Система массового обслуживания

 

.

 

Среднее время ожидания получим из формулы (14) при :

 

.

 

Наконец, среднее время  пребывания заявки в СМО есть:

.

 

2.2 Многоканальная СМО с ожиданием

 

Система с ограниченной длиной очереди. Рассмотрим

канальную СМО с ожиданием, на которую поступает поток заявок с интенсивностью ; интенсивность обслуживания (для одного канала) ; число мест в очереди .

Состояния системы нумеруются по числу заявок, связанных системой:

нет очереди:

 — все каналы свободны;

 — занят один канал, остальные  свободны;

 — заняты  -каналов, остальные нет;

— заняты все  -каналов, свободных нет;

есть очередь:

 — заняты все n-каналов;  одна заявка стоит в очереди;

 — заняты все n-каналов, r-заявок  в очереди;

 — заняты все n-каналов, r-заявок  в очереди.

ГСП приведен на рис. 17. У каждой стрелки проставлены соответствующие интенсивности потоков событий. По стрелкам слева направо систему переводит всегда один и тот же поток заявок с интенсивностью , по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживании, интенсивность которого равна , умноженному на число занятых каналов.

Рис. 17. Многоканальная СМО с ожиданием

Граф типичен для процессов  размножения и гибели, для которой  решение ранее получено. Напишем  выражения для предельных вероятностей состояний, используя обозначение  : (здесь используется выражение для суммы геометрической прогрессии со знаменателем ).

Таким образом, все вероятности  состояний найдены.

Определим характеристики эффективности  системы.

Вероятность отказа. Поступившая  заявка получает отказ, если заняты все n-каналов и все m-мест в очереди:

 

(18)

 

Относительная пропускная способность  дополняет вероятность отказа до единицы:

Абсолютная пропускная способность  СМО:

(19)

Среднее число занятых  каналов. Для СМО с отказами оно  совпадало со средним числом заявок, находящихся в системе. Для СМО  с очередью среднее число занятых  каналов не совпадает со средним  числом заявок, находящихся в системе: последняя величина отличается от первой на среднее число заявок, находящихся  в очереди.

Обозначим среднее число  занятых каналов  . Каждый занятый канал обслуживает в среднем -заявок в единицу времени, а СМО в целом обслуживает в среднем А-заявок в единицу времени. Разделив одно на другое, получим:

 

.

 

Среднее число заявок в  очереди можно вычислить непосредственно  как математическое ожидание дискретной случайной величины:

 

(20)

где .

Здесь опять (выражение в  скобках) встречается производная  суммы геометрической прогрессии (см. выше (11), (12) — (14)), используя соотношение для нее, получаем:

 

Среднее число заявок в  системе:

Среднее время ожидания заявки в очереди. Рассмотрим ряд ситуаций, различающихся тем, в каком состоянии  застанет систему вновь пришедшая  заявка и сколько времени ей придется ждать обслуживания.

Если заявка застанет не все каналы занятыми, ей вообще не придется ждать (соответствующие члены в  математическом ожидании равны нулю). Если заявка придет в момент, когда  заняты все n-каналов, а очереди нет, ей придется ждать в среднем время, равное (потому что «поток освобождений» -каналов имеет интенсивность ). Если заявка застанет все каналы занятыми и одну заявку перед собой в очереди, ей придется в среднем ждать в течение времени (по на каждую впереди стоящую заявку) и т. д. Если заявка застанет в очереди -заявок, ей придется ждать в среднем в течение времени . Если вновь пришедшая заявка застанет в очереди уже m-заявок, то она вообще не будет ждать (но и не будет обслужена). Среднее время ожидания найдем, умножая каждое из этих значений на соответствующие вероятности:

 

(21)

 

Так же, как и в случае одноканальной СМО с ожиданием, отметим, что это выражение отличается от выражения для средней длины  очереди (20) только множителем , т. е.

 

.

