имеет вид _- T ^ l_n(1 _- X_t)  и называется trace statistic. Название

i = r + 1

связано с тем, что статистика пропорциональна сумме логарифмов собственных чисел матрицы (остальные (k - r) собственных чисел считаются нулевыми), т.е. следу матрицы. Для проверки против второй альтернативной гипотезы тестовая статистика принимает вид: - T ln(1 - 1_r+₁) и называется max statistic. Название связано с тем, что статистика пропорциональна логарифму максимального из собственных чисел матрицы, считающихся нулевыми. В приведенных выражениях

через 1_i обозначена оценка максимального правдоподобия i-го корня полученного

Йохансеном уравнения. При этом предполагается, что корни упорядочены в порядке убывания.

Слабая экзогенность (weak exogeneity) 

    Пусть мы рассматриваем регрессию некой величины y_t на несколько рег-рессоров. Обозначим через j вектор параметров совместной плотности величины y_t и регрессоров, через 6_Х  - вектор параметров, от которых зависит условная

плотность вероятности y_t при заданных регрессорах, а через в₂ - вектор параметров совместной плотности вероятности регрессоров.

    Наконец, пусть параметры, относительно которых мы хотим сделать статистические выводы, образуют множество, записанное в виде вектора a . Мы скажем, что набор регрессоров является слабо экзогенным для параметров a, если статистические выводы об этих параметрах, сделанные на основании условного распределения, эквивалентны выводам по совместному распределению y_t и рег-рессоров.

    Очевидно, что необходимым условием независимости статистических выводов от информации, содержащейся в условном распределении регрессоров, является возможность выразить a  в виде функции параметров в , т.е. a = a(6_x).

Кроме того, на компоненты векторов параметров 6_Х и в₂ не должны быть наложены совместные ограничения ни в виде равенств, ни в виде неравенств. Это означает, что область допустимых значений параметров в не зависит от того, какие значения принимают параметры из множества в₂ , и наоборот. Это свойство

по-английски выражается термином variation-free. По-русски можно использовать предложенный Э. Б. Ершовым термин «свободно-варьируемые».

Сильная экзогенность (strong exogeneity)

    В соответствии с переменная x_t называется строго экзогенной для параметра J3, если она слабо экзогенна для него, и объясняемая переменная y_t не является причиной по Грэнджеру для переменной x_{. Понятие причинности по

Грэнджеру (Granger causality) было введено в работе [6]. Этот термин сегодня расценивается как не очень удачный, прежде всего из-за дословного совпадения с причинно-следственными отношениями в обычном смысле, но он уже прочно укоренился в литературе. Лимер [12] предлагал более удачный термин «предшествование» (precedence), но в практике укоренилась именно причинность по Грэнджеру.

Основной посылкой Грэнджера было то, что будущее не может быть причиной настоящего или прошлого. Поэтому, если событие А произошло после события В, то А определенно не может быть причиной В. Но, как знает каждый, «после того не значит вследствие того». При анализе временных рядов часто хотелось бы знать, предшествует ряд x_t ряду y_t , или y_t предшествует x_t , или они «одновременны». Например, предшествует сжатие денежной массы падению производства в России 1990-х гг., или между ними нет соотношения предшествования (причинности по Грэнджеру).

Суперэкзогенность (super exogeneity)

    Говорят, что группа регрессоров является суперэкзогенной, если изменение их совместного распределения не меняет условного распределения объясняемой

переменной y_t. Это свойство связано с так называемой критикой Лукаса Она

заключается в следующем. Одна из целей эконометрического моделирования состоит в прогнозировании эффекта от изменений экзогенных переменных. Однако при изменении этих переменных экономические агенты видят, что происходят изменения, меняют свое поведение и, тем самым, меняют параметры экономической системы. Поэтому модель с постоянными параметрами, говорил Лукас, не адекватна реальным экономическим системам. Свойство суперэкзогенности выделяет модели экономических систем, к которым критика Лукаса не применима.

Многомерные процессы 

    До сих пор мы рассматривали модели, которые состоят только из одного соотношения, связывающего временные ряды. При этом мы выбирали одну из переменных в качестве эндогенной, а остальные переменные являлись экзогенными. Такое разделение не всегда является естественным, часто приходится рассматривать одновременно несколько соотношений, в которые одни и те же переменные входят и как эндогенные, и как экзогенные. Как видно из прошлой лекции, переменная не всегда может рассматриваться как экзогенная, и мы фактически должны рассматривать модель DGP, состоящую из нескольких уравнений. Это означает моделирование нескольких временных рядов одновременно, другими словами - моделирование многомерного случайного процесса.

Начнем с определений. Рассмотрим вектор  X_t = (x^], x²,..., x^k_t )^T , каждая

компонента которого является временным рядом. Верхним индексом будем обозначать номер компоненты, а нижним по-прежнему - момент времени. Распределение компонент характеризуется семейством совместных плотностей распределения вида: f_n(x¹],X¹*,...,x¹"),  n = 1,2,.... Условием стационарности в узком смысле

по-прежнему является независимость от сдвига во времени всего семейства совместных плотностей распределения. Только теперь кроме всевозможных комбинаций значений случайного процесса в различные моменты времени аргументами плотностей вероятности также являются всевозможные комбинации различных компонент в различные моменты времени. Например, для двухмерной плотности