Расчет линейной АRC-цепи

      Схема четырехполюсника содержит также два  идеальных ОУ (DA1, DA2). Воспользовавшись схемой замещения идеального ОУ (см. рис. 4) представим тот и другой ОУ в виде управляемых идеальных источников напряжения с операторными ЭДС , .

      

      Рис. 5 

      

      Рис. 6 

      К входу четырехполюсника подключим  идеальный источник тока, операторное  изображение тока которого обозначим  . Мгновенным значениям входного и выходного напряжений , будут отвечать их операторные изображения , .

      Осуществим  расчет методом узловых напряжений. Проведем топологический анализ схемы, в ходе которого выявим и пронумеруем узлы. Узел, помеченный знаком общей шины, обозначим как нулевой (узел 0) и примем его за базисный узел. Для операторных изображений узловых напряжений узлов 1–6 введем обозначения – . При этом отметим, что = , = .

      К узлам 4, 6 подсоединены выходы ОУ. Узловые  напряжения этих узлов являются зависимыми, так как определяются узловыми напряжениями на входах ОУ: 

= =k(U₃₀(p ) - U₄₀(p)) 

= = = . 

      При конечных значениях  , и имеем = , =0. Действительно, инвертирующий вход каждого идеального ОУ виртуально замкнут с его неинвертирующим входом, а напряжения на неинвертирующих входах ОУ в данной схеме, в свою очередь, равен нулю (эти входы соединены с общей шиной).

      Таким образом, узловые напряжения узлов, к которым подсоединены инвертирующие  входы ОУ известны. Неизвестными являются узловые напряжения , , , .Для нахождения этих четырех неизвестных составляем четыре уравнения по методу узловых напряжений. При этом исходные уравнения по первому закону Кирхгофа записываем для узлов 1, 2, 3, 5. Узловые напряжения этих узлов являются независимыми, а не определяются, как в случае узлов 4, 6, управляемыми источниками , .

      В матричной форме система узловых  уравнений примет вид 

      

 

      Из  этой системы линейных уравнений  по правилу Крамера могут быть определены операторные изображения  узловых напряжений входа и выхода четырехполюсника: 

= ; = ,

где – определитель матрицы узловых операторных проводимостей; 
 
 

 

 

      Операторная функция передачи рассматриваемого активного четырехполюсника будет равна 

= = = . 

      После вычисления определителей  , и подстановки полученных для них выражений получим в виде дробно-рациональной функции: 

 

где

 
 

Параметрический синтез фильтра 

      Из  дробно-рационального выражения  для передаточной функции    фильтра верхних частот второго порядка (см. табл. 1, форма 1) заключаем, что для него =0, а₀=0. Сравнивая между собой две употребляемые формы записи передаточной функции  фильтра верхних частот второго порядка (см. табл. 1, формы 1, 2), можем видеть, что = ; = = ; = .

      Таким образом, для определения параметров (параметрического синтеза) шести пассивных  элементов ( , , R₁–R₄) заданной цепи, удовлетворяющей заданным электрическим свойствам, имеем три уравнения. Недостающие уравнения получим, наложив следующие дополнительные условия. Исходя из сокращения номенклатуры номиналов элементов и в целях обеспечения относительно большого входного сопротивления  каскадов положим = = , = = =10 кОм.

      Воспользуемся выражениями для коэффициентов , дробно-рационального представления передаточной функции через параметры элементов схемы , , R₁–R₄. В результате подстановки получим 
 

      

 

      

 

      

 

      Отсюда  находим

      

      

 

        

      Параметры всех элементов фильтра определены. Их конкретные значения выбраны в соответствии с рядами номинальных значений сопротивлений резисторов и емкостей конденсаторов.

      Численные значения коэффициентов дробно-рационального  представления передаточной функции = рассчитанного фильтра верхних частот  равны:

      

 

      Нули  и полюсы фильтра определим из уравнений:

      

      

      Получаем, что фильтр имеет по два комплексно-сопряженных  нуля и полюса:

      

=0 рад/с;

      

= рад/с. 
 