 

Среднее время пребывания заявки в системе, так же, как и  для одноканальной СМО, отличается от среднего времени ожидания на среднее  время обслуживания, умноженное на относительную пропускную способность:

 

.

 

Системы с неограниченной длиной очереди. Мы рассмотрели  канальную СМО с ожиданием, когда в очереди одновременно могут находиться не более m-заявок.

Так же, как и ранее, при  анализе систем без ограничений  необходимо рассмотреть полученные соотношения при .

Вероятности состояний получим  из формул предельным переходом (при ). Заметим, что сумма соответствующей геометрической прогрессии сходится при и расходится при >1. Допустив, что <1 и устремив в формулах величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:

 

(22)

 

Вероятность отказа, относительная  и абсолютная пропускная способность. Так как каждая заявка рано или  поздно будет обслужена, то характеристики пропускной способности СМО составят:

 

 

Среднее число заявок в  очереди получим при из (20):

 

,

 

а среднее время ожидания — из (21):

 

.

 

Среднее число занятых  каналов  , как и ранее, определяется через абсолютную пропускную способность:

 

.

Среднее число заявок, связанных  с СМО, определяется как среднее  число заявок в очереди плюс среднее  число заявок, находящихся под  обслуживанием (среднее число занятых  каналов):

 

.

 

Пример 2. Автозаправочная  станция с двумя колонками (n = 2) обслуживает поток машин с интенсивностью =0,8 (машин в минуту). Среднее время обслуживания одной машины:

В данном районе нет другой АЗС, так что очередь машин перед АЗС может расти практически неограниченно. Найти характеристики СМО.

Имеем:

 

Поскольку <1, очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (22) находим вероятности состояний:

 и т. д.

Среднее число занятых  каналов найдем, разделив абсолютную пропускную способность СМО А= =0,8 на интенсивность обслуживания =0,5:

Вероятность отсутствия очереди  у АЗС будет:

Среднее число машин в  очереди:

Среднее число машин на АЗС:

Среднее время ожидания в  очереди:

Среднее время пребывания машины на АЗС:

СМО с ограниченным временем ожидания. Ранее рассматривались  системы с ожиданием, ограниченным только длиной очереди (числом m-заявок, одновременно находящихся в очереди). В такой СМО заявка, разраставшая в очередь, не покидает ее, пока не дождется обслуживания. На практике встречаются СМО другого типа, в которых заявка, подождав некоторое время, может уйти из очереди (так называемые «нетерпеливые» заявки).

Рассмотрим СМО подобного  типа, предполагая, что ограничение  времени ожидания является случайной  величиной.

Предположим, что имеется n-канальная СМО с ожиданием, в  которой число мест в очереди  не ограничено, но время пребывания заявки в очереди является некоторой  случайной величиной со средним  значением , таким образом, на каждую заявку, стоящую в очереди, действует своего рода пуассоновский «поток уходов» с интенсивностью:

Если этот поток пуассоновский, то процесс, протекающий в СМО, будет  марковским. Найдем для него вероятности состояний. Нумерация состояний системы связывается с числом заявок в системе — как обслуживаемых, так и стоящих в очереди:

нет очереди:

 — все каналы свободны;

 — занят один канал;

 — заняты два канала;

 — заняты все n-каналов;

есть очередь:

 — заняты все n-каналов,  одна заявка стоит в очереди;

 — заняты все n-каналов, r-заявок  стоят в очереди и т. д.

Граф состояний и переходов  системы показан на рис. 23.

Рис. 23. СМО с ограниченным временем ожидания.

Разметим этот граф, как  и раньше; у всех стрелок, ведущих  слева направо, будет стоять интенсивность  потока заявок . Для состояний без очереди у стрелок, ведущих из них справа налево, будет, как и раньше, стоять суммарная интенсивность потока обслуживании всех занятых каналов. Что касается состояний с очередью, то у стрелок, ведущих из них справа налево, будет стоять суммарная интенсивность потока обслуживания всех n-каналов плюс соответствующая интенсивность потока уходов из очереди. Если в очереди стоят r-заявок, то суммарная интенсивность потока уходов будет равна .

