Сущность коэффициента корреляции. Корреляционный анализ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Корреляционный анализ

        совокупность  основанных на математической  теории корреляции (См. Корреляция) методов обнаружения корреляционной  зависимости между двумя случайными  признаками или факторами. К.  а. экспериментальных данных заключает  в себе следующие основные  практические приёмы: 1) построение  корреляционного поля и составление  корреляционной таблицы; 2) вычисление  выборочных коэффициентов корреляции  или корреляционного отношения; 3) проверка статистической гипотезы  значимости связи. Дальнейшее  исследование заключается в установлении  конкретного вида зависимости  между величинами (см. Регрессионный  анализ). Зависимость между тремя  и большим числом случайных  признаков или факторов изучается  методами многомерного К. а. (вычисление  частных и множественных коэффициентов  корреляции и корреляционных  отношений).

         Корреляционное  поле и корреляционная таблица  являются вспомогательными средствами  при анализе выборочных данных. При нанесении на координатную  плоскость выборочных точек получают  корреляционное поле. По характеру  расположения точек поля можно  составить предварительное мнение  о форме зависимости случайных  величин (например, о том, что  одна величина в среднем возрастает  или убывает при возрастании  другой). Для численной обработки  результаты обычно группируют  и представляют в форме корреляционной  таблицы. В каждой клетке корреляционной  таблицы (см. в ст. Корреляция в  математической статистике) приводятся  численности гц; тех пар (х,  у), компоненты которых попадают  в соответствующие интервалы  группировки по каждой переменной.

         Предполагая  длины интервалов группировки  (по каждому из переменных) равными  между собой, выбирают центры xi (соответственно yj) этих интервалов  и числа nij в качестве основы  для расчётов.

         Коэффициент  корреляции и корреляционное  отношение дают более точную  информацию о характере и силе  связи, чем картина корреляционного  поля. Выборочный коэффициента корреляции  определяют по формуле:

   Где

   При большом числе независимых наблюдений, подчиняющихся одному и тому же распределению, и при надлежащем выборе интервалов группировки коэффициент ρ̂ близок к истинному коэффициенту корреляции ρ. Поэтому использование ρ̂ как меры связи имеет четко определённый смысл для тех распределений, для которых естественной мерой зависимости служит ρ (т. е. для нормальных или близких к ним распределений). Во всех др. случаях в качестве характеристики силы связи рекомендуется использовать корреляционное отношение η, интерпретация которого не зависит от вида исследуемой зависимости.

         Выборочное  значение η̂y|x вычисляется по  данным корреляционной таблицы:

        η̂2y|x =

  где числитель характеризует  рассеяние условных средних значений

   около безусловного среднего y̅(аналогично определяется выборочное значение η̂x|y). Величина y|x η̂²y|x>ρ², x|y>ρ² и лишь в случае линейной зависимости

ρ2=η̂² y|x= x|y. Так, при анализе корреляции между высотой и диаметром северной сосны было обнаружено, что условные средние значения высоты сосны для заданного диаметра связаны нелинейной зависимостью. Корреляционное отношение (высоты к диаметру) в этом случае равно 0,813, а коэффициент корреляции равен 0,762.

         Проверка  гипотезы значимости связи основывается  на знании законов распределения  выборочных корреляционных характеристик.  В случае нормального распределения  величина выборочного коэффициента  корреляции ρ̂ считается значимо  отличной от нуля, если выполняется  неравенство       где t^α есть критическое значение t-распределения Стьюдента с (n—2) степенями свободы, соответствующее выбранному уровню значимости α (см. Стьюдента распределение). Если же известно, что ρ ≠ 0, то необходимо воспользоваться z-преобразованием Фишера (не зависящим от ρ и n):  

    Исходя из приближённой  нормальности z, можно определить  доверительные интервалы для  истинного коэффициента корреляции  ρ.

         В случае  когда изучаются не количественные  признаки, а качественные, обычные  меры зависимости не годятся.  Однако, если удаётся каким-либо  образом упорядочить изучаемые  объекты в отношении некоторого  признака, т. е. прописать им  порядковые номера — ранги  (по два номера в соответствии  с двумя признаками), то в качестве  выборочной характеристики связи  можно воспользоваться, например, т. н. коэффициентом ранговой  корреляции:

      где d_i — разность рангов по обоим признакам для каждого объекта. По степени уклонения R от нуля можно сделать некоторое заключение о степени зависимости качественных признаков. Проверка гипотезы независимости признаков при небольшом объёме выборки производится с помощью специальных таблиц, а при n > 10 для вычисления критических значений выборочных коэффициентов пользуются тем, что эти величины распределены приближённо нормально.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение. Вывод

Коэффициент корреляции — это мера взаимосвязи измеренных явлений. На самом примитивном уровне его  можно рассматривать как меру совпадения двух рядов чисел. Любой  коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1. Отрицательные  значения говорят про обратнопропорциональную  взаимосвязь, положительные о прямопропорциональной. Полученный коэффициент необходимо сравнивать с критическим табличным.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Использованная литература

1. Годфруа Ж. Что такое психология. — М., 1992.
2. Сидоренко Е.В. Методы математической обработки в психологии. СПб: , Социально-психологический центр, 2001 г.
3. Романко В. К. Курс теории вероятностей и математической статистики для психологов. М:, Московский городской психолого-педагогический институт, 2000г.
4. Наследов А.Д. Математические методы психологического исследования. Анализ и интерпретация данных. СПб:, Речь, 2004г.