Основы помехоустойчивости передачи и обработки цифровой информации

В данной таблице символ 0 означает, что все координаты вектора нулевые; символ ≠ 0 показывает, что хотя бы одна координата вектора ненулевая. Для ситуации под номером 2 (однократная ошибка) место ошибки определяется путем нахождения такого разряда, который входит во все координаты синдрома, равные единице, и не входит в координаты синдрома, равные нулю. Каждая комбинация вектора синдрома однозначно определяет кратность и место ошибки

Расчетно-графическая часть

Исходные данные

M = 13 – количество рабочих комбинаций;

P = 10–3 – вероятность ошибки на символ;

Ртр.доп. = 10–6 – допустимое значение вероятности трансформации;

G – порождающая матрица;

3,7,5,6-строки матрицы P размерности (m x k), находящейся в составе порождающей матрицы G;

U = (5 mod 7) + 1 = 5 + 1 = 6: a1 = 0, a2 = 1, a3 = 1, a4 = 0. - вектор информационной части;

Кодер – параллельный;

Декодер – последовательный;

Определение длины информационной части

m=[log2M]=[log213]=4

Расчет параметров избыточного кода

Согласно алгоритму выбора параметров группового систематического кода, вычисляем параметры кода по верхней границе Хэмминга, а затем оцениваем значение вероятности трансформации для полученного кода.

s = 0, r = 0, dmin = 1 => (4,4,1)  Расчет производится по формуле (1) (стр. 3).

Pпр = (1 - P)4 = 0,996 ;  Pтр = 1- Pпр = 1-0,996 = 3,99.10-3

Pтр = 3,99·10–3 > Ртр.доп. = 10–6. 

s = 0, r = 1, dmin = 2 => (5,4,2) Расчет производится по формуле (2) (стр. 3).

Pпр = (1 - P)5 = 0,995; Pст = 5!/4! . P . (1 – P)4 = 0,00498; Pтр = 1 - Pпр – Pст = 2.10-5

Pтр = 2.10-5 > Ртр.доп. = 10–6.

s = 1, r = 1, dmin = 3 => (7,4,3) Расчет производится по формуле (1) (стр. 3).

Pпр =(1 - P)7 + 7!/6! .P .(1 - P)6= 0,99998; Pтр =1-0,99998 = 2,09·10–5

Pтр = 2,09·10–5 > Ртр.доп. = 10–6.

s = 1, r = 2, dmin = 4 => (8,4,4)  Расчет производится по формуле (2) (стр. 3).

Pпр =(1 - P)8 + 8!/7! .P .(1 - P)7 = 0,99997211; Pст = 8!/6! . P2 . (1 – P)6 = 0,000028;

Pтр = 1-0,99997211-0,000028 = 5,58·10–8 < Ртр.доп. = 10–6.

Расчет операторов кодирования

Зададим порождающую матрицу G для кода (7,4,3) для строк (3,7,5,6):

         1000011

G =   0100111

         0010101

0001110

Выпишем операторы кодирования (формула (6), стр. 4):

c1= a2 ⊕ a3 ⊕ a4

c2= a1 ⊕ a2 ⊕ a4

                                                 c3= a1 ⊕ a2 ⊕ a3

Построим дополнительный избыточный символ для кода (8,4,4) (формула (7), стр. 4):

c4= a1 ⊕ a2 ⊕ a3 ⊕ a4 ⊕ c1 ⊕ c2 ⊕ c3 = a1 ⊕ a3 ⊕ a4

Информационный вектор имеет вид U = (0110), тогда избыточные символы будут вычисляться следующим образом:

с1 = 1 ⊕ 1 ⊕ 0 = 0

с2 = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 = 1

с3 = 0 ⊕ 1 ⊕ 1 = 0

                                                с4 = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 = 1

Вектор группового систематического кода будет иметь вид:

V = (01100101).

Построение кодера группового систематического кода (8,4,4)

Рис. 2 Развернутая функциональная схема кодера с КМПС параллельного типа

Декодирование группового систематического кода

s1= c'1 ⊕ a'2 ⊕ a'3 ⊕ a'4

s2= c'2 ⊕ a`1 ⊕ a'2 ⊕ a'4

s3= c'3 ⊕ a'1 ⊕ a'2 ⊕ a'3

s4= a'1 ⊕ a'2 ⊕ a'3 ⊕ a'4 ⊕ c'1 ⊕ c'2 ⊕ c'3 ⊕ c'4

В рассматриваемом примере для кода (8,4,4) при исправлении однократной ошибки таблица соответствия значений синдрома и места ошибки − это табл. 2:

Таблица 2

Проиллюстрируем корректирующую способность кода (8,4,4) для выбранной кодовой комбинации V = (01100101).

e = 0 (нет ошибки):

V′ = (01100101),

s1= c'1 ⊕ a'2 ⊕ a'3 ⊕ a'4 = 0 ⊕ 1 ⊕ 1⊕ 0 = 0

s2= c'2 ⊕ a`1 ⊕ a'2 ⊕ a'4 = 1 ⊕ 0 ⊕ 1⊕ 0 = 0

s3= c'3 ⊕ a'1 ⊕ a'2 ⊕ a'3 = 0 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 1 = 0

s4= a'1 ⊕ a'2 ⊕ a'3 ⊕ a'4 ⊕ c'1 ⊕ c'2 ⊕ c'3 ⊕ c'4

s4= 0 ⊕ 1⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1= 0 => правильная передача.

e = 1 (однократная ошибка, например в разряде a1):

V′ = (11101100),

s1 =0 ⊕ 1 ⊕ 1⊕ 0 = 0,

s2 =1 ⊕ 1 ⊕ 1⊕ 0 = 1,

s3= 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 1,

s4 = 1 ⊕ 1⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1= 0 = 1 => исправление ошибки в разряде a1.

e = 2 (двукратная ошибка, например в разрядах a1 и a3):

V′ = (11001100),

s1 =0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 0 = 1,

s2 =1 ⊕ 1 ⊕ 1⊕ 0 = 1,

s3= 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 = 0,

s4 = 1 ⊕ 1⊕ 0⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1= 0 => стирание сообщения

e = 3 (трехкратная ошибка, например в разрядах a1, a2 и a3):

V′ = (10001100),

s1 =0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 = 0,

s2 =1 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 0 = 0,

s3= 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 0 = 1,

s4 = 1 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1 = 1 => трансформация сообщения.

Построение декодера группового систематического кода (8,4,4)

Рис. 3 Развернутая функциональная схема декодера ГСК (8, 4, 4)

с УВС последовательного типа

Список использованной литературы

1. Кон Е.Л. Передача данных в информационно-управляющих системах. Теоретические основы помехоустойчивой передачи и обработки цифровой информации: учеб. пособие / Е.Л. Кон Перм. гос. техн. ун-т. – Пермь, 2000. – 158 с.

1