Теоремы теории подобности

1. Історичні відомості про виникнення теорії подібності та виведення теорем

 Близько ста п'ятдесяти  років тому виникла нова галузь  наукового знання - вчення про  подібність явищ.

 Геніальне передбачення  цієї науки було висловлено  Ньютоном в 1686 р. Але тільки  в 1848 р. Член французької академії  наук Жозеф Бертран вперше  встановив основна властивість  подібних явищ, сформулювавши першу  теорему подібності, теорему про  існування інваріантів подоби.

 Подібними називаються  явища, що відбуваються в геометрично  подібних системах, якщо у них  у всіх подібних точках відносини  однойменних величин є постійні  числа. Ці відносини, так звані  константи подібності, не можуть  бути вибираної довільно, так  як величини, що характеризують  явище, взагалі кажучи, не незалежні  один від одного, а перебувають  у певному зв'язку, зумовленої  законами природи. У багатьох  випадках цей зв'язок може бути  виражена у вигляді рівняння. Для подібних між собою явищ  воно повинно мати однаковий  вигляд. Наявність такого «рівняння  зв'язку» між фізичними величинами, що характеризують явище, накладає  певне обмеження на вибір констант  подоби.

 Бертран вивів першу  теорему подібності для випадку  подібності механічних явищ.

 Виходячи з існування  математичного зв'язку між силою,  масою та прискоренням, встановлюється  другим законом Ньютона, Бертран  показав, що у подібних явищ  комплекс величин: «сила * довжина  / маса * швидкість в квадраті»  має одне і те ж значення  в подібних точках подібних  явищ. Цей комплекс називається  інваріантом, чи критерієм механічного  подоби. У природі існують тільки  ті подібні явища, у яких  критерії однакові.

 Якби фізичне рівняння  зв'язку можна було б перетворити  так, щоб воно було складено  з інваріантів подібності, то  це було б загальне рівняння, чисельно однакове для всіх  подібних явищ.

 Друга теорема подібності встановлює можливість такого перетворення фізичних рівнянь.

 Вона була виведена  російським ученим А. Федерманом в 1911 р. і декількома роками пізніше, в 1914 р., американським ученим Букінгемом.

 У 1925 р. Т.А. Афанасьєва-Еренфест вивела обидві теореми для випадку подібності будь-яких явищ природи і показала, що критеріальне рівняння містить, крім критеріїв-комплексів, складених із змінних величин, ще критерії крайових величин і симплекси - відносини однойменних величин (наприклад, відносини двох швидкостей, характеризують явище) . Тим самим вчення про властивості подібних явищ в основному було завершено.

 Негайно після виходу  першої теореми вона почала  знаходити практичне застосування  для обробки досвідчених данях  в критеріях подоби. Осборн Рейнольдс висловив закон руху рідини по трубах однією загальною формулою, через критерій подібності, названої згодом його ім'ям. Виявилося можливим об'єднати таким шляхом всі чисельні дані дослідів по гідравлічному опору, проведених різними дослідниками на воді, повітрі, парі, різних маслах і т.д. Фруда, вивчаючи морехідні якості судів на моделях, представив результати дослідів над ними у вигляді критеріального рівняння, яке можна було поширити на судна, подібні за своєю геометричній конфігурації випробуваним моделями. Наш видатний вчений Н.Є. Жуковський поклав теорію подібності в основу критеріальної обробки дослідів над моделями літаків, що продуваються в аеродинамічній трубі, для того, щоб результати дослідів можна було перевести на подібні моделям літаки.

 Друга теорема узаконила  цю практику.

 Критерії подібності  виводяться з рівняння зв'язку. Тому для отримання критеріального рівняння треба знати рівняння, що зв'язує між собою величини, що характеризують розглядається явище.

 Для більшості фізичних  явищ рівняння зв'язку знайдені  у формі диференціальних рівнянь,  проте отримати інтегральні рішення  їх вдається лише для окремих  приватних випадків. Тому критерії  подібності, як правило, виводяться  з диференціальних рівнянь зв'язку, і потрібно було ще підтвердити,  що критерії, виведені з проінтегрувати рівнянь, залишаються ті ж. Це було зроблено П. К. Конакова.

