Математические методы

Математические  методы.

Понятие о генеральной совокупности и выборках.

Генеральная совокупность – любая  группа людей, которую психолог изучает  по выборке.

Объем генеральной совокупность может  быть различным, в зависимости от предмета наблюдения и той задачи, которую предстоит решить психологу.

Выборка – любая подгруппа элементов (респондентов), выделенная из генеральной  совокупности для проведения эксперимента.

Объем выборки (n) может быть любым, но не меньше, чем 2 респондента. Малая выборка до 30. Средняя от 30 до 100. Большая от 100.

Если исследовани подвергаютя  все представители изучаемой  генеральной совокупности, то исследование называется полным (сплошным).

Частичное (выборочное) исследование – исследование, для которого отбирается ограниченное число элементов генеральной совокупности.

Зависимая выборки (связные) – Если влияние есть. !! Одна и та же группа, на которой дважды проводилось психологическое  обследование является зависимой выборкой.

Независимая выборки (несвязные) –  если процедура эксперимента и полученные результаты измерения некоторого свойства у одной выборки не влияют на процесс протекания этого же эксперимента и результаты измерения этого же свойства у другой выборки.

Требования к выборке:

1. Однородность (при исследовании подростков, например, нельзя включать в группу взрослых испытуемых)
2. Выборка должна как можно более полно отражать характеристики изучаемой генеральной совокупности.

Случайная – если элементы отбираются случайным образом. Так как большинство методов

математической  статистики основывается на понятии случайной выборки, то естественно выборка

должна быть случайной.

Неслучайная выборка:

• механический отбор, когда вся совокупность делится на столько частей, сколько единиц планируется в выборке и затем из каждой части отбирается один элемент;

• типический отбор – совокупность делится на гомогенные части, и из каждой осуществляется

случайная выборка;

• серийный отбор – совокупность делят на большое число разновеликих серий, затем делают

выборку одной  какой-либо серии;

• комбинированный отбор – сочетаются рассматриваемые виды отбора, на разных этапах.

Понятие о случайности  выборки. Способы обеспечения случайности.

 

 

 

Понятие репрезентативности выборки. Два способа отбора.

Репрезентативность – качество выборки, позволяющее распространить полученные на ней результаты на всю генеральную совокупность.

Репрезентативная (представительная) выборка – выборка, в которой  основные признаки генеральной совокупности представлены приблизительно в той  же пропорции и с той же частотой, что и в генеральной совокупности. Меньшая по размеру, но точная модель генеральной совокупности.

Генерализуемость – распространение  результатов, полученных на выборке, на всю генеральную совокупность.

Способы отбора:

1. Формирование простой случайной выборки. Выборка состоит из элементов, отобранных из генеральной совокупности, при том каждый элемент имеет равные возможности (вероятность) попасть в выборку. Жеребьевка или таблица случайных чисел.
2. Формирование стратифицированной случайной выборки. Генеральная совокупность разбивается на страты (группы) в соответствии с некоторыми харарктеристиками (например, место жительства, уровень дохода и т.д.). Затем из каждой группы производится случайная выборка.

Как определить объекм выборки? В зависимости  от задач исследования.  От степени однородности изучаемого явления. От статистических методов, которые предполагается использовать. Рекомендуется использовать экспериментальную и контрольную группы.

Понятие об измерении. Шкалы измерений.

Измерение – приписывание чисел объектам или событиям, которое осуществляется по определенным правилам. Эти правила должны устанавливать соотвествие между какими-то свойствами изучаемых объектов и рядом чисел. Измерение – процедура, с помощью которой измеряемый объект сравнивается с эталоном и получает численное выражение в определенном масштабе или шкале. Измерение является операцией, с помощью которой экспериментальным данным придается форма связного числового сообщения.

Качественные:

1 Номинативная (номинальная, шкала наименований)

2 Порядковая (ординарная, ранговая)

Количественные:

3 Интервальная (интервалов, равных  интервалов)

4 Отношений (равных отношений)

Номинальная и ранговая шкалы. Примеры  использования в жизни и в  психологии.

