Оптимизационные задачи в электроэнергетике

В окне Ограничения удалите строку $B$3:$E$3 >= В4:Е4.

С помощью кнопки Добавить поочередно введите три новых ограничения – В3 = 10; С3 = 5 и D3 = 6. Введя эти три ограничения;

Нажмите клавишу Выполнить. На экране появится окно.

 

 

Рисунок 11 - диалоговое окно с сообщением, что поиск не может найти подходящего решения.

 

Вы видите, что полученное решение  не является даже допустимым, т.к. левые части ограничений, т.е. потребное количество ресурсов, превышает имеющееся их количество - правые части.

Из рисунка видно, что  для заданного выпуска продукции  необходимо иметь всего следующее  количество ресурсов:

- трудовые - 21 единицу;

- сырьё - 109 единиц;

- финансы - 130 единиц.

При этом будет получена прибыль в 1670 единиц.

Если в реальных условиях нет  возможности увеличить ресурсы, нужно решать исходную задачу при  граничных условиях x_j ³ 0, и тогда будет получено решение, которое определяется имеющимися ресурсами.

Как уже указывалось, программа  не может найти подходящее решение  и тогда, когда не заданы ограничения  целевой функции. В этом случае на экране появляется следующее диалоговое окно (Рисунок 12).

 

 

Рисунок 12 - Значения целевой ячейки не сходятся.

 

«Значения целевой ячейки не сходятся»  в том случае, когда область  допустимых решений  не имеет ограничения, препятствующего бесконечному возрастанию (убыванию) целевой функции.

Для преодоления этой неограниченности необходимо следить, чтобы при максимизации целевой функции область допустимых решений была ограничена сверху, а при минимизации – снизу.

Анализ полученного оптимального решения

Итак, получен результат: определены значения объёмов производства для каждого вида продукции и соответствующее значение целевой функции, выражающее получаемую при этом прибыль.

Очень часто получения  оптимального решения задачи оказывается  недостаточно. Во многих случаях пользователю желательно исследовать полученное решение, чтобы ответить на целый ряд вопросов, возникающих при анализе результатов. Так, например, его может интересовать, насколько чувствительным является полученное оптимальное решение к изменению различных параметров исходной модели. Этому в известной мере могут помочь предлагаемые пользователю в окне Результаты поиска решения отчёты, составленные на основе полученного решения. Таких отчетов три типа: Результаты, Устойчивость и Пределы (см. Рисунок 10).

Если  в окне Результаты поиска решения выбрать первый тип отчёта - Результаты и нажать ОК, то на экране появится Отчет по результатам решения задачи, включающий в себя три таблицы (рисунок 13 и рисунок 14).

Одновременно, внизу окна рабочей книги, где находятся  ярлычки рабочих листов (Лист 1, Лист 2 и т.д.) появится ярлычок этого отчёта.

 

 

Рисунок 13,14 - Первые две таблицы отчёта по результатам.

 

В первой таблице (Рисунок 13) приведено исходное (до начала вычислений) и окончательное (оптимальное) значение ячейки, в которой записана целевая функция задачи.

Во второй таблице (Рисунок 14) представлены значения искомых оптимизируемых переменных, исходные и полученные в результате решения задачи.

Последняя таблица (Рисунок 15) содержит результаты оптимального решения для ограничений и граничных условий.

 

 

Рисунок 15 - Третья таблица отчёта по результатам.

 

В графе Значение приведены  рассчитанные оптимальные значения потребных ресурсов и оптимизируемых переменных.

В графе Формула приведены  зависимости, которые были введены  в диалоговое окно Поиск решения.

Графа Статус определяет связанными или несвязанными  являются те или иные ограничения. Под «связанными» здесь понимаются ограничения, которые реализуются в оптимальном решении в виде жестких равенств. Так ресурсы Трудовые и Финансы в оптимальном решении используется до конца (без остатка) и поэтому является связанными, т.е. дефицитным. Последняя графа Разница определяет неиспользуемый остаток несвязанного ресурса, т.е. разность между потребным количеством ресурсов и их наличием (110-84=26 для ресурса Сырьё).

