Теоремы теории подобности

 За визначенням, диференціал  функції dy дорівнює похідної, помноженої диференціал незалежної змінної dx:

.

 Тут dx - довільна величина, яка у фізиці повинна лежати в межах

,

 тобто бути значно  більше відстаней між молекулами, для того, щоб можна було розглядати  тіло суцільним, як континуум,  і водночас настільки малим,  щоб до нього з достатнім  ступенем точності можна було  застосовувати формули диференціального, а не різницевого обчислення. Таким чином, у фізиці dx є хоча і дуже мала, але кінцева величина і, отже, повинна розглядатися, як різниця x_{2-x 1}. Тому

.

 Подібним же чином  dy = y_{2-y 1} і, отже, до нього можна застосувати 

.

 Взагалі кажучи, подібних  один одному явищ буває не  два, а значна кількість. Ми  будемо говорити, що вони складають  групу подібних явищ.

 Порівнюючи всі члени  групи з одним явищем, яке служить  зразком для них, помічаємо,  що при переході від одного, подібного зразка явища до  іншого, до третього і т.д. константи  подібності щоразу отримують  інше значення, зберігаючи в той  же час свою властивість - бути  постійними у всіх точках кожного  системи, подібної зразком. 

 Об'єднуючи перехід  від явища зразка до всіх  подібних йому, ми можемо розглядати  його вираз  як групове перетворення явища, маючи на увазі під константою послідовно її значення для всієї групи подібних зразком величин.

 Подоба явищ можна  виразити і іншим способом: не  константами подібності, а за  допомогою так званих інваріантів  подоби.

 Перейдемо від абсолютної  системи одиниць, загальною для  всіх явищ даного класу, до  відносної системі, придатною  лише для одного явища цього  класу. Для цього виберемо за  одиниці вимірювання величин  розглянутої системи значення  цих величин в яких-небудь точках  самої системи. Відзначимо їх  підрядковим індексом (0). Тоді всі  величини  та інші для першого явища отримають чисельні значення:

 і т.д. 

 Якщо у другому явищі  за одиниці вимірювання величин  вибрати їх значення в подібних  першій системі точках, то їх  значення у відносних одиницях  будуть 

 і.т.д.

 Очевидно, і т. д. будуть ті ж, що і в першій системі.

 Справді легко бачити, що 

  і. т. д.

 Переставляючи члени  пропорції, отримаємо 

.

 Те ж саме вийде  для будь-яких інших величин,  що характеризують такі явища. 

 Тому значки, які відзначають,  до якого з явищ відносяться  величини L, W і т. д., можна відкинути,  тому що при переході від  одного явища до іншого, йому  подібного, всі величини, виражені  у відносних одиницях виміру, залишаться чисельно колишніми. 

 Іншими словами, вони  є інваріантами подоби. Будемо  позначати це властивість їх  словами іnv. (Інваріант) або іdem (те ж саме).

 Отже, L = idem, W = idem або для загального випадку .

 Слід уміти добре  відрізнити поняття «константа  подібності» і «інваріант подоби». 

 Константа зберігає  постійне значення в усіх точках  системи, але вона робиться  інший, коли одна пара подібних  явищ замінюється іншою. 

 Інваріант подоби, навпаки,  різний для різних точок системи,  оскільки він зображує одну  з величин цієї системи, що  має різний чисельне значення  в різних точках системи, та  він не змінюється при переході  від одного явища до будь-якого  іншого, подібного йому. Інакше кажучи, він зберігає один і той  же значення в подібних точках  всієї групи подібних явищ.

 Надалі ми будемо  користуватися визначенням подібності  і через константи, і через  інваріанти в залежності від  того, яке визначення при розгляді  різних питань виявляється зручніше  в сенсі простоти викладу. 

 Повертаючись до визначення  подібності через константи подібності, відзначимо, що на перший погляд  вибір всіх констант подібності  може здаватися довільним. Насправді  це не так. Величини, що характеризують  різні явища, не є незалежними  один від одного. Часто між  ними існує певний зв'язок. Цей  зв'язок, звана законом природи,  у багатьох випадках може бути  виражена у математичній формі  у вигляді рівняння.

 Наявність такого рівняння, що робить одні величини залежними  від інших, накладає і на  константи подібності певні обмеження. 

 Знаходження залежності  між константами подоби, спричиненої  існуванням рівняння, що зв'язує  між собою характеризують явище  величини, становить зміст теореми  подібності, яка буде викладена  в наступному розділі. 

 Рівняння, що описують  різні явища природи, можна  розглядати, як мають різну ступінь  спільності.