Измерение в номинативной шкале состоит в присваивании какому-либо свойству или признаку определенного обозначения или символа. Процедура измерения сводится в классификации свойств, группировке объектов, объединению их в классы, группs при условии, что объекты в одной группе идентичны друг другу по какому-либо признаку/свойству. В то время, как объекты разных групп различны по этому признаку. При измерении по этой шкале осуществляется распределение объектов на непересекающиеся группы.

Пример: Типы темперамента. Нумерация  игроков спортивных команд. Полная семья/не полная и т.д.

Дихотомическая – самая простая  номинативная шкала (при измерениях по этой шкале признаки кодируются двумя символами). Признак, измеренный по дихотомической шкале называется альтернативным.

По номинативной шкале можно  подсчитать частоту встречаемости  признака. Можно подсчитать процентное соотношение.

Мода. Можно найти группу, в которой число респондентов наибольшее (группу, с наибольшей частотой измеренного признака). Такая группа называется модой.

К результатам измерений, полученным в номинативной шкале, можно применить методы: критерий Макнамары, критерий хи-квадрат, угловое преобразование Фишера, коэффициент корреляции.

Ранговая (порядковая) шкала.

Измерение по ранговой шкале расчленяет всю совокупность измеренных признаков  на множества, которые связаны между собой отношениями, типа «больше-меньше», «выше-ниже», «сильнее-слабее» и т.д. В порядковой шкале все признаки располагаются по рангу от самого большего, до самого маленького.

Пример: школьные оценки, места в  спортивных соревнованиях.

В порядковой шкале должно быть не меньше трех классов (групп). Пример: «да», «не знаю», «нет»; «Низкий», «средний», «высокий».

Приписываемые ранги должны сохранять  четкий порядок».Числа в ранговых шкалах обозначают лишь порядок следования признаков.

Проверка правильности ранжирования:

Для таблиц:

Для таблиц, где ранжирование осуществляется в каждой СТРОЧКЕ отдельно:

Случай одинаковых рангов:

В ранговой шкале применяется множество  статистических методов. Коэффициенты корреляции Спирмена и Кэндалла, а так же разнообразные критерии различий.

Интервальная и абсолютная шкалы. Примеры использования в жизни  и психологии.

Интервальная шкала – это шкала, классифицирующая по принципу «больше на

определенное  количество единиц – меньше на определенное количество единиц». Каждое из

возможных значений признака отстоит от другого на равном расстоянии.

Шкала интервалов представляет собой полностью упорядоченный  ряд с измеренными

интервалами между  пунктами, причем отсчет начинается с  произвольно от выбранной величины

(нет абсолютного нуля).

Пример: Шкалы измерения  температуры (Цельсия, Фаренгейта), тесты  IQ.

Шкала отношений предполагает наличие естественного нуля, который означает полное отсутствие какого-либо свойства или признака. Шкала отношений является наиболее информативной шкалой, допускает любые математические операции и использование различных статистических приемов. Шкала не изменяется при преобразовании  x ® bx. Это означает, в частности, что отношение двух величин не зависит от выбора единиц измерения. Если, например, мы имеем два груза с массой соответственно m₁ и m₂ и обнаруживаем, что m₁ : m₂ = 1 : 2, то отношение не изменится, если измерить массу этих грузов в граммах, фунтах, унциях или любых других единицах. В то же время для шкал отношений неправомерна операция x ® x + a, т. е. не допускается никакого линейного сдвига относительно нулевой точки. Так, если 100 : 200 = 1 : 2, то (100 + 10) : (200 + 10) ¹ 1 : 2.

Интервальная  шкала (шкала интервалов) предполагает разбиение диапазона (расстояния) между двумя крайними (реперными) точками на определенное число равных интервалов (градаций, категорий).

Примеры:

а) температурная шкала  Цельсия;

б) шкала уровня субъективного  контроля по Роттеру:

                                         - 3        - 2      - 1        0       +1        +2        +3

                   Абсолютно                        Не знаю                              Совершенно

                   не согласен                      (не уверен)                           согласен

  

На интервальной шкале  нет естественной точки отсчета: нуль условен, он не указывает на отсутствие измеряемого свойства. Шкала допускает операции нахождения разности, суммы и среднего значения и не изменяется при преобразовании x ® x + a (сложение или вычитание). Эти свойства шкалы позволяют количественно сравнивать между собой различия между парами признаков, например: А – В > C – D. Тем не менее, шкала не допускает нахождение отношений величин признака (т. е. во сколько раз одна величина больше или меньше другой). Это можно проиллюстрировать следующим примером. Допустим, вчера температура воздуха была +5, а сегодня +10 градусов по шкале Цельсия. Мы можем констатировать, что сегодня на 5 градусов теплее, чем вчера, но вряд ли можем сказать, что сегодня потеплело в два раза (если выразить те же температуры, например, в градусах Фаренгейта, то мы получим, соответственно, +41 и +50 градусов). 