Для ограничений по объёму выпуска в этой графе указывается разность между значением выпуска данного вида продукции в полученным оптимальным решении и граничными условиями Так, как в нашем примере для всех видов продукции указана только нижняя граница равная 0, то в этой графе также приведены найденные оптимальные значения.

Хотя отчет по результатам  не дает пользователю какой-либо дополнительной информации, которую он не мог бы получить из оптимального решения (см. Рисунок 10), удобный формат отчёта позволяет быстро и легко оценить полученный результат.

Второй тип отчёта - Отчет по устойчивости – создается  так же, как и предыдущий. Для  данной задачи этот отчет, состоящий  из двух таблиц, приведен на рисунок 16.

 

 

Рисунок 16 - Отчет по устойчивости.

 

Отчет содержит информацию об изменяемых (оптимизируемых) переменных и ограничениях нашей модели. Он позволяет оценить, насколько чувствительным является полученное оптимальное решение к возможным изменениям параметров модели.

Первая часть отчета содержит информацию об изменяемых ячейках, содержащих значения объемов производства продукции. В графе "Результирующее значение" указываются найденные оптимальные значения оптимизируемых переменных.

В графе "Нормированная  стоимость" (в некоторых версиях Excel эта графа называется "Редуцированная стоимость") приведены дополнительные двойственные переменные v_j для каждого вида продукции. Величина этого показателя определяется как разность между единичной прибылью от производства единицы продукции данного вида и оценкой снижения общей прибыли за счет отвлечения ресурсов для производства данного вида продукции, взятой по теневым ценам этих ресурсов. Так, значения редуцированной стоимости для каждого вида продукции определяются следующим образом:

 

Таблица 2.

Вид Продукции	Целев. коэфф.	Теневая цена труд. рес.	Норма расхода труд.рес.	Теневая цена сырья	Норма расхода сырья	Теневая цена финанс.	Норма расхода финанс.	Нормир. стоимость
Прод.1	60 -	( 20 *	1 +	0 *	6 +	10 *	4 ) =	0
Прод.2	70 -	( 20 *	1 +	0 *	5 +	10 *	6 ) =	-10
Прод.3	120 -	( 20 *	1 +	0 *	4 +	10 *	10 ) =	0
Прод.4	130 -	( 20 *	1 +	0 *	3 +	10 *	13 ) =	-20

 

Если основные переменные вошли в оптимальное решение (в  нашем примере х₁=10 и х₃=6), то их нормированная стоимость - дополнительные двойственные переменные v₁ и v₃ равны нулю. Если основные переменные не вошли в оптимальное решение, т.е. равны нулю (в примере х₂=0 и х₄=0), то соответствующие им дополнительные переменные v₂=-10 и v₄=-20 показывают, насколько уменьшится целевая функция при принудительном выпуске единицы данной продукции. Следовательно, если мы захотим принудительно выпустить единицу продукции Прод2, то целевая функция уменьшится на 10 единиц и будет равна 1320-10 1= 1310.

В следующей графе приведены  коэффициенты целевой функции c_j. Напомним, что c_j– прибыль, получаемая в результате реализации единицы продукции j–го типа.

В последних двух графах первой таблицы даны Допустимое увеличение maxrс_j и Допустимое уменьшение minrс_j коэффициентов c_j целевой функции, при которых сохраняется структура оптимального плана, т.е. будет выгодно выпускать данную продукцию.

Так, для нашего случая для продукции  П1 коэффициент оптимизируемой переменной с₁=60, может быть увеличен на величину maxrс₁=40 единиц (до значения, равного 60+40=100) или уменьшен на величину minrс₁=12 единиц (до значения 60-12=48) без изменения найденного решения (при сохранении без изменений всех остальных переменных). Таким образом, при изменении с₁ в пределах 48£с₁£100 будет по-прежнему выгодно выпускать продукцию П1. При этом значение целевой функции будет F = 1320 + 10* rс₁

Аналогично определяются диапазоны  возможного изменения коэффициентов целевой функции при остальных переменных.

Вторая часть отчета по устойчивости содержит информацию по ограничениям, накладываемым на оптимизируемые переменные. Первый столбец содержит данные о потребностях в ресурсах для оптимального решения. Во втором столбце указаны значения теневых цен на используемые виды ресурсов. В третьем столбце мы видим имеющиеся ограничения на объем используемых ресурсов. Последние две колонки содержат данные о возможном увеличении или уменьшении объемов имеющихся ресурсов.