 Таким чином, виявилося  можливим результати досвідом  над явищами виражати в критеріях  подоби, отриманих з диференціальних  рівнянь, аналітичний розв'язок  яких не вдалося знайти.

 Для того щоб мати  право переносити дані дослідів, проведених на одному об'єкті, на інші, йому подібні, у висновках  теорії подібності не вистачало  ще одного важливого ланки. 

 Перша і друга теореми  були виведені на основі припущення, що йдеться про явища, подобу  яких заздалегідь відомо. Обидві  теореми встановлюють властивості  подібних явищ, але вони не  вказують способу для визначення  того, подібні чи два яких-небудь, порівнюваних між собою, явища.  Виникає питання, за якими ознаками  можна дізнатися, що явища подібні  один одному.

 Відповідь дається  третьою теоремою подібності.

 Третя теорема встановлює  умови, необхідні і достатні  для того, щоб явища виявилися  подібними один одному. Формулювання  її була дана М.В. Кирпичовим  і А.А. Гухманом, а доказ теореми - М. В. Кирпичовим в 1930 р.

 Одиничне явище виділяється  з групи явищ, що підкоряються  одному і тому ж рівнянню  зв'язку, приєднанням до нього  умов однозначності, або моновалентною. У подібних явищах що входять в умови однозначності величини, моноваленти, очевидно, повинні бути подібні. Далі, згідно з першою теоремі, реально існуючі подібні явища повинні мати однакові критерії, в тому числі і складені моновалентов.

 Третя теорема доводить, що два ці ознаки достатні  для того, щоб мати право вважати  явища подібними. 

 Зроблений історичний  відбір показує, що вчення про  подібність, що складається спочатку  у вивченні властивостей подібних  явищ, поступово зробилося вченням  про методи обробки фізичних  дослідів.  Експериментатор ставить  перед собою наступні питання:  які величини треба вимірювати  в досвіді, як слід обробляти  результати досвіду і на які  явища їх можна поширювати.

Теорія подібності дає  відповідь на всі три питання.

1) Виміряти треба всі  величини, які входять до складу  критеріїв подібності.

2) Обробляти результати  досвіду треба у вигляді залежності  між критеріями подібності для  того, щоб можна було поширити  їх на всі подібні явища. 

3) Подоба ж їх можна  дізнатися за подобою моновалентов та однаковості моновалентних критеріїв.

 Застосування теорії  подібності до експерименту розвивалося  у двох напрямках. 

 З одного боку, теорія  подібності проникла у фізику  і стала науковою основою фізичного  експерименту. З іншого боку, вона  знайшла застосування в техніці,  відкривши можливість вивчати  різні технічні пристрої на  моделях. 

 Між обома напрямками  не можна провести різкий кордон, так як експеримент у фізиці  часто ставиться над процесами,  що протікають в різних частинах  технічних пристроїв, моделі ж  можуть охоплювати також не  тільки цілі технічні об'єкти, а й окремі частини їх. Таким  чином, теорія подібності зробилася  науковою основою одночасно як  фізичного, так і технічного  експерименту.

 Здійснити всі умови  подібності, які накладаються третій  теоремою, часто буває дуже важко. 

 Тому розвитку моделювання  дуже сприяв розроблений в  СРСР метод не точного, а  наближеного моделювання, коли  дотримуються не всі умови  подібності і в моделі виходить  з достатньою для практики  точністю наближене подобу.

 Експериментальна перевірка  наближеного методу моделювання  проведена була в широких межах  М. А. Міхєєвим і рядом інших радянських учених.

 Іноді досліднику доводиться  зустрічатися з явищами, настільки  складними і невивченими, що  їх не вдається висловити за  допомогою математичних формул  і скласти рівняння зв'язку  між фізичними величинами. Для  випадків, коли виявляється можливим  встановити ті фізичні величини, які повинні були б увійти  в рівняння зв'язку, Ж. Бертран  у 1878 р. запропонував метод,  що дозволяє з міркувань про розміреності окремих членів фізичного рівняння відгадати вид критеріїв подібності і підібрати емпіричне рівняння зв'язку для них . Цей шлях менш надійний, і його слід застосовувати тільки при неможливості вивести рівняння зв'язку.

