= ,                                  (3.3')

 Аналитический сигнал зависит от действительного  аргумента, является однозначным и дифференцируемым. На комплексной плоскости он отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются от аргумента, а проекция сигнала на вещественную ось для любого значения аргумента равна значению исходного сигнала s(t). Какой-либо новой информации аналитический сигнал не несет, так как получен линейным преобразованием из исходного сигнала и представляет собой его новую математическую модель.

      Почему  именно оператор Гильберта применяется  для получения квадратурного  дополнения сигнала? Какую физическую операцию он выполняет? Ответ на этот вопрос может быть получен при рассмотрении спектра аналитического сигнала.

      Спектральная  плотность аналитического сигнала, если он сформирован непосредственно  во временной области, определяется обычным преобразованием Фурье:

Z_s(ω) =

z_s(t) exp(-jωt) dt.

      Эта функция, с учетом определения аналитического сигнала по выражению (3.2), должна быть отлична от нуля только в области положительных частот, где ее значения (в силу нормировки на π, а не на 2π) должны быть равны удвоенным значениям спектральной плотности сигнала s(t):

Z_s(ω) =

                (3.5)

      С другой стороны, при непосредственном преобразовании Фурье левой и  правой части формулы (3.4) аналитического сигнала z_s(t), получаем:

Z_s(ω) = S(ω) + j

.                           (3.6)

      Данное  выражение действительно для  всей частотной оси (от -¥ до +¥) и должно быть равно выражению (3.5). А это означает, что левая часть спектра (отрицательные частоты ω) сигнала (3.6) должна быть обращена в ноль, аналогично формированию каузальной функции из ее четной и нечетной части. Это может быть выполнено следующим образом.

Рис. 3.3.

      Если  левые части спектра сигнала S(ω) умножить на -1, обнулить реальную часть на частоте ω =0 и оставить без изменения правые части спектра, то будут получены функции, показанные пунктиром на рис. 3.3, которые дают нули в левой части спектра при сложении с исходной функцией S(ω) и увеличивают в 2 раза правые части спектра. Такая операция может быть выполнена умножением спектра S(ω)  на сигнатурную функцию sgn(ω):

sgn(ω) =                              (3.7)

      Однако  при этом реальная часть новой  функции sgn(ω)·S(ω), как это можно видеть на рис. 3.3, становится нечетной, а мнимая часть четной, что не соответствует статусу спектральных функций. Для восстановления статуса полученный результат нужно дополнительно умножить на –j. Применяя для левой и правой части частотных аргументов индексирование соответственно ω_l и ω_r, можно записать подробные выражения для спектров:

S(ω) = Re S(ω _l) + j·Im(ω_l) + Re S(ω _r) + j·Im(ω _r),

= j·Re S(ω _l) - Im(ω _l) - j·Re S(ω _r) + Im(ω _r).

      При умножении квадратурной функции  на j (для выражения в (3.6)):

j·

= -Re S(ω _l) - j·Im(ω _l) + Re S(ω _r) + j·Im(ω _r).

      Отсюда  нетрудно видеть результат:

Z_s(ω) = S(ω) + j

= = 2·Re S(ω _r) + j·2·Im(ω _r) = 2·S(ω _r),

что полностью  соответствует выражению (3.5). В краткой форме:

=     = -j×sgn(ω)×S(ω),                    (3.8)

Hb(ω) = -j×sgn(ω) =                         (3.9)

     Таким образом, спектральная плотность  аналитически сопряженного сигнала образуется из спектра S(ω) исходного сигнала s(t) умножением на функцию -j×sgn(ω). Это обеспечивает при суммировании S(ω) + j удвоение амплитуд частотных составляющих в области положительных частот и их взаимную компенсацию в области отрицательных частот.

     

Рис. 3.4.

     Из  выражения (3.8) в спектральной области непосредственно следует соответствующая связь функций s(t) и во временной области:

= s(t) _* hb(t),                                (3.10)

s(t) = - _* hb(t).                              (3.11)

где hb(t) = TF[-j×sgn(ω)] = 1/(πt) – обратное преобразование Фурье функции -j×sgn(ω).

          Пример преобразования сигнала x(t) оператором Гильберта для формирования аналитического сигнала z_x(t) = x(t) + j· приведен на рис. 3.4.

     Частотную характеристику оператора Гильберта (3.9) можно записать и в следующем виде:

Hb(ω) = |Hb(ω)|×exp(jφ_h(ω)),  где |Hb(ω)| = 1.

Hb(ω) = -j×sgn(ω) = ,                      (3.12) 

      Если  спектр функции x(t) также представить в форме

S(ω) = |S(ω)|×exp(jφ_s(ω)),

то выражение (3.8) преобразуется к следующей форме:

= |S(ω)|×exp(jφ_s(ω))×exp(jφ_h(ω)) = |S(ω)|×exp[j(φ_s(ω)+φ_h(ω))],           (3.8')

т.е. модуль |S(ω)| - амплитудный спектр сигнала как результат преобразования Гильберта сигнала s(t), не изменяется и остается равным амплитудному спектру сигнала s(t). Фазовый спектр сигнала (начальные фазовые углы всех гармонических составляющих сигнала) сдвигается на -90^о при ω > 0 и на 90^о при ω < 0 относительно фазового спектра сигнала s(t). Но такой фазовый сдвиг означает не что иное, как превращение косинусных гармоник в синусные, а синусных в косинусные. Это можно наглядно видеть на единичной гармонике. Так, если x(t) = cos(2πf_ot), то имеем следующее преобразование Гильберта через частотную область:

(t) = TH[x(t)] Û TF[TH[x(t)]] = -j sgn(f)×[δ(f+f_o)+δ(f-f_o)]/2.

