Система массового обслуживания

Пусть система S в состоянии S₀ (полностью исправна) приносит в единицу времени доход 8 условных единиц, в состоянии S₁ – доход 3 условные единицы, в состоянии S₂ – доход 5 условных единиц, в состоянии S₃ – не приносит дохода. Тогда в предельном, стационарном режиме средний доход в единицу времени будет равен: условных единиц.

Станок 1 ремонтируется  долю времени, равную: . Станок 2 ремонтируется долю времени, равную: . Возникает задача оптимизации. Пусть мы можем уменьшить среднее время ремонта первого или второго станка (или обоих), но это нам обойдется в определенную сумму. Спрашивается, окупит ли увеличение дохода, связанное с ускорением ремонта, повышенные расходы на ремонт? Нужно будет решить систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными.

 

1.5 Задачи  теории массового обслуживания

 

Примеры систем массового обслуживания (СМО): телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, станочные и  другие технологические системы, системы  управления гибких производственных систем и т.д.

Каждая СМО  состоит из какого–то количества обслуживающих единиц, которые называются каналами обслуживания (это станки, транспортные тележки, роботы, линии связи, кассиры, продавцы и т.д.). Всякая СМО предназначена для обслуживания какого–то потока заявок (требований), поступающих в какие-то случайные моменты времени.

Обслуживание  заявки продолжается какое–то, вообще говоря, случайное время, после чего канал освобождается и готов  к приему следующей заявки. Случайный  характер потока заявок и времени  обслуживания приводит к тому, что  в какие–то периоды времени на входе СМО скапливается излишне  большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО не обслуженными). В другие же периоды СМО будет работать с  недогрузкой или вообще простаивать.

Процесс работы СМО – случайный процесс с  дискретными состояниями и непрерывным  временем. Состояние СМО меняется скачком в моменты появления  каких-то событий (прихода новой  заявки, окончания обслуживания, момента, когда заявка, которой надоело  ждать, покидает очередь).

Предмет теории массового обслуживания – построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, правила работы, характер потока заявок) с интересующими нас характеристиками – показателями эффективности СМО. Эти показатели описывают способность СМО справляться с потоком заявок. Ими могут быть: среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени; среднее число занятых каналов; среднее число заявок в очереди; среднее время ожидания обслуживания и т.д.

Математический  анализ работы СМО очень облегчается, если процесс этой работы Марковский, т.е. потоки событий, переводящие систему  из состояния в состояние –  простейшие. Иначе математическое описание процесса очень усложняется и  его редко удается довести  до конкретных аналитических зависимостей. На практике не Марковские процессы с  приближением приводятся к Марковским. Приведенный далее математический аппарат описывает Марковские процессы.

 

1.6 Классификация  систем массового обслуживания

 

Первое деление (по наличию очередей):

1. СМО с отказами;
2. СМО с очередью.

В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем не обслуживается.

В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной.

СМО с очередями подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь – ограничена или не ограничена. Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания, «дисциплины обслуживания».

Итак, например, рассматриваются следующие СМО:

• СМО с нетерпеливыми заявками (длина очереди и время обслуживания ограничено);
• СМО с обслуживанием с приоритетом, т.е. некоторые заявки обслуживаются вне очереди и т.д.

Кроме этого  СМО делятся на открытые СМО и замкнутые СМО.

В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – зависят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже исправно и ждет наладки.

Классификация СМО далеко не ограничивается приведенными разновидностями, но этого достаточно.

 

 

 

2. Системы массового  обслуживания с ожиданием

2.1 Одноканальная СМО с ожиданием

Рассмотрим простейшую СМО  с ожиданием — одноканальную  систему (n - 1), в которую поступает поток заявок с интенсивностью ; интенсивность обслуживания (т.е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать обслуженных заявок в единицу (времени). Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Система с ограниченной длиной очереди. Предположим сначала, что  количество мест в очереди ограничено числом m, т.е. если заявка пришла в момент, когда в очереди уже стоят m-заявок, она покидает систему не обслуженной. В дальнейшем, устремив m к бесконечности, мы получим характеристики одноканальной СМО без ограничений длины очереди.

Будем нумеровать состояния  СМО по числу заявок, находящихся  в системе (как обслуживаемых, так  и ожидающих обслуживания):

 — канал свободен;

 — канал занят, очереди  нет;

 — канал занят, одна заявка  стоит в очереди;

 — канал занят, k-1 заявок стоят  в очереди;

 — канал занят, т-заявок  стоят в очереди.

ГСП показан на рис. 4. Все интенсивности потоков событий, переводящих в систему по стрелкам слева направо, равны , а справа налево — . Действительно, по стрелкам слева направо систему переводит поток заявок (как только придет заявка, система переходит в следующее состояние), справа же налево — поток «освобождений» занятого канала, имеющий интенсивность (как только будет обслужена очередная заявка, канал либо освободится, либо уменьшится число заявок в очереди).

Рис. 4. Одноканальная СМО с ожиданием.

Изображенная на рис. 4 схема  представляет собой схему размножения  и гибели. Напишем выражения для  предельных вероятностей состояний:

 

(5)

 

или с использованием: :

 

(6)

 

Последняя строка в (6) содержит геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем р, откуда получаем:

 

(7)

в связи с чем предельные вероятности принимают вид:

(8).

 

Выражение (7) справедливо  только при  < 1 (при = 1 она дает неопределенность вида 0/0). Сумма геометрической прогрессии со знаменателем = 1 равна m+2, и в этом случае:

 

.