Необходимо отметить, что подавляющее большинство  шкал, рассматриваемых в психодиагностике, являются порядковыми или интервальными  шкалами.

 

 

 

 

Варианты представления экспериментальных данных.

 

Для наглядного представления ЭД используются различные приемы, облегчающие визуальный анализ полученной информации: таблицы, графики, ряды распределений, гистограммы.

Статистические таблицы:

Простые – таблицы, применяемые при альтернативной группировке. Когда одна группа противопоставляется другой (больные и здоровые, праворукие и леворукие и т.д.)

Сложные – к ним относятся  многопольные таблицы, которые могут  использоваться при выяснении причинно-следственных отношений между варьирующимися признаками. Таки таблицы имеют сложное строение, позволяющее осуществлять разные варианты группировки данных. Такие таблицы имеют не только иллюстративное, но и аналитическое значение.

Статистические ряды (чистовые значения признака, расположенноо в определенном порядке). В зависимости от того, какие признаки изучают, статистические ряды делят на: атрибутивные, вариационные, ряды динамики, регрессии, ряды ранжированных значений признаков, ряды накопленных частот.

Вариационный ряд – двойной ряд чисел, показывающий, сколько раз отдельные варианты встречаются в данной совокупности. Числа, показывающие частоту – ЧАСТОТЫ ВАРИАНТ. Частоты можно выражать и в процентах. Это полезно, когда приходится сравнивать вариационные ряды, сильно различающиеся по объемам.

Ряд распределения – распределение частот по вариантам. 

 

 

 

 

 

Понятие о квантилях. Квартили и процентили. Соотношение различных квантилей.

Графическое представление экспериментальных  данных. Виды графиков и их применение.

Меры центральной тенденции. О чем говорит совпадение и несовпадение различных мер центральной тенденции.

Меры  центральной тенденции – это величины, вокруг которых группируются остальные данные. Данные величины являются как бы обобщающими всю выборку показателями, что, во-первых, позволяет судить по ним обо всей выборке, а во-вторых, дает возможность сравнивать разные выборки, разные серии между собой.

В психологических исследованиях  в качестве мер центральной тенденции  чаще всего используются мода, медиана  и среднее арифметическое значение. Значительно реже используются такие меры как среднее геометрическое, среднее гармоническое, обратное среднее гармоническое значение и др. 

Вычисление всех трех показателей  производится также для оценки распределения  данных. При нормальном распределении значения выборочного среднего, медианы и моды одинаковы или очень близки. Совпадение указывает на нормальноераспределение данных.

Нормальное распределение (распределение Гаусса, распределение Муавра – Лапласа) – это распределение значений переменной величины в тех случаях, когда она варьирует случайным образом и не подвержена влиянию какого-либо систематического фактора.

Мода. Правила определения моды. Преимущества и недостатки данной статистической оценки.

Мода – числовое значение, встречающееся в выборке наиболее часто.

Правила:

1. Если все значения в выборке встречаются одинаково часто, что выборка моды не имеет.
2. Если два соседних значения имеют одинаковую частоту и встречаются чаще других, то модой является их среднее арифметическое.
3. Если два НЕ соседних (не смежных) значения имеют одинаковую частоту встречаемости, то выделяют две моды. Могут быть так же мультимодальные распределения, имеющие больше двух мод.
4. Если мода оценивается по множеству сгруппированных данных, то для нахождения моды необходимо определенить группу с наибольшей частотой признака – модальную группу.

Мода не является достаточно строгой  мерой центральной тенденции, поскольку  она не учитывает характера распределения  переменных, а значит может использоваться лишь в предварительных выводах и прогнозах. Кроме того, необходимо использовать моду только для больших объемов выборок, поскольку для малых она недостаточно информативна.