 Найбільш загальні  рівняння, що виражають загальні  закони природи, такі, як загальні  закони механіки, закон збереження  енергії, можна назвати рівняннями, що охоплюють цілий клас явищ. Такі були рівняння, що представляють  другий закон Ньютона і перший  закон термодинаміки. Ці загальні  рівняння можуть отримувати різні  приватні види залежно від  того, до яких приватним видів  явищ даного класу вони будуть  додаватися. Так загальні рівняння  механіки приймають вид рівняння  Нав'є-Стокса в застосуванні до  течії рідини, вид рівняння коливань  пружного середовища і т. п.  Ці види явищ містять окремі  властивості однотипних явищ, що  відрізняються один від одного  тільки завданням різних умов  однозначності явищ. І, нарешті,  одиничні явища виділяються з сімейства чисельним завданням умов однозначності, які для кожного одиничного явища сімейства буквено однакові, але чисельно відмінні один від одного.

 Надалі властивість  рівнянь зв'язку, яке накладає  на них подобу явищ, буде викладатися  спершу для самих загальних  знаків природи і для них  будуть виводитися теореми подібності. Однак не менше значення буде  мати додаток загальної теорії  подібності до окремих випадків  і до одиничних явищ, тому що  тільки таким шляхом виявиться  можливим приховати найбільш  важливі сторони вчення про  подібність.

 

3. Теореми теорії подібності.

 Для забезпечення максимальної  ефективності (в широкому сенсі  слова) будь-яких експериментальних  досліджень ці дослідження необхідно  організувати так, щоб можна  було визначити критерії подібності  і представити отримані результати  критеріальної функціональної залежність.  Такий підхід дозволяє при обмеженому числі експериментів дати оцінку ходу процесу або поведінки системи при різноманітних сполученнях параметрів, їх характеризують, і, отже, отримати відповіді на ті додаткові питання, які зазвичай виникають вже після закінчення експериментально-дослідних і випробувальних робіт.

 Розглянуті положення,  однак, відносяться до випадку  завідомо подібних процесів, тобто  визначають необхідні умови існування  подібності. У зв'язку з цим  виникає природне запитання щодо  того, як розпізнати подобу або  спеціально забезпечити його  при побудові моделі, тобто питання  про умови, не тільки необхідних, але і достатніх для існування  подібності. Такі умови включають  в себе поряд з вимогою рівності  критеріїв подібності зіставлюваних  процесів також і певні додаткові  вимоги до умов однозначності  - вимоги подібності початкових  і граничних умов зіставляються  процесів (а при дотриманні геометричної  подоби - і подібності геометричних  характеристик відповідних просторових  областей).

 Викладені вище положення  щодо необхідних і достатніх  умов подібності зазвичай систематизуються  у вигляді першої, другої і  третьої теорем про подібність; перші дві теореми визначають  необхідні, третя - необхідні і  достатні умови подібності (Висловлюються  міркування, що тільки друга теорема  подібності може розглядатися  як теорема в тому сенсі,  в якому це поняття вживається  в математиці, а перша і третя  теореми є правилами виявлення  та забезпечення подоби. У даному  викладі зберігається найбільш  поширена термінологія - введене  ще І. Ньютоном назва першої  теореми і запропоноване М.  В. Кирпичовим і А. А. Гухманом назва третьої теореми).

Перша теорема подібності. В основній сучасному формулюванні, що враховує можливість існування різних видів подібності, перша теорема  має такий вигляд: явища, подібні  у тому чи іншому сенсі (повно, наближено, фізично, математично і т. д.), мають  певні поєднання параметрів, звані  критеріями подібності, чисельно однакові для подібних явищ. Перша теорема  подібності називається також теоремою Ньютона або Ньютона-Бертрана.

 Перша теорема подібності  стверджує, що для явищ (об'єктів,  процесів), подібних у тому чи  іншому сенсі, існують однакові  критерії подібності - ідентичні  за формою алгебраїчної запису  та рівні чисельно безрозмірні  степеневі комплекси (твори або  відносини) певних груп фізичних  факторів, які характеризують ці  явища . Формулюючи необхідні  умови існування подібності (однакові  критерії подібності у подібних  явищ), перша теорема, проте, не  вказує способи встановлення  подібності і способи його  реалізації при побудові моделей. 

Друга теорема подібності. В основній формулюванні ця теорема, частіше зустрічається під назвою π-теореми, має такий вигляд: кожне  повне рівняння фізичного процесу, записане в певній системі одиниць, може бути представлено функціональною залежністю між критеріями подібності, отриманими з беруть участь у процесі  параметрів.

