Виды неустойчивости

Р.-Т.н. играет важную роль в ряде астрофизич. явлений. Так, данная неустойчивость возникает, по-видимому, на адиабатической стадии расширения остатков вспышек сверновых звезд. Действием Р.-Т.н. можно объяснить существование включений нейтрального газа, наблюдаемых во многих зонах HII. Вероятно, Р.-Т.н. наряду с гравитационной неустойчивостью способствует образованию крупных газово-пылевых комплексов в нашей и др. галактиках, к-рые можно рассматривать как конденсации вещества в гравитац. поле звезд галактики. Перечисленные примеры не исчерпывают всех астрофизич. проявлений Р.-Т.н.

Самым простым  видом Р.-Т.н. явл. неустойчивость равновесия двух слоев газа (или жидкости), когда  они находятся в однородном поле тяжести и более плотный слой лежит на менее плотном. Если в  начальный момент времени поверхность раздела между такими слоями имеет плоскую форму (рис. 1, а), то любое случайное изменение формы поверхности раздела будет нарастать с течением времени (рис. 1, б), поскольку более плотный газ, проникнув в менее плотный, начнет "тонуть" - опускаться в направлении действия силы тяжести, вытесняя вверх менее плотный газ. Взаимное проникновение легкого и тяжелого газов сопровождается уменьшением потенц. энергии системы, к-рая достигает минимума лишь при полной замене местами слоев легкого и тяжелого газа (рис. 1, в), что соответствует устойчивому равновесию.

Пример более  сложной Р.-Т.н. - неустойчивость равновесия плазмы, находящейся в однородном поле тяжести над областью пространства с продольным относительно границы  плазмы магн. полем (рис. 2, а). Этот тип неустойчивости получил название "неустойчивость Крускала-Шварцшильда". Неустойчивость указанного равновесия легко заменить, используя аналогию с рассмотренным выше случаем, грубо полагая, что плазма играет роль тяжелого газа (плотностью ), а магн. поле - легкого газа (точнее, невесомого газа). Действительно, всякое незначит. искривление пограничных силовых линий магн. поля будет сопровождаться стеканием плазмы под действием собств. веса вдоль силовых линий в местах их прогибания, поскольку поперек силовых линий плазма двигаться не может (см. Магнитогидродинамика). В местах оттока плазмы силовые линии будут продолжать подниматься, а в местах ее накопления силовые линии будут продолжать опускаться (рис. 2, б). В результате плазма соберется в образованных силовыми линиями "долинах" - возникнут отдельные сгущения плазмы.

Заметную роль Р.-Т.н. должна играть при расширении остатков вспышек сверхновых звезд. На адиабатич. стадии расширения остатка  сброшенная при вспышке оболочка сгребает окружающее вещество межзвездной  среды. Вблизи контакта выброшенного вещества со сгребаемым газом образуется слой, в к-ром плотность вещества уменьшается наружу. Эволюция остатка вспышки сверхновой сопровождается постоянным уменьшением скорости расширения. Это равносильно действию в системе координат, связанной с веществом оболочки, эффективного ускорения, направленного наружу. Следовательно, в указанном слое имеет место Р.-Т.н., поскольку в нем создаются условия, при к-рых более плотный газ находится над менее плотным. Наличие Р.-Т.н. способствует развитию в слое турбулентных движений, к-рые, в свою очередь, усиливают магн. поле. Электроны могут быть ускорены в этом поле до такой степени, что их синхротронным излучением можно объяснить наблюдаемую в радиодиапазоне светимость остатков вспышек сверхновых.

Аналогичная картина  наблюдается при ускорении нейтрального газа ионизац. ударной волной. Развитие возмущений ионизац. фронта приводит к образованию отдельных фрагментов нейтрального газа (тяжелый газ), отрыву их от ионизац. фронта и последующему погружению в более разреженную среду ионизованного газа (легкий газ). Этот механизм может объяснить существование включений нейтрального водорода, наблюдаемых во многих зонах HII.

Образование крупных  газово-пылевых комплексов в нашей  и др. галактиках также можно рассматривать  как результат действия Р.-Т.н. в среде галактич. дисков. Галактич. диск содержит газ, пыль и звезды, к-рые дают осн. вклад в гравитац. поле, и пронизан параллельным плоскости диска магн. полем. Магн. поле препятствует оседанию газа к галактич. плоскости. Равновесие газа в галактич. диске подобно равновесию плазмы, поддерживаемой продолным магн. полем, и явл. неустойчивым. Возникновение незначит. флуктуаций плотности вещества сопровождается искривлением силовых линий, вдоль к-рых происходит стекание вещества в образовавшиеся в магн. поле "долины" (рис. 2, б). В результате возникают сгущения газа и пыли, формируются крупные газово-пылевые облака.