Как видно из отчета по результатам (Рисунок 15), часть ограничений оказываются связанными. Для ограничений по ресурсам это происходит в том случае, если имеющийся объем ресурсов в процессе реализации оптимального решения используется полностью.

Для ограничений по оптимизируемым переменным это соответствует точному  равенству оптимального объема выпуска  значению верхней или нижней границы. Связанность ограничений заставляет нас отказаться от дальнейших поисков улучшений целевой функции. Однако на практике ограничения часто удается преодолевать. Поэтому после решения модели в некоторых случаях пользователю хотелось бы определить, как улучшится или ухудшится целевая функция в случае, если определенным образом удастся ослабить, то или иное ограничение.

Так, например, нужно определить, как  увеличится прибыль, если бы имеющиеся  объемы ресурсов могли быть увеличены. Столбец "Теневая цена" второй части отчета по устойчивости (Рисунок 16) содержит данные для ответа на этот вопрос.

Теневая цена ограничения  выражает размер изменения целевой  функции при увеличении имеющегося объема ресурсов данного вида на единицу (при условии, что все остальные переменные модели не изменятся).

Теневая цена связанных ресурсов положительна (в данном примере это трудовые и финансовые ресурсы) и единичное  увеличение соответствующего объема ресурсов приведет к увеличению значения целевой функции -.

Так, например, из отчета по устойчивости (Рисунок 16) видно, что теневая цена трудового ресурса составляет 20 единиц. Следовательно, если увеличить имеющееся количество данного ресурса на некоторую величину, находящуюся в пределах от 0 и до 3.55 (допустимое увеличение), оптимальное значение целевой функции увеличится на 20 за каждую единицу увеличения имеющегося объема этого ресурса. Если же уменьшить имеющееся количество этого ресурса на некоторую величину, находящуюся в пределах от 0 до 6 (допустимое уменьшение), оптимальное значение целевой функции уменьшится на 20 за каждую единицу уменьшения имеющегося объема ресурса.

Допустим, что мы решили увеличить имеющийся объем ресурса на 3 единицы (16+3=19). Поскольку это увеличение находится в разрешенных пределах (допустимое увеличение составляет 3.55 единицу), мы вправе ожидать увеличения оптимального значения целевой функции на 20*3=60 единиц. Новое оптимальное значение целевой функции составит 1320+60=1380 (Рисунок 17).

 

 

Рисунок 17 - Оптимальное решение при увеличении трудовых ресурсов

на 3 единицы.

 

Теперь рассмотрим теневые  цены на несвязанные ограничения, по которым ресурсы в оптимальном решении используются не полностью (недефицитные ресурсы). В нашем примере таким ресурсом является сырьё. Этот ресурс имеет теневую цену, равную 0, отсюда следует, что при увеличении имеющегося объема ресурса оптимальное значение целевой функции не изменится. Это и не удивительно, поскольку оптимальное решение оставляет 26 единицы этого ресурса неиспользованными. Однако, есть возможность сократить имеющийся объем этого ресурса на эту величину, не оказывая влияния на оптимальное решение.

 

 

Рисунок 18 - Оптимальное решение при уменьшении сырьевых ресурсов на 26 единицы.

 

Как мы видим на рисунке 18, повторное решение задачи с новым значением ограничения по сырьевому ресурсу  не только изменило оптимальное значение целевой функции, оно также определило новые значения оптимизируемых переменных, поскольку коррекция одного из ограничений изменила область существования решения.

Итак, в предыдущем примере, увеличив объем ресурса  на 3 единицы, мы увеличили  прибыль на 60 единиц. При этом правомерен вопрос: "Сколько мы можем платить  за такое увеличение объема ресурса?" Ответ прост: "За каждую дополнительную единицу связанного (дефицитного) вида ресурсов мы можем платить надбавку, максимальная величина которой равна теневой цене 60/3=20". Даже заплатив такую максимальную надбавку (реально она должна быть меньше), мы получим ту же прибыль, что была до увеличения объема ресурсов.