Основы помехоустойчивости передачи и обработки цифровой информации

Волков А.В. ТКз-09

Министерство образования и науки РФ

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Кафедра «Автоматика и телемеханика»

          КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

«ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ», часть II

Выполнил:

студент гр. TKз – 09

Волков А.В.

Пермь, 2012

Оглавление

Техническое задание                                                                                                                            2

Краткое описание теории                                                                                                                     3

Расчетно-графическая часть                                                                                                               8

Список использованной литературы                                                                                               12

Техническое задание

Целью выполнения контрольной работы является закрепление теоретических знаний и получение практических навыков по проектированию систем передачи дискретной информации, использующей помехоустойчивое кодирование.

Постановка задачи

В процессе выполнения контрольной работы необходимо решить следующие задачи:

1. Спроектировать структурную схему тракта передачи дискретной информации, использующей в качестве средства повышения помехоустойчивости групповой систематический код (ГСК).

2. По заданному количеству дискретных сообщений определить длину информационной части неизбыточного кода m.

3. По верхней границе Хэмминга определить длину избыточного кода n, перейти к коду с четным dmin и рассчитать вероятности правильной передачи, трансформации и стирания сообщения.

4. Построить порождающую матрицу G (проверочную матрицу H) и определить операторы кодирования. Рассчитать операторы кодирования для заданного значения информационной части.

5. Построить функциональную схему кодирующего устройства ГСК (кодера ГСК).

6. Записать уравнение для вычисления синдромов. Составить таблицу синдромов, по которой определить кратность и место ошибки.

7. Произвести вычисление синдромов для заданной кодовой комбинации для следующих ситуаций:

• безошибочная передача,

• передача с однократной ошибкой,

• передача с двукратной ошибкой,

• передача с трехкратной ошибкой.

8. Построить функциональную схему декодирующего устройства ГСК (декодера ГСК).

9. Сделать выводы о проделанной работе.

Краткое описание теории

Одноканальная система передачи информации (СПИ) является основой самых сложных сетей передачи данных, телекоммуникационных сетей при реализации ими процесса помехоустойчивой передачи информации с использованием различных технологий. На рис. 1 показана структурная схема одноканальной СПИ.

Рис. 1

С выхода источника информации (ИИ) сообщение или отображающий его сигнал, который является, в общем случае, аналоговой функцией времени, поступает на вход кодирующего преобразователя или кодера источника (КИ), реализующего аналого-цифровое преобразование.

С выхода КИ избыточный m-значный кодовый сигнал поступает на вход кодера канала (КК), реализующего помехоустойчивое кодирование, т.е. КК ставит в соответствие m-значному информационному слову n-значное кодовое слово избыточного кода, добавляя, например, к m информационным символам k избыточных символов так, что n = m + k.

С выхода КК n-значное сообщение поступает на вход модулятора (М), реализующего процесс модуляции. На выходе М наблюдается линейный сигнал (Sл), спектр которого ограничивает канальный фильтр. На линейный сигнал воздействует помеха (ξ), поэтому на вход канального фильтра в составе приемника приходит сигнал S', искаженный помехой.

На входе демодулятора наблюдается непрерывный сигнал, т.е. сигнал, являющийся непрерывной функцией времени, но с дискретным (конечным) множеством значений параметра модуляции. На выходе демодулятора наблюдается цифровой сигнал, т.е. сигнал, являющийся дискретной функций времени с дискретным множеством значений амплитуд. С выхода демодулятора цифровая последовательность, содержащая в общем случае ошибки, поступает на вход канального декодера (КДК), реализующего тот или иной алгоритм декодирования избыточных кодов. С выхода КДК скорректированная информационная последовательность поступает на вход декодирующего преобразователя или декодера источника (ДКИ), который реализует операцию преобразования цифровой последовательности в квантованный отсчет и далее в аналоговый сигнал. Восстановленный аналоговый сигнал с задержкой, обусловленной всеми операциями преобразования информации, поступает на вход получателя информации

Декодирование с исправлением и обнаружением ошибок.

Для того чтобы избыточный код исправлял ошибки кратностью не более s и обнаруживал ошибки кратностью не более r (r > s), минимальное кодовое расстояние должно определиться по формуле:

dmin ≥ s + r + 1.

В таком случае говорят, что корректирующая способность кода направлена и на исправление, и на обнаружение ошибок соответствующей кратности.

Корректирующая способность кода должна способствовать удовлетворению требований по достоверности передачи. Поэтому рассчитываются вероятностные характеристики правильной передачи, трансформации сообщения и стирания сообщения (если вся или часть корректирующей способности кода направлена на обнаружение ошибок).

Для кода, исправляющего ошибки кратности не более s по формулам (1):

(1)                                                                                                                                                                                         (2)

По формулам (2) для кода, исправляющего ошибки кратности не более s и обнаруживающего ошибки кратностью не более r (r > s) .