Как видно из графа, имеет  место схема размножения и  гибели; применяя общие выражения  для предельных вероятностей состояний  в этой схеме (используя сокращенные  обозначения  , запишем:

(24)

Отметим некоторые особенности  СМО с ограниченным ожиданием  сравнительно с ранее рассмотренными СМО с «терпеливыми» заявками.

Если длина очереди  не ограничена и заявки «терпеливы» (не уходят из очереди), то стационарный предельный режим существует только в случае (при соответствующая бесконечная геометрическая прогрессия расходится, что физически соответствует неограниченному росту очереди при ).

Напротив, в СМО с «нетерпеливыми» заявками, уходящими рано или поздно из очереди, установившийся режим обслуживания при достигается всегда, независимо от приведенной интенсивности потока заявок . Это следует из того, что ряд для в знаменателе формулы (24) сходится при любых положительных значениях и .

Для СМО с «нетерпеливыми»  заявками понятие «вероятность отказа»  не имеет смысла — каждая заявка становится в очередь, но может и  не дождаться обслуживания, уйдя раньше времени.

Относительная пропускная способность, среднее число заявок в очереди. Относительную пропускную способность  q такой СМО можно подсчитать следующим образом. Очевидно, обслужены будут все заявки, кроме тех, которые уйдут из очереди досрочно. Подсчитаем, какое в среднем число заявок покидает очередь досрочно. Для этого вычислим среднее число заявок в очереди:

(25)

На каждую из этих заявок действует «поток уходов» с интенсивностью . Значит, из среднего числа -заявок в очереди в среднем будет уходить, не дождавшись обслуживания, -заявок в единицу времени и всего в единицу времени в среднем будет обслуживаться -заявок. Относительная пропускная способность СМО будет составлять:

Среднее число занятых  каналов  по-прежнему получаем, деля абсолютную пропускную способность А на :

(26)

Среднее число заявок в  очереди. Соотношение (26) позволяет  вычислить среднее число заявок в очереди  , не суммируя бесконечного ряда (25). Из (26) получаем:

,

а входящее в эту формулу  среднее число занятых каналов  можно найти как математическое ожидание случайной величины Z, принимающей  значения 0, 1, 2,..., n с вероятностями , :

.

 

В заключение заметим, что  если в формулах (24) перейти к пределу  при  (или, что то же, при ), то при получатся формулы (22), т. е. «нетерпеливые» заявки станут «терпеливыми».

 

 

 

Заключение

 

Выше были рассмотрены примеры простейших систем массового обслуживания (СМО). Понятие «простейшие» не означает «элементарные». Математические модели этих систем применимы  и успешно используются в практических расчетах.

Возможность применения теории принятия решений в системах массового  обслуживания определяется следующими факторами:

1. Количество заявок в  системе (которая рассматривается  как СМО) должно быть достаточно  велико (массово).

2. Все заявки, поступающие  на вход СМО, должны быть  однотипными.

3. Для расчетов по формулам  необходимо знать законы, определяющие  поступление заявок и интенсивность  их обработки. Более того, потоки  заявок должны быть Пуассоновскими.

4. Структура СМО, т.е.  набор поступающих требований  и последовательность обработки  заявки, должна быть жестко зафиксирована.

5. Необходимо исключить  из системы субъектов или описывать  их как требования с постоянной  интенсивностью обработки.

К перечисленным выше ограничениям можно добавить еще одно, оказывающее  сильное влияние на размерность  и сложность математической модели.

6. Количество используемых  приоритетов должно быть минимальным.  Приоритеты заявок должны быть  постоянными, т.е. они не могут  меняться в процессе обработки  внутри СМО.