 

Определим характеристики СМО: вероятность отказа , относительную пропускную способность q, абсолютную пропускную способность А, среднюю длину очереди , среднее число заявок, связанных с системой , среднее время ожидания в очереди , среднее время пребывания заявки в СМО .

Вероятность отказа. Очевидно, заявка получает отказ только в случае, когда канал занят и все  т-мест в очереди тоже:

 

(9).

 

Относительная пропускная способность:

 

(10).

Абсолютная пропускная способность:

 

.

 

Средняя длина очереди. Найдем среднее число  -заявок, находящихся в очереди, как математическое ожидание дискретной случайной величины R—числа заявок, находящихся в очереди:

 

.

 

С вероятностью в очереди стоит одна заявка, с вероятностью — две заявки, вообще с вероятностью в очереди стоят k-1 заявок, и т.д., откуда:

 

(11).

 

Поскольку , сумму в (11) можно трактовать как производную по от суммы геометрической прогрессии:

 

.

 

Подставляя данное выражение  в (11) и используя  из (8), окончательно получаем:

 

(12).

Среднее число заявок, находящихся  в системе. Получим далее формулу  для среднего числа  -заявок, связанных с системой (как стоящих в очереди, так и находящихся на обслуживании). Поскольку , где — среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, а k известно, то остается определить . Поскольку канал один, число обслуживаемых заявок может равняться 0 (с вероятностью ) или 1 (с вероятностью 1 - ), откуда:

 

.

 

и среднее число заявок, связанных с СМО, равно:

 

(13).

 

Среднее время ожидания заявки в очереди. Обозначим его  ; если заявка приходит в систему в какой-то момент времени, то с вероятностью канал обслуживания не будет занят, и ей не придется стоять в очереди (время ожидания равно нулю). С вероятностью она придет в систему во время обслуживания какой-то заявки, но перед ней не будет очереди, и заявка будет ждать начала своего обслуживания в течение времени (среднее время обслуживания одной заявки). С вероятностью в очереди перед рассматриваемой заявкой будет стоять еще одна, и время ожидания в среднем будет равно , и т.д.

Если же k=m+1, т.е. когда  вновь приходящая заявка застает  канал обслуживания занятым и m-заявок в очереди (вероятность этого  ), то в этом случае заявка не становится в очередь (и не обслуживается), поэтому время ожидания равно нулю. Среднее время ожидания будет равно:

 

,

 

если подставить сюда выражения  для вероятностей (8), получим:

 

(14).

Здесь использованы соотношения (11), (12) (производная геометрической прогрессии), а также  из (8). Сравнивая это выражение с (12), замечаем, что иначе говоря, среднее время ожидания равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок.

 

(15).

 

Среднее время пребывания заявки в системе. Обозначим  - матожидание случайной величины — время пребывания заявки в СМО, которое складывается из среднего времени ожидания в очереди и среднего времени обслуживания . Если загрузка системы составляет 100%, очевидно, , в противном же случае:

 

.

 

Отсюда:

 

.

Пример 1. Автозаправочная  станция (АЗС) представляет собой СМО  с одним каналом обслуживания (одной колонкой).

Площадка при станции  допускает пребывание в очереди  на заправку не более трех машин  одновременно (m = 3). Если в очереди уже находятся три машины, очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится. Поток машин, прибывающих для заправки, имеет интенсивность =1 (машина в минуту). Процесс заправки продолжается в среднем 1,25 мин.

Определить:

вероятность отказа;

относительную и абсолютную пропускную способности АЗС;

среднее число машин, ожидающих  заправки;

среднее число машин, находящихся  на АЗС (включая обслуживаемую);

среднее время ожидания машины в очереди;

среднее время пребывания машины на АЗС (включая обслуживание).

Иначе говоря, среднее время  ожидания равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность  потока заявок.

Находим вначале приведенную  интенсивность потока заявок: =1/1,25=0,8; =1/0,8=1,25.

По формулам (8):

 

 

Вероятность отказа 0,297.

Относительная пропускная способность  СМО: q=1- =0,703.

Абсолютная пропускная способность  СМО: A= =0,703 машины в мин.

Среднее число машин в  очереди находим по формуле (12):

,

 

т.е. среднее число машин, ожидающих в очереди на заправку, равно 1,56.

Прибавляя к этой величине среднее число машин, находящихся  под обслуживанием:

 

 

получаем среднее число  машин, связанных с АЗС.

Среднее время ожидания машины в очереди по формуле (15):

 

 

Прибавляя к этой величине , получим среднее время, которое машина проводит на АЗС:

 

Системы с неограниченным ожиданием. В таких системах значение т не ограничено и, следовательно, основные характеристики могут быть получены путем предельного перехода в ранее полученных выражениях (5), (6) и т.п.

Заметим, что при этом знаменатель в последней формуле (6) представляет собой сумму бесконечного числа членов геометрической прогрессии. Эта сумма сходится, когда прогрессия бесконечно убывающая, т.е. при  <1.

Может быть доказано, что  <1 есть условие, при котором в СМО с ожиданием существует предельный установившийся режим, иначе такого режима не существует, и очередь при будет неограниченно возрастать. Поэтому в дальнейшем здесь предполагается, что <1.

Если , то соотношения (8) принимают вид:

 

(16).

 

При отсутствии ограничений  по длине очереди каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, поэтому q=1, .

Среднее число заявок в  очереди получим из (12) при :

.

Среднее число заявок в  системе по формуле (13) при :