Примечания.

1. Р – вероятность ошибки в одном символе.

2. Используется математическая модель биноминального распределения ошибок в канале связи.

Корректирующая способность кода должна обеспечивать вероятность трансформации сообщения не больше допустимой: Ртр <= Ртр.доп.

Построение групповых систематических кодов

Одним из наиболее популярных реализаций корректирующих кодов является групповой систематический код (ГСК). Он относится к систематическим вследствие того, что имеет явно выраженные информационные и избыточные части. ГСК представляется в форме (n,m,d), где

• n – общая длина кодового вектора,

• m – длина информационной части,

• d – минимальное кодовое расстояние.

Исходные данные для расчета параметров кода:

• m – длина информационной части,

• Р – вероятность ошибки в одном символе кода

• Ртр.доп. – допустимое значение вероятности трансформации.

Для расчета ГСК необходимо определить k – количество избыточных символов (длину избыточной части), а также убедиться, что вероятность трансформации сообщения при применении рассчитанного кода не больше допустимого значения.

Для определения параметров кода применятся формула (3) «Верхней границы Хемминга»:

(3)

После выбора параметров кода, удовлетворяющих требования по вероятности трансформации сообщения, необходимо определить операторы кодирования, при помощи которых вычисляются значения избыточных символов. Для этого строятся порождающая матрица G или проверочная матрица H. Матрицы строятся для кодов с нечетным dmin.

Порождающая матрица G имеет размерность [m x n] и в каноническом виде может быть определена следующим образом:

G = [Im P],   (4)

где Im – единичная матрица размерности [m x m], в которой по главной диагонали находятся 1, а остальные элементы 0, P – матрица размерности [m x k], состоящая из m k-разрядных ненулевых и несовпадающих друг с другом строк, вес которых не менее dmin–1

Допустим, что необходимо закодировать в групповом систематическом коде m-разрядный информационный вектор U = (a1, a2, …, am). Тогда n-разрядный вектор V ГСК, соответствующий данному информационному вектору, будет иметь следующий вид:

V = (a1, a2, …, am, c1, c2, …, ck)   (5)

Для ГСК выполняется проверочное условие:

G · HT = 0, следовательно, и V · HT = 0.

Указанные соотношения используются для вычисления избыточных символов.

V = U · G = (a1, a2, …, am, c1, c2, …, ck), следовательно,

(6)

Для перехода к коду с четным dmin (к коду, исправляющему ошибку кратности s и обнаруживающему ошибку кратности r = s + 1) используются следующие формулы перехода:

dmin чет= dmin нечет +1

kчет = kнечет + 1

nчет = nнечет + 1

m = const

К кодовой комбинации добавляется дополнительный избыточный символ, который вычисляется как сумма по модулю два всех элементов информационной и избыточной части:

(7)

Декодирование групповых систематических кодов

Для декодирования ГСК применяется принцип синдромного декодирования. Синдром группового кода (S) вычисляется декодером, как решение уравнения

(8)

где −искаженный вектор на входе декодера.

Таким образом

(9)

т.е. между k-разрядным синдромом и исправляемым вектором ошибки существует однозначная зависимость. Поэтому в правильно построенном коде, исправляющем ошибки, декодер по конкретному значению синдрома однозначно вычисляет величину и место ошибки. Для двоичного канала достаточно указать только место ошибки, а затем указанный разряд проинвертировать. Из уравнений следует выражение для вычисления значения j-го разряда синдрома:

(11)

Синдром может принимать 2k значений, включая нулевое. Тогда если код исправляет ошибки кратности s и меньше, то с учетом требования однозначного соответствия между множеством различных значений синдрома и множеством исправляемых ошибок

(12) справедливо следующее соотношение: (13) Таким образом, мы получим верхнюю границу Хемминга.

Синдромное декодирование состоит из следующих этапов:

1.       По принятому кодовому вектору_______находим синдром _________________________

2.       По вычисленному значению синдрома однозначно отыскиваем вектор ошибок__________

3.       Производим исправление ошибок и выдачу скорректированного кодового слова (сообщения) получателю:________________либо стирание полученного кодового слова, если кратность ошибок в кодовом слове s’ удовлетворяет соотношению s < s′ ≤ r, где r −кратность обнаруживаемых ошибок.

Общая структура синдрома кода (n + 1, m, dЧ = dH + 1) такова:_________________

При этом первые k-разрядов вычисляются по формуле, а последний (k+1)-й разряд (для кодов с четным dmin) – согласно общей проверке на четность:

(14)

При этом минимизация выражения данного выражения недопустима.

Декодирование вектора синдрома осуществляется по следующей таблице истинности

Таблица 1