Распространение волн в прямоугольном металлическом волноводе

Теоретическая часть

 

Прямоугольный волновод представляет собой полую металлическую трубу  прямоугольного сечения (рис.1). Предположим, что стенки волновода обладают бесконечной  проводимостью, а заполняющая его  среда - идеальный диэлектрик с параметрами  ε и μ. В такой направляющей системе могут существовать волны Е и H и не могут существовать ТЕМ-волны. На рис. 1 показаны используемая система координат и размеры а и b поперечного сечения волновода. Для определенности будем считать, что а≥b, а источники, создающие поле, расположены со стороны отрицательных значений переменной z за пределами рассматриваемой части линии передачи (созданная ими волна распространяется в положительном направлении оси Z). При а>Ь стенки с поперечными размерами а и b будем называть соответственно широкой и узкой стенками прямоугольного волновода.

Так как поперечные составляющие векторов поля выражаются через продольные, то для вычисления поля волн Е и Н достаточно определить составляющую E_mz или Н_тz соответственно. Составляющие Е_тz и H_mz удовлетворяют уравнению Гельмгольца

(1)

Рис.1

 

                                        

 

где функция w равна E_mz для E-волн и Н_тz- для Н-волн, ^{, а} β - коэффициент фазы рассматриваемой волны. Правая часть уравнения (1) равна нулю, так как по предположению сторонние источники расположены за пределами рассматриваемой части волновода. Фактически задача состоит в нахождении так называемых собственных волн прямоугольного волновода.

Для решения уравнения (1) применим метод разделения переменных. Запишем функцию w в виде . Очевидно, что функция ^{также удовлетворяет уравнению (1). Представим ее в виде произве}дения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:

(2)

Перейдем в (1) к функции  ^{и подставим (2). После деления обеих частей уравнения на произведение} получаем

 

(3)

Так как переменные x и у являются независимыми, то левая часть уравнения (3) представляет собой сумму двух независимых функций, а правая равна постоянной. Это возможно только при выполнении соотношений d²X/dx² + γ_x²Χ = 0 и d²Y/dy² + γ_y²Y = 0, где γ_x и γ_y - некоторые, пока неизвестные постоянные, удовлетворяющие равенству

γx2+ γy2=

(4)

 

Решая полученные уравнения, находим

	(5)

 

 

где А, В, C и D - некоторые, пока также неизвестные, постоянные.

В случае Е-волн (_{) функция} w=E_mz. Составляющая E_тz является касательной ко всем стенкам волновода. Поэтому должны выполняться следующие краевые условия:

w0 (0, y) = 0,    w0 (x, 0) = 0,	(6)
w0 (а, у) = 0,    w0 (х, b) = 0,	(7)

 

где 0≤х≤а, 0≤у≤b. Равенства (6) эквивалентны условиям X(0) = 0 и Y(0) = 0 из которых следует, что B = 0 и D= 0. Из условий (7) вытекают равенства A sin (γ_x) = 0 и C sin (γ_y b) = 0. Постоянные А и С должны быть отличны от нуля, иначе E_тz ≡ 0, что в случае Ε-волн невозможно. Поэтому имеют место соотношения

sin (γxa) = 0    и   sin {γyb) = 0.

(8)

 

Из (8) находим значения постоянных γ_x и γ_y:

(9)

 

Отметим, что  в случае Ε-волн значения m = 0иn= 0 не годятся, так как при этом случае E_тz = 0 во всех точках внутри волновода.

Введем обозначение  A×C = E_0z и выпишем окончательные выражения для составляющих векторов поля Ε-волн в прямоугольном волноводе:

 

Emv (x,y,z)=E0v(x,y)exp(-iβz), v = x,y,z,	(10а)
Hmv(x,y,z) = H0v(x,y)exp(-iβz),  v = x,y,

 

 

где

E0z (x, у) = E0z sin (m π x/a) sin (n π y/b),	(10б)
E0х(х, у) = -i (β /) E0z (m π x/a) cos(m π x/a) sin(n π y/b),
E0y(x,y) = -i(β /) E0z (m π x/b) sin(m π x/a)cos(n π y/b),
H0х(х, у) = ί (ωε/) E0z (m π x/b) sin(m π x/a)cos(n π y/b),
H0y(х, у) = -ί (ωε/) E0z (m π x/a) cos(m π x/a) sin(n π y/b),
H0y(х, у) = 0.

