Сущность метода Монте-Карло

Замечания преподавателя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

Замечания преподавателя………………………………………………………...3

Введение…………………………………………………………………………..5

1 Некоторые сведения теории вероятностей…………………………..…..….7

1.1 Математическое ожидание, дисперсия……………………………….……7

1.2 Точность оценки, доверительная  вероятность……………………………...9

1.3 Нормальное распределение…………………………………………………10

2 Сущность метода Монте-Карло…………...………………………………….12

2.1  Генераторы случайных  чисел………………………………………………16

3 Практическая часть………………………………………………..…………21

3.1Задание………………………………………………………………………21

3.2 Алгоритм интегрирования методом Монте-Карло для определенного интеграла……………………………………………………………………….21

3.3 Вычисление кратных интегралов…………………………………………..22

3.4 Описание пользовательского  интерфейса…………………………………24

Заключение………………………………………………………………………26

Список литературы………………………………….…………………………..27

Приложение А…………………………………………………………..……….28

Приложение Б……………………………………………..……………….…….30

 

 

 

 

 

Введение

Метод Монте-Карло – это  численный метод решения математических задач при помощи моделирования  случайных величин.

Возникновение идеи использования  случайных явлений в области  приближённых вычислений принято относить к 1878 году, когда появилась работа Холла об определении числа p с помощью случайных бросаний иглы на разграфлённую параллельными линиями бумагу. Существо дела заключается в том, чтобы экспериментально воспроизвести событие, вероятность которого выражается через число p, и приближённо оценить эту вероятность.

Датой рождения метода Монте-Карло  принято считать 1949 г., когда появилась статья под названием «Метод Монте-Карло» (Н. Метрополис, С. Улам). Создателями этого метода считают американских математиков Дж. Неймана и С. Улама. В нашей стране первые статьи были опубликованы в 1955–56 гг. (В.В. Чавчанидзе, Ю.А. Шрейдер, В.С. Владимиров).

С того времени накопилась обширная библиография по методу Монте-Карло. Даже беглый просмотр названий работ  позволяет сделать вывод о  применимости метода Монте-Карло для  решения прикладных задач из большого числа областей науки и техники.

Первоначально метод Монте-Карло  использовался главным образом  для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались малопригодными. Далее его влияние распространилось на широкий класс задач статистической физики, очень разных по своему содержанию.

Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние  на развитие методов вычислительной математики (например, развитие методов  численного интегрирования) и при  решении многих задач успешно  сочетается с другими вычислительными  методами и дополняет их. Его применение оправдано в первую очередь в  тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. Это объясняется как естественностью получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятностным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения.

Однако до появления ЭВМ этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, так как моделировать случайные величины вручную –  очень трудоёмкая работа. Таким образом, возникновение метода Монте-Карло  как весьма универсального численного метода стало возможным только благодаря  появлению ЭВМ.

Название «Монте-Карло» происходит от города Монте-Карло в княжестве  Монако, знаменитого своим игорным  домом, а также одним из простейших механических приборов для получения  случайных величин – рулеткой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Некоторые сведения теории вероятностей

     1.1 Математическое ожидание, дисперсия

Математическое ожидание — понятие среднего значения случайной величины в теории вероятностей. Обозначается   или иногда    В статистике часто используют обозначение  .Пусть задано вероятностное пространство   и определённая на нём случайная величина  . То есть, по определению,   — измеримая функция. Тогда, если существует интеграл Лебега от  по пространству  , то он называется математическим ожиданием, или средним значением и обозначается  .

Если   — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:

.

Если   — дискретная случайная величина, имеющая распределение

,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

.

Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью  , равно

.

Пусть   - случайный вектор. Тогда по определению

,

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Пусть   борелевская функция, такая что случайная величина   имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

,

если   имеет дискретное распределение;

,

если   имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение   случайной величины   общего вида, то

.

В специальном случае, когда  , Математическое ожидание   называется k-тым моментом случайной величины.

Математическое ожидание линейно, то есть 
         , 
где   — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а   — произвольные константы;

Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если если   почти наверное, и   — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины   также конечно, и более того

;

Математическое ожидание не зависит от поведения случайной  величины на событии вероятности  нуль, то есть если   почти наверное, то

.

Математическое ожидание произведения двух независимых случайных  величин   равно произведению их математических ожиданий

.