     Полюсно–нулевая карта, построенная по этим данным, представлена на рис.7.

     

      Рис. 7. Полюсно-нулевая карта. 

Расчет  частотных характеристик  фильтра 

      При гармоническом воздействии (гармоническом входном сигнале) для линейной цепи в установившемся режиме вводятся понятия комплексных параметров. Передаточным комплексным параметром цепи называется отношение комплексной амплитуды отклика (выходного сигнала) к комплексной амплитуде воздействия (входного сигнала). Одним из таких параметров является рассматриваемый при проектировании комплексный коэффициент передачи по напряжению – отношение комплексной амплитуды выходного напряжения к комплексной амплитуде входного напряжения : 

= = = = . 

      Зависимость комплексного коэффициента передачи по напряжению от частоты носит название комплексной передаточной функции цепи по напряжению и обозначается . В общем случае функция принимает комплексные значения и может быть представлена в показательной форме: 

= . 

      Модуль  комплексной передаточной функции 

= =  

является  зависимостью от частоты коэффициента передачи по напряжению (отношения  амплитуд выходного и входного напряжений); зависимость называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) цепи.

      Аргумент  комплексной передаточной функции 

= = –  

представляет собой зависимость от частоты сдвига фаз между выходным и входным напряжениями; зависимость называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ) цепи.

      Уравнение комплексной передаточной функции  может быть получено из уравнения операторной передаточной функции при замене операторной переменной на мнимую частоту :

= . 

      В свою очередь, после выделения действительных , и мнимых , составляющих числителя и знаменателя дробного выражения комплексной передаточной функции 

= = , 

легко находятся уравнения АЧХ и  ФЧХ цепи: 

= = ; 

= = - ; 

= при ; 

= при , ; 

= при , ; 

= при ; 

= при , ; 

= при , . 

      При построении графиков частотных характеристик, когда частота изменяется в широких пределах (две декады и более), по оси абсцисс обычно откладывают не саму частоту (линейный, абсолютный масштаб), а ее десятичный логарифм (логарифмический масштаб), указывая при этом на оси значения самой частоты .

      Значения  коэффициента передачи по оси ординат могут быть отложены как в абсолютных единицах (линейный, абсолютный масштаб), так и в децибелах (логарифмический масштаб). Если логарифмический масштаб использован для обеих осей, то говорят, что график АЧХ построен в логарифмическом масштабе. При этом зависимость, отображаемую на графике, называют логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ). Если логарифмический масштаб применен только для оси частот, то говорят, что график АЧХ построен в полулогарифмическом масштабе.

      Фазовый угол по оси ординат всегда откладывают в радианах или градусах. Если при этом используется логарифмический масштаб по оси частот, то отображаемую зависимость называют логарифмической фазочастотной характеристикой (ЛФЧХ).

      Широкое распространение получил еще  один способ графического представления  частотных свойств цепей –  построение диаграммы амплитудно-фазовой характеристики (АФХ). Диаграмма АФХ представляет собой годограф (геометрическое место точек, траекторию) конца вектора на комплексной плоскости при изменении частоты от нуля до бесконечно большого значения. Для построения годографа находят частотные зависимости действительной и мнимой частей комплексной передаточной функции = + : 

= ; = . 

      На  комплексную плоскость  = + наносят точки, соответствующие этим зависимостям (частота задается с определенным шагом в пределах от 0 до ∞). Получаемая в результате кривая АФХ несет информацию одновременно об амплитудно- и фазочастотных свойствах цепи.

      Уравнения АЧХ и ФЧХ фильтра получим  из дробно-рационального выражения  его операторной функции передачи: 

      

      Положив = , получим выражение для комплексной передаточной функции: 

        

      

      Определив модуль этого комплексного выражения, найдем уравнение АЧХ фильтра: 

      

      Для нахождения уравнения ФЧХ нужно  найти аргумент функции  :

= = = - .