 

 

Индекс m в формулах (10а) и (10б) имеет совершенно разный смысл. В (10а) он указывает, что рассматриваются комплексные амплитуды составляющих векторов поля, а в (10б) индекс т - натуральное число, определяющее значение постоянной γ_x1 как это следует из формулы (10.9).

Значение постоянной находится из формул (4) и (9):

(11)

 

Зная , определяем критическую длину волны:

(12)

                               

Коэффициент фазы β вычисляется по известной формуле.

Перейдем к анализу  свойств поля E-волн, описываемого выражениями (10), выведем формулы для поля H-волн в прямоугольном волноводе. Волны E и H имеют много общих черт, и их свойства удобно анализировать совместно.

В случае H-волн функция w=H_mz. Решение уравнения (1) строится так же, как для Ε-волн. Изменяются только краевые условия. Требуя, чтобы касательные составляющие вектора E на стенках волновода обращались в нуль, имеем

x=0x=a y=0y=b

(13)

 

Но искомой является функция w, поэтому выписанные краевые условия  следует преобразовать в условия  для функции w. Поперечные составляющие вектора Eт выражаются через Hmz. Из этого соотношения и краевых условий (13) после перехода к функции w⁰(x, у) получаем

x=0  y=0	(14)
x=a  y=b	(15)

 

Равенства (14) эквивалентны условиям и , из которых следует, что, , т.е. _{и   . Так как} и (в противном случае Hz ≡ 0), то из соотношений (15) вытекают уравнения (8). Следовательно,

γx=mπ/а, m = 0,1,2…   γx=nπ/b,   n = 0,1,2…

(16)

 

В отличие от (9) в случае H-волн индексы m и n могут принимать нулевые значения. Однако они не могут равняться нулю одновременно: при этом составляющая Hz  не зависит от переменных x и у и вектор E будет тождественно равен нулю, что невозможно. Выпишем окончательные выражения для комплексных амплитуд составляющих векторов поля Н- волн в прямоугольном волноводе:

Hmv (x,y,z)=H0v(x,y)exp(-iβz), v = x,y,z,	(17а)
Emv(x,y,z) = E0v(x,y)exp(-iβz),  v = x,y,

 

 

H0z(х, у) = H0z cos(m π x/a) cos(n π y/b),	(17б)
H0х(х, у) = i (β /) (m π /a) H0z sin(m π x/a) cos(n π y/b),
H0y(х, у) = i (β /) (n π /b) H0z cos(m π x/a) sin(n π y/b),
E0х(х, у) = ί (ωε/) (n π x/b) H0z cos(m π x/a) sin(n π y/b),
E0х(х, у) = -ί (ωε/) (m π x/a) H0z sin(m π x/a) cos(n π y/b),
E0z(х, у) = 0

 

 

Аналогично случаю Ε-волн в формулах (17а) индекс m указывает, что рассматриваются комплексные амплитуды составляющих векторов поля, а в формулах (17б) n связано с постоянной γ_x соотношением (16).

Составляющие векторов поля Η-волн найдены с точностью до произвольного постоянного множителя H₀z, определение которого в рамках выбранной электродинамической модели невозможно (см. аналогичное замечание, сделанное при анализе Е-волн).

Легко показать, что поперечное волновое число γ_x и критическая длина волны λκр в случае Η-волн также определяются формулами (11) и (12) соответственно.

Перейдем к анализу  свойств E- и Η-волн в прямоугольном волноводе. Как видно из формул (10) и (17), в прямоугольном волноводе возможно существование различных E- и Н-волн, структура поля которых зависит от значений индексов тип. Каждая пара значений индексов тип определяет свои волны, которые обозначают Еmn (в случае Ε-волн) или Нmn (в случае Н-волн). При этом у Ε-волн m ≥ 1 и n ≥ 1, а у Η-волн один из индексов может равняться нулю. Структура поля в поперечном сечении (при фиксированном значении координаты z) аналогична структуре стоячей волны, и ее можно характеризовать длинами волн и       в направлениях осей X и У соответственно. Индекс m, таким образом, равен числу полуволн (λ_x/2), укладывающихся на поперечном размере а стенки, параллельной оси X. Аналогично индекс n равен числу полуволн (λ_y/2), укладывающихся на поперечном размере b стенки, параллельной оси Y. Равенство нулю одного из индексов означает, что поле рассматриваемой волны не зависит от соответствующей координаты (при m = 0 - от координаты х, а при n = 0 - от координаты у).

