Оставаясь действительным, полином числителя 

 знак менять не будет. 

      У полинома знаменателя

      

действительная  часть 

при частоте  режекции = = 625 рад/с ( = =0.1 кГц) меняет свой знак. В зависимости от знака действительной части аргумент комплексной функции будет определяться по разным формулам: 

      

при 0≤ <625 рад/с ( >0);

      

при >625 рад/с ( <0).

      Таким образом, уравнение ФЧХ будет  выглядеть следующим образом:

      

при 0≤ <625 рад/с;

      

при >625 рад/с.

     Графики  амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик, построенная по этим данным, представлена на рис. 8 и 9. 

      

        

      По  полученным уравнениям можно построить  также диаграмму   АФЧХ (рис.10)

 
 
 
 

Частоту среза находим из соображения, что  в полосе пропускания  больше 0,707. Само это значение достигается по определению при частоте среза.

     Это уравнения выполняется при  =491.4 рад/с, то есть при     =78.2 Гц.

Крутизну  спада амплитудно-частотной характеристики посчитаем для частот 628.3 рад/с  и 942.478 рад/с по формуле

[дБ/дек]= .

     Получаем

 

Расчет  переходной характеристики фильтра 

      При анализе цепей наряду с частотными характеристиками рассчитывают и строят временные характеристики – переходную  или импульсную . Как и частотные характеристики,  каждая из временных характеристик в полной мере определяет динамические свойства цепи. Между собою переходная и импульсная характеристики связаны формулой обобщенной производной 

=  

( , – соответственно импульсная и ступенчатая единичные функции).

      Переходной  характеристикой цепи  называется отношение реакции (выходного сигнала) цепи при нулевых независимых начальных условиях на ступенчатое воздействие (ступенчатый входной сигнал) к величине этого воздействия. В частности, переходной передаточной характеристикой по напряжению четырехполюсника является временная функция: 

= , 

где – выходное напряжение четырехполюсника при нулевых независимых начальных значениях и входном напряжении = .

      Уравнение переходной характеристики можно получить операторным методом. Операторное  изображение ступенчатого входного напряжения = . Тогда операторное изображение выходного напряжения , определяемое с помощью операторной передаточной функции , будет = = . Отсюда получаем операторное изображение переходной характеристики: 

= = .

      По  формуле 

=  

найдем  операторное изображение переходной характеристики фильтра. Используя выражение для операторной передаточной функции из расчет частотных характеристик фильтра, запишем

 

      Определение оригинала переходной характеристики по данному изображению осуществим по теореме разложения. Для этого  вычислим корни уравнения

которые являются полюсами операторной функции  .  Она имеет три полюса (один нулевой и два комплексно-сопряженных):

      Воспользуемся формулой теоремы разложения для случая трех простых (некратных) полюсов, один из которых нулевой: 

= + + . 

      Проведя вычисления, получим искомое уравнение  переходной характеристики фильтра: 

 

     График  переходной  характеристики, построенный по этим данным, представлен на рис.11. 

       

Анализ  результатов 

     Анализируя  амплитудно-частотную характеристику , можно сделать вывод, что данная цепь является примером фильтра верхних частот.

     Проанализируем  амплитудно-частотную и фазо-частотную  характеристики при  .

     Учитывая  свойства элементов (при  входной ток постоянный и через C1, C2 ток не течет, следовательно мы можем заменить эти конденсаторы разрывом), схему преобразуем к виду:

     

     Рис.12

     Проанализируем  фильтр в области низких частот при  f, стремящейся к 0 .Из схемы видно, что при   _{В области низких частот}

     _{Ток в цепи не течет  из-за разрывов в местах нахождения конденсаторов. Откуда напряжения на узлах будут равны нулю.}

     То  есть независимо от того, каким будет  входной сигнал, на выходе будем  получать 0. Из-за того , что ток в  цепи не течёт получаем что сдвиг  по фазе при нулевой частоте равен нулю.

      Проанализируем  фильтр в области высоких частот при f, стремящейся к бесконечности При емкостные сопротивления стремятся к нулю. Поэтому для анализа цепи при высоких частотах следует, наоборот, закоротить емкостные элементы.

     

     Рис.13

     В области высоких частот, например, при f стремящемся к бесконечности =5. Это объясняется тем, что входной ток проходит с усилением 5 через R₁, R₂,R₃,R₄. Сопротивления емкостей |Z_С(0)| равны бесконечности и не пропускают сигнал. Коэффициенты передачи усилителей при рассчитанных параметрах равны 5. Потенциалы узлов 1,2,3 и 0 равны. Тогда , Исходя из того что , а ,то, получаем что . получаем, что прохождение сигнала через резисторы R1,R₂,R₃,R₄  даёт нам     = 5, получаем что U₆=5^. U₁,т.е отношение выходного к входному равно5.

     Проанализируем  первый каскад. Имеем конденсатор  равнозначный короткому замыканию, напряжение на котором отстает на от тока по фазе. С учетом того что практически весь ток течет через емкостный элемент, запишем: . Для второго каскада . То есть сдвиг фазы при бесконечно большой частоте равен - . 

     Переходной  процесс в фильтре  имеет колебательный  характер. В начальный момент времени  напряжение на обкладках конденсаторов  в цепи будет равно нулю, что  равнозначно короткому замыканию (рис. 13). При этом =Umax. Отношение выходного напряжения к входному равно 5.  Затем напряжение начинает возрастать и при конденсатор равнозначен разрыву цепи (рис. 12), при этом

Список  литературы

     1.Старцев  С.А. Расчет линейных активных RC-цепей. Методические указания. –  Казань: Казан. гос. энерг. ун-т, 2006. – 30 с.

     2. В.А Михайлов, Э И. Султанов. Расчет частотных и переходных характеристик линейных активных цепей: методическое пособие по курсовой работе.  Казань: Казан. гос. техн. ун-т. –  Казань, 2001. – 27 с.

     3.Михайлов  В.А. Основы теории цепей: Учебное  пособие по практическим занятиям /Под ред. Е.Ф. Базлова. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2005. – 110с.