 Ця теорема стверджує,  що повне рівняння фізичного  процесу, записане в певній  системі одиниць, може бути  представлено залежністю між  критеріями подібності, тобто залежністю, яка зв'язує безрозмірні величини, певним чином отримані з беруть участь у процесі параметрів. Так само як і перша, друга теорема подібності грунтується на передумові, що факт подібності між процесами відомий, і встановлює число критеріїв подібності і існування однозначної залежності між ними. При цьому вирази для критеріїв подібності можуть бути отримані, якщо відомий склад параметрів (факторів), які беруть участь у даному процесі, але невідомо його математичний опис. Теорема ця, однак, також як і перша, не вказує способів виявлення подібності між зіставляються процесами і способів реалізації подібності при побудові моделей.

 Друга теорема встановлює  можливість подання інтеграла  диференціального рівняння фізичного  процесу не як функції параметрів  процесу і системи, у якій  протікають ці процеси, а як  функція відповідним чином побудованих  деяких безрозмірних величин  - критеріїв подібності. Якщо вихідне  диференціальне рівняння проінтегрувати, то функціональні зв'язки між критеріями подібності будуть однозначно визначені у відповідності з тими припущеннями, які були прийняті при складанні та інтегрування даного рівняння. Якщо ж диференціальне рівняння було відсутнє або не інтегрувалося, то вид функціональних зв'язків між критеріями подібності не буде виявлено.

 Друга теорема грунтується на дослідженнях Букінгема, Федерман і Еренфест-Афанасьєвої. Можливість подання інтеграла як функції від критеріїв подібності, знайдених з диференціального рівняння, була строго доведена для окремого випадку Букінгемом. У більш загальному вигляді це положення як математична теорема було доведено Федерманом. Еренфест-Афанасьєв-ва призвела доказ в загальному вигляді, показавши умови, при яких інтеграл можна представити як функцію критеріїв подібності. Одночасно було показано, що зі співвідношень, що вказують на однорідність рівняння, що зв'язує фізичні величини (однакова розмірність всіх членів рівняння), і з можливості отримання безрозмірних співвідношень після ділення цього рівняння на будь-який з його членів випливає важливий висновок про існування певних співвідношень між розмірностями фізичних параметрів . Еренфест-Афанасьєвої було показано, що критерії подібності можна знайти за відсутності диференціального рівняння процесу на основі аналізу розмірностей фізичних величин, що беруть участь в цьому процесі. Ця можливість була сформульована і строго доведена у вигляді теореми, названої л-теоремою, оскільки згадані вище безрозмірні параметри (критерії подібності) позначалися буквою л.

Третя теорема подібності. У найбільш поширеному формулюванні третя теорема має такий вигляд: необхідними і достатніми умовами для створення подоби є пропорційність подібних параметрів, що входять в умови однозначності, і рівність критеріїв подібності зіставлюваних явищ. Третя теорема подібності іменується також зворотного теоремою подібності або теоремою Кирпичова-Гухман.

 Нагадаємо поняття  умов однозначності. Відомо, що  диференціальне рівняння в загальному  вигляді описує нескінченну безліч  процесів, що відносяться до даного  класу. Так, наприклад, диференціальне  рівняння u = iR + Ldi / dt описує зміна струму в часі в ланцюзі з активним опором R і індуктивністю L при включенні її на u = const. Умови, що визначають індивідуальні особливості процесу або явища і які виділяють із загального класу конкретний процес або явище, називаються умовами однозначності. До них належать такі, що не залежать від механізму самого явища, фактори й умови:

 · Геометричні властивості  системи, в якій протікає процес;

 · Фізичні параметри  середовища і тіл, що утворюють  систему; 

 · Початковий стан  системи (початкові умови);

 · Умови на кордонах  системи (граничні або крайові  умови);

 · Взаємодія об'єкта  і зовнішнього середовища.

 Очевидно, не можна  математично формулювати умови  однозначності в загальному вигляді.  У кожному конкретному випадку  вони можуть бути різні в  залежності від роду розв'язуваної  задачі і виду рівняння. Так,  для виділення певного процесу  із сукупності процесів, що описуються  наведеним рівнянням, досить знати  параметри u, R, L і початкові умови,  наприклад, i = i 0 при t = t 0. У більшості  завдань, пов'язаних з дослідженням  полів, однозначність процесів  визначається не тільки початковими  умовами, але і властивостями  середовища, геометричними властивостями  системи і граничними умовами.