Количеств. анализ Р.-Т.н. основывается на исследовании линеаризованных  уравнений гидродинамики или  магнитогидродинамики для малых  отклонений (возмущений) характеристик  среды от равновесных значений. Возмущения обычно представляют в виде волн различной длины , описываемых выражением , где - волновое число возмущения, определяющее его пространственный масштаб; x - координата, ось к-рой лежит в плоскости раздела сред с различными плотностями вещества ( и ) и вдоль к-рой распространяется возмущение; n - инкремент неустойчивости, характеризующий развитие возмущения во времени; t - время. Решением линеаризованных уравнений гидродинамики для простейшего случая Р.-Т.н. (рис. 1) явл. дисперсионное соотношение , где и . Эта дисперсионная зависимость изображена кривой 1 на рис. 3: инкремент неустойчивости увеличивается с ростом волнового числа (мелкомасштабные возмущения растут быстрее). Для получения более строгой зависимости n(k) необходимо учитывать вязкость вещества и магн. поле.

Влияние вязкости вещества и магн. поля рассмотрим на примере простейшего типа Р.-Т.н. (рис. 1). Вязкость вещества уменьшает n при всех значениях k (кривая 2 на рис. 3), причем для больших значений k. поведение инкремента приближенно описывается зависимостью , где - коэфф. вязкости. Если газовая среда находится в однородном магн. поле, параллельном ускорению силы тяжести ( ) , то при больших значениях k рост инкремента неустойчивости ограничен величиной , где - альвеновская скорость (см. Альвеновские волны, Плазма). Дисперсионная зависимость для этого случая дается кривой 3 на рис. 3. Влияние однородного магн. поля, перпендикулярного ускорению силы тяжести ( ) , зависит от направления распространения возмущения. При распространении возмущения поперек магн. поля ( ) , последнее не играет никакой роли, и дисперсионная зависимость совпадает с таковой для простейшего случая (кривая 1 на рис. 3). Для возмущений, распространяющихся вдоль магн. поля ( ) , характерно существования максимума инкремента неустойчивости, равного при значении волнового числа (кривая 4 на рис. 3), где - граничное значение волнового числа, к-рое разделяет неустойчивые возмущения с волновыми числами и устойчивые возмущения при . Учет вязкости и в этом случае приводит к характерному уменьшению инкремента неустойчивости (кривая 5 на рис. 3).

Ярким известным  проявлением неустойчивости Рэлея — Тейлора являются вымеобразные облака, а также ядерный гриб.

О гидродинамической неустойчивости ускоряющейся поверхности раздела гомогенной и двухфазной сред 

Рассмотрим  задачу о гидродинамической неустойчивости пломкой поверхности раздела  двух сред, движущихся с ускорением , в случае, когда одной из них является однородная идеальная несжимаемая жидкость, а другой  двухфазная монодисперсная аэровзвесь. Определено, что используемая система уравнений, описывающих движение двухфазной смеси, имеет три типа возмущений.

Методом малых возмущений найдено существование неустойчивого корня, связанного с действием массовой силы (при g →0  он исчезает) в двухфазной среде (при исчезновении дисперсной фазы он также исчезает), а естественным стабилизирующим механизмом для него является действие межфазного трения, так что при увеличении вязкости несущей фазы,  →∞, он также исчезает. При увеличении вязкости, либо уменьшении размера частичек, либо уменьшении волнового числа возмущения, либо увеличении ускорения доминирующим становится действие классического механизма неустойчивости Рэлея  Тейлора.

При движении двухфазной дисперсной смеси иногда возникает проблема, связанная с  характером её взаимодействия с внешней гомогенной средой. Вблизи поверхности раздела возникают условия для развития гидродинамической неустойчивости обоих типов (Кельвина  Гельмгольца и Релея  Тейлора). Механизм неустойчивости, например, может оказывать влияние на дальнейшее поведение сорванных вторичных капелек, образующих

аэровзвесь  в аэродинамическом следе первичной  капли аэрозоля [1], осуществляя механическое перемешивание компонент и ускоряя тем самым формирование гомогенной горючей смеси за фронтом детонационной волны в аэрозоле. Влияние массы частичек на устойчивость поверхности раздела может быть учтено простым увеличением плотности дисперсной среды, а вот для определения влияния других внутренних её свойств (относительного движения, межфазного взаимодействия) моделей механики гомогенной