(f) = -j×[-δ(f+f_o)+δ(f-f_o)]/2 = j·[δ(f+f_o)-δ(f-f_o)]/2.

      Но  последнее уравнение - спектр синусоиды. При обратном преобразовании Фурье:

Рис 3.5 

ириРис. 16.1.5.

(t) = TF^-1[ (f)] = sin(2πf_ot).

      При x(t) = sin(2πf₀t) аналогичная операция дает (t) = -cos(2πf_ot). Знак минус демонстрирует отставание (запаздывание) выходного сигнала преобразования, как операции свертки, от входного сигнала. Для гармонических сигналов любой частоты с любой начальной фазой это запаздывание составляет четверть периода колебаний. На рис. 3.5 этот сдвиг на четверть периода для единичной гармонической составляющей (несущей частоты радиоимпульса) виден достаточно наглядно.

     Таким образом, аналитический сигнал, по существу, представляет собой сумму двух ортогональных сигналов, все гармонические составляющие которых сдвинуты по фазе на 90⁰ друг относительно друга.

4.Применение огибающей.

    1. Известно, что значительная часть информации, содержащейся в сигнале, одновременно отражена в его огибающей, и в косинусе фазы, то есть дублируется (рис. 4.1), а часть информации о сигнале отражена либо только в его огибающей, либо только в фазе. Информация о значениях модулирующих частот сигнала в высокой степени дублируется (модулирующие частоты природных амплитудной и частотной модуляций в значительной мере совпадают). Информация о значении несущей частоты сигнала и о ее относительно медленном изменении при переходе от одного сигнала к другому содержится только в косинусе фазы (мгновенной частоте).

Рис.4.1. Спектры речевого сигнала, его огибающей и косинуса фазы для звука «А» 

    По  результатам экспериментальных  исследований спектральных и информационных свойств огибающей и косинуса делаются выводы о значении этих функций в передаче информации. Если рассматривать речевой сигнал, то косинус фазы играет бóльшую роль в передаче информации о согласных фонемах, а огибающая – о гласных фонемах русского языка. Огибающая речевого сигнала больше отвечает за качество передачи речи. Косинус фазы речевого сигнала в большей мере определяет передачу семантической информации. Делается вывод, что для сжатия спектра РС на основе модуляционной теории сигналов, необходимо передавать огибающую и косинус фазы сигнала и сжимать спектры как огибающей, так и косинуса фазы.

    2. Также  огибающая важна для диагностики механических узлов оборудования. Механизм формирования колебательных сил во многих узлах вращающегося оборудования является нелинейным, поэтому силы достаточно часто, особенно при наличии в узлах дефектов, представляют собой аддитивно-мультипликативную смесь стационарных компонент, каждая из которых может содержать как периодические, так и стационарные случайные составляющие. В качестве примера можно привести колебательные силы в нагруженных подшипниках качения, электромагнитные силы в электрических машинах и многие другие. Формирование огибающей сигнала во времени является наиболее эффективным способом выделения модулирующей компоненты в тех случаях, когда спектральный состав модулирующей и несущей компонент различен и не пересекается в частотной области, т.е. частотная область несущей много выше частотной области модулирующей компоненты.

  3.Немаловажную роль огибающая сигнала так же играет в медицине. Сравнение эффективности различных диагностических методов показывает, что наиболее полезная информация о функционировании внутренних органов и физиологических систем организма содержится в биоэлектрических сигналах, снимаемых с различных участков под кожным покровом или с поверхности тела. Прежде всего это относится к электрической активности сердца, электрическому полю головного мозга, электрическим потенциалам мышц. Именно эти важнейшие электрофизиологические процессы требуют особого внимания и создания электронной аппаратуры для решения конкретных задач их анализа в диагностических целях.

  Особое место среди электрофизиологических методов диагностики занимает измерение и обработка электрокардиосигнала. Это связано с тем, что электрокардиограмма является основным показателем, который в настоящее время позволяет вести профилактический и лечебный контроль за сердечно-сосудистыми заболеваниями. Эффективности электрокардиографических методов диагностики способствует развитая и устоявшаяся система отведений и широкое использование количественных показателей ЭКГ. В последнее время в электрокардиографии интенсивно развивается направление, связанное с регистрацией и анализом низкоуровневых составляющих кардиосигнала. Опыт исследований в этой области позволяет говорить о перспективности анализа тонкой структуры ЭКГ для диагностики различных патологий сердечно-сосудистой системы на стадии их возникновения.

  4. Обычная  радиолокация воздушных целей  использует в качестве зондирующих  импульсов радиоимпульсы, которые  имеют несущую частоту и модулированы  тем или иным способом. В георадиолокации подобный тип сигналов не может быть использован по причине сильного затухания радиоволн в подстилающей поверхности. Пространственный размер радиоимпульсов в обычных локаторах составляет единицы – сотни метров, а это максимальная глубина зондирования георадаров, обусловленная затуханием. Здесь не приходится говорить о временном разрешении объектов, поскольку отраженные от подземных объектов сигналы затухают раньше, чем успеет закончиться зондирующий импульс.

    Для того, чтобы увеличить разрешение по времени, необходимо уменьшать огибающую радиоимпульса. С другой стороны, для того, чтобы увеличить глубину зондирования, необходимо понижать несущую частоту.

    Как видно, из приведенных выше примеров, использование огибающей сигнала очень широко распространено, и помогает решать очень важные на сегодняшний день задачи.