 

2.  Точность оценки, доверительная вероятность

 

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность оценок.Пусть, найденная по данным выборки, статистическая характеристика служит оценкой неизвестного параметра . Ясно, что тем точнее определяет параметр , чем меньше абсолютная величина разности . Другими словами, если d>0 и , то , чем меньше d, тем оценка точнее. Положительное число d характеризует точность оценки. Доверительным называют интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью g.Доверительный интервал — термин, используемый в математической статистике при интервальной (в отличие от точечной) оценке статистических параметров, что предпочтительнее при небольшом объёме выборки. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ежи Нейман, исходя из идей английского статистика Рональда Фишера.

 

1.3 Нормальное распределение

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задается функцией плотности распределения:

где параметр μ — математическое ожидание, медиана и мода распределения, а параметр σ - стандартное отклонение (σ² — дисперсия) распределения.

Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим  семейством распределений. Многомерный  случай описан в многомерном нормальном распределении.

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.Важное значение нормального распределения во многих областях науки, например, в математической статистике и статистической физике вытекает из центральной предельной теоремы теории вероятностей. Если результат наблюдения является суммой многих случайных слабо взаимозависимых величин, каждая из которых вносит малый вклад относительно общей суммы, то при увеличении числа слагаемых распределение центрированного и нормированного результата стремится к нормальному. Этот закон теории вероятностей имеет следствием широкое распространение нормального распределения, что и стало одной из причин его наименования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Сущность метода Монте-Карло 

Предположим, что нам необходимо вычислить площадь плоской фигуры . Это может быть произвольная фигура, заданная графически или аналитически (связная или состоящая из нескольких частей). Пусть это будет фигура, заданная на рис. 1.1.

 

Рис. 1.1

 

Предположим, что эта фигура расположена внутри единичного квадрата.Выберем внутри квадрата случайных точек. Обозначим через число точек, попавших внутрь фигуры . Геометрически видно, что площадь фигуры приближенно равна отношению . Причем, чем больше число , тем больше точность этой оценки.Для того чтобы выбирать точки случайно, необходимо перейти к понятию случайная величина. Случайная величина непрерывная, если она может принимать любое значение из некоторого интервала .

Непрерывная случайная величина определяется заданием интервала , содержащего возможные значения этой величины, и функции , которая называется плотностью вероятностей случайной величины (плотностью распределения ). Физический смысл следующий: пусть - произвольный интервал, такой что , тогда вероятность того, что окажется в интервале , равна интегралу:

 Множество значений может быть любым интервалом (возможен случай ). Однако плотность должна удовлетворять двум условиям:

1. плотность положительна:

                              ;          2) интеграл от плотности по всему интервалу равен 1           

Любые вероятности вида легко вычисляются с помощью таблицы, в которой приведены значения функции

 называется обычно интегралом вероятностей.

Согласно (1.1)

В интеграле сделаем замену переменной , тогда получим

, где Отсюда следует, что Также

Нормальные случайные  величины очень часто встречаются  при исследовании самых различных  по своей природе вопросов.

Выбрав  , , найдём . Следовательно,

    

Вероятность настолько близка к 1, что иногда последнюю формулу интерпретируют так: при одном испытании практически невозможно получить значение , отличающееся от больше чем на .

Проводя большое количество опытов, и получая большое количество случайных величин можно воспользоваться  центральной предельной теоремой теории вероятностей. Эта теорема впервые  была сформулирована П. Лапласом. Обобщением этой теоремы занимались многие выдающиеся математики, в том числе П.Л. Чебышёв, А.А. Марков, А.М. Ляпунов. Её доказательство достаточно сложно.

Рассмотрим  одинаковых независимых случайных величин , так что распределения вероятностей этих величин совпадают. Следовательно, их математические ожидания и дисперсии также совпадают. Величины эти могут быть как непрерывными, так и дискретными.

Обозначим

Сумму всех этих величин  обозначим через

Используя соотношения

получаем

Рассмотрим теперь нормальную случайную величину с такими же параметрами: .В центральной предельной теореме утверждается, что для любого интервала при больших

Смысл этой теоремы в том, что сумма  большого числа одинаковых случайных величин приближенно нормальна. На самом деле эта теорема справедлива при гораздо более широких условиях: все слагаемые не обязаны быть одинаковыми и независимыми; существенно только, чтобы отдельные слагаемые не играли большой роли в сумме. Эта теорема оправдывает часто встречающиеся нормальные случайные величины. В самом деле, когда встречается суммарное воздействие большого числа незначительных случайных факторов, результирующая случайная величина оказывается нормальной.