среды недостаточно и требуется привлечение двухскоростной модели. Устойчивость решений уравнений  таких моделей широко исследуется в последнее время при изучении движения жидкости по трубопроводам [2], в том числе применительно к возникновению снарядных течений при транспортировке углеводородного сырья [3], при изучении двухфазных течений в слоях смешения [4]. Неустойчивость внутреннего течения в двухфазной системе может приводить к динамической коагуляции аэрозоля [5]. Проявление неустойчивости типа Релея  Тейлора при фильтрационном вытеснении одной жидкостью другой ведёт к образованию пальцев и нежелательному смешению вытесняющей и вытесняемой фаз [6]. Такого рода практические задачи вызывают необходимость исследовать прежде всего общие свойства исходных уравнений динамики двухфазных сред. В настоящей работе исследование устойчивости ускоряющейся границы раздела двухфазной и гомогенной сред по отношению к малым возмущениям выполнено в обычной гидродинамической постановке. 
Неустойчивость тонких пленок

    Изучая  вопрос гидродинамической устойчивости, ученые долгое время интересовались исключительно обычными, ньютоновыми жидкостями (про ньютоновы и не-ньютоновы жидкости мы писали в статье "Жидкость с памятью"). А ведь текучестью, а значит, и всеми гидродинамическими явлениями в полной мере обладают и так называемые пластические жидкости: гели, пасты, пены, то есть вещества, начинающие течь под действием достаточно большой внешней силы.

    Именно  нестабильность в таких веществах  стала активно исследоваться  в последнее время. В статье [2] описываются эксперименты с тонкими  полимерными пленками в присутствии  внешнего электрического поля, играющего в данном случае роль дестабилизирующего воздействия. На полированную поверхность кремния наносилась тонкая полимерная пленка толщиной порядка микрометра, являющаяся одновременно одной из обкладок конденсатора. Над ней на высоте также порядка микрометра находилась проводящая поверхность, служившая второй обкладкой. Когда между обкладками создавалось достаточное напряжение, на поверхности пленки появлялась "рябь" (Рис.3). Это, как мы знаем, и есть проявление нестабильности, причем нестабильность здесь - практически той же природы, что и неустойчивость Рэлея-Тэйлора. Единственное отличие - вместо гравитационного поля неустойчивость здесь вызывает электрическое поле конденсатора.

    Интересно, что с помощью такого явления  можно "копировать" сложные структуры  субмикронного масштаба с заранее  приготовленной матрицы на полимерные пленки. В самом деле, если верхний  электрод содержит какую-то структуру, какой-то "узор", то, как показано на Рис.3б, "узор" на поверхности полимерной пленки будет в точность его повторять. Это и неудивительно: ведь нестабильность поверхности пленки наступит раньше там, где сильнее электрическое поле, а именно, непосредственно под выступами верхнего электрода. Именно на это важное приложение нестабильности полимерных пленок и делается основной акцент в статье. Ведь по этой методике можно быстро и дешево "штамповать" сложные конструкции, например, элементы интегральных схем.

    Нестабильность  тонких пленок привлекает и внимание теоретиков. Например, в работе [3] теоретически изучалось поведение тонких пленок пластической жидкости в присутствии  внешних сил. Ученых интересовало не только то, при каких условиях на поверхности пленки появляется рябь (то есть пленка становится нестабильной), но и свойства этой ряби, а именно, ее характерная длина волны. Было установлено, что в зависимости от коэффициента поверхностного натяжения и сжимаемости пленки, а также в зависимости от того, как внешняя сила меняется с расстоянием, существуют три режима поведения. Во-первых, пленка может сохранить свое равновесие - это ситуация, очевидно, имеет место при небольших внешних силах. Во-вторых, пленка может просто равномерно "прилипнуть" к притягивающей поверхности: это происходит с легко сжимаемыми жидкостями. И наконец, на поверхности пленки может образовываться рябь со вполне определенной длиной волны. Новое наблюдение, сделанное авторами работы, состоит в том, что эта длина волны, то есть характер возникающего узора, не зависит ни от природы внешней силы - будь это электрическое поле, ван-дер-ваальсовы или какие-либо другие силы, - ни от ее величины, а целиком определяется толщиной пленки. Такая универсальность пока еще не наблюдалась в эксперименте, поэтому здесь предсказания теоретиков еще ждут своего подтверждения.