 Так як вчення про  розмірності лежать в основі  фізичних рівнянь, то з нього  ми й почнемо виклад учення  про подібність.

 

2. Математична та фізична подібність.

 Будь-яке явище природи  представляє собою систему матеріальних  тіл, яка зазнає певну зміну  стану, оскільки в ній відбуваються  різні процеси. 

 Явищами, подібними  один одному, називаються системи  тіл, геометрично подібні один  одному, в яких протікають процеси  однакової природи і в яких  однойменні величини, що характеризують  явища, відносяться між собою  як постійні числа. 

 Іншими словами, можна  визначити подобу явища так:  явище, подібне заданому, може  бути отриманий шляхом такого  його перетворення, коли розмір  кожної її величини змінюється  в певне число разів. 

 Таке перетворення  називається подібним перетворенням  явища. 

 Поняття подібного  перетворення спочатку виникло  в геометрії, де таким шляхом  виходять подібні фігури і  тіла, відношення будь-яких подібних  відрізків в них дорівнює одному  і тому ж постійному числу  з l, так що можна сказати,  що тіло, подібне початкового  отримано шляхом зображення його  в іншому геометричному масштабі.

Поняття «механічне подоба»  передусім включає в себе геометричне  подібність систем, потім - кінематичне  прикладу: мається на увазі, що в  будь-яких подібних точках систем швидкості  рухомих тіл паралельні і пропорційні  один одному, тобто що відносини  між їх швидкостями однаково у  всіх точках системи. Якщо система складається  з окремих дискретних частинок, то у подібних явищ маси теж відносяться  між собою як постійне число, а  якщо має місце протягом суцільного тіла, краплинної або газоподібному  рідини, то щільності і коефіцієнти в'язкості в усіх подібних точках подібних систем мають постійне ставлення.

 Далі поняття механічного  подібності включає в себе  динамічне подобу, тобто паралельність  і пропорційність сил в подібних  точках.

 Теплове подобу увазі  пропорційність один одному всіх  характеризуючих теплові явища величин: температур, теплових потоків, теплоємностей, коефіцієнтів теплопровідності і т.д.

 Позначаючи відношення  відстаней між геометрично подібними  точками, тобто подібних відрізків  довжин двох подібних систем, через с_l, швидкостей - з_w, мас - з_m, сил - з_f і т.д., можна дати математичне формулювання поняття подібності у вигляді такої системи рівностей:

 і т.д., де одним і двома  штрихами позначені перше і  друге подібні явища. 

 Коефіцієнти пропорційності  c_l, c_w і т.д., називаються константами подоби. Для кожного роду величин вони мають свою особливу чисельну величину; тому константи подібності мають відповідні підрядкові значки, що показують, до якого роду величинам вони відносяться.

 Узагальнюючи сказане,  можна подобу явищ визначити,  як пропорційність один одному  всіх величин, що характеризують  явище, причому коефіцієнт пропорційності  зберігає постійне значення в  усіх точках системи для певного  найменування величин, але є  різним для величин різного  найменування.

 У загальному вигляді  перехід від величин одного явища до величинам іншого, йому подібного, може бути виражений рівнянням

.

 Це перше основне  рівняння теорії подібності.

 Константи подоби зберігають  своє значення для будь-яких  випадків відносини подібних  величин. Наприклад, якщо  і - Подібні відрізки двох подібних систем, мають місце рівності:

,

 і, отже, відношення  величин  можна замінити відношенням будь-яких інших відрізків за умови, що заміна ця для будь-яких подібних явищ робиться однаковим чином. Це так зване правило заміщення одних величин іншими того ж найменування.

 Таку заміну можна  робити для всіх інших величин,  наприклад  і.т.д.

 У подальшому часто  буде зустрічатися диференціація  величин. 

 На них також можна  поширювати правило заміщення  величин. Це правило можна застосовувати,  коли розглянута середу передбачається  суцільним тілом, тобто коли  спостерігач має справу з такими  розмірами тіла, які в дуже  велике число разів перевершують  відстані між молекулами δ,  так що дискретне будова тіла  непомітно і може не братися  до уваги.