Рис.2 Волна Е₁₁ в прямоугольном волноводе

 

 

 

Изменение всех составляющих комплексных амплитуд векторов E и  Η вдоль оси Ζ описывается  множителем . Распространение волны происходит только при (предполагается. что в волноводе отсутствуют потери энергии). Критическая длина волны вычисляется по формуле (12). Она зависит от размеров а и b и от индексов m и n. При увеличении значений индексов m и n и фиксированных размерах а и b значение λкр уменьшается. Наибольшую λκρ среди всех возможных волн при а > b имеет волна Н10. Соответствующая ей λκρ равна 2а. При         а = b наибольшую λкр имеют две волны Н10 и Н01. Волну, имеющую наибольшую λкр, называют основной волной рассматриваемой линии передачи (или волной низшего типа). Таким образом, при а>Ь основной волной прямоугольного волновода является волна Н10.

Рис.3 Основная волна прямоугольного волновода 

Ос

 

 

 

 

 

 

 

 

  Рис.4 Волна Е21

Ос

В рамках данного курсового  проекта мы будем рассматривать  волну E11. Отметим, что, зная структуру поля волны E11, легко построить структуру поля волны Еmn при любых значениях индексов m и n. Например, структура поля волны Ε21 представляет собой объединение структур двух волн Е11 (рис. 8). Для построения структуры волны Еmn нужно мысленно разделить волновод на mn "волноводных секций". Структура поля в каждой секции будет соответствовать структуре поля волны Е11 а линии векторов будут непрерывно переходить из одной "секции" в другую. Аналогично волну Н20 можно представить как бы состоящей из двух волн Н10.

Структура поля волны Н20 в поперечном сечении показана на рис.5.

При волна не распространяется: образуется стоячая волна, амплитуды составляющих векторов Ε и Η которой экспоненциально убывают вдоль оси Z (в этом случае и . Напомним, что анализ проводится в предположении отсутствия потерь.

  Рис 5 Волна H₂₀

Чтобы подробнее узнать свойств  волны в прямоугольном металлическом  волноводе, рассмотрим основную волну. Как уже отмечалось, при а > b основной волной прямоугольного волновода является волна Н10. Она имеет наибольшую критическую длину волны, равную 2а. На заданной частоте размеры поперечного сечения волновода, при которых возможна передача энергии по прямоугольному волноводу, для этой волны можно выбрать наименьшими. При этом волновод будет иметь наименьшие массу, габариты и стоимость.

Полагая в (17) m = 1 и n = 0 и учитывая формулы (16), получаем следующие выражения  для составляющих комплексных амплитуд векторов  Ε и Η в случае волны Н10.

 

 

 

 

 

 

где

(18)

 

 

Рис. 6

Структура поля волны Н10, построенная в соответствии с  формулами (18), показана на рис.3 и 6. Остановимся на картине распределения поля волны Н10 в плоскостях, параллельных широким стенкам волновода.

Согласно уравнениям Максвелла  замкнутые линии магнитного поля должны охватывать токи проводимости или токи смещения. В волноводе  замкнутые линии магнитного поля пронизываются токами смещения. В  случае волны Н10 (см. рис.12) линии  магнитного поля охватывают токи смещения, текущие между широкими стенками параллельно оси У. В распространяющейся волне максимальная плотность тока смещения получается в центре замкнутых магнитных силовых линий, где напряженность электрического поля равна нулю. Это следует из того, что вектор плотности тока смещения и, следовательно, сдвинут по фазе относительно вектора напряженности электрического поля на угол , т.е. расстояние между максимумом плотности тока смещения и максимумом напряженности электрического поля вдоль оси Ζ в фиксированный момент времени равно .