Розкладання періодичного коливання у тригонометричний ряд та створення комп’ютерної моделі приладу, що розраховує та відображає значенн

Ряд б) зручний для гармонійного відображення спектрального складу коливання . При цьому:

- розподіл амплітуд гармонік на частотній вісі називають амплітудним спектром (АС) ;

- розподіл початкових  фаз гармонік на частотній вісі називають фазовим спектром (ФС) _.

_{Очевидно, що при  або , перехід від ряду а) до ряду б) не потрібний.}

 

_{Ряд в) фізичного змісту не має, але виявляється зручним при аналітичному аналізі сигналів та їх перетворень. Одним із вибору форми ряду Фур’є є метод спектрального представлення сигналів, який можна поділити на три групи: аналітичний, графоаналітичний та експериментальний.}

_{Аналітичний метод пов'язаний з безпосереднім  розрахунками всіх складових ряду Фур'є з використанням аналітичного представлення сигналу. Основна гідність – точність, недолік – складність інтегральних обчислень.}

_{Графоаналітичний  метод заснований на заміні інтегральних виражень кінцевими сумами. Основою служить графічне представлення сигналу. Гідність – простота, недоліки – громіздкість обчислень і низька їхня точність.}

Експериментальний метод  заснований на використанні спеціальної апаратури – спектральних аналізаторів (фізичних або віртуальних).

1.1 Ряд Фур'є періодичних функцій з періодом 2

Ряд Фур'є дозволяє вивчати  періодичні (неперіодичні) функції, розкладаючи  їх на компоненти. Змінні струми і напруга, зсуви, швидкість і прискорення кривошипно-шатунових механізмів і акустичні хвилі - це типові практичні приклади вживання періодичних функцій в інженерних розрахунках.

Розкладання в ряд Фур'є  ґрунтується на припущенні, що всі мають практичне значення функції в інтервалі – можна виразити у вигляді тригонометричних рядів, що сходяться (ряд вважається таким, що сходиться, якщо сходиться послідовність часткових сум, складених з його членів):

Стандартний запис через  суму і :

де  , , ..., , - дійсні константи, тобто

(1.4)

Де для діапазону від  до коефіцієнти ряду Фур'є розраховуються по формулах:

 

Коефіцієнти , і називаються коефіцієнтами Фур'є, і якщо їх можна знайти, то ряд (1) називається рядом Фур'є, відповідним функції . Для ряду (1) член називається першою або основною гармонікою. Інший спосіб запису ряду - використання співвідношення :

;

Де  - константа, з 1 , - амплітуди різних компонентів, а фазовий кут рівний . Для ряду (1) член або називається першою або основною гармонікою, або називається другою гармонікою і так далі.

Для точного представлення складного сигналу зазвичай потрібна безконечна кількість членів. Проте в багатьох практичних завданнях досить розглянути лише декілька перших членів.

1.2 Ряд Фур'є неперіодичних  функцій з періодом 2

Розкладання неперіодичних  функцій. Якщо функція  неперіодична, значить, вона не може бути розкладена в ряд Фур'є для всіх значень . Проте можна визначити ряд Фур'є, що представляє функцію в будь-якому діапазоні шириною .

Якщо задана неперіодична функція, можна скласти нову функцію, вибираючи значення в певному діапазоні і повторюючи їх поза цим діапазоном з інтервалом . Оскільки нова функція є періодичною з періодом , її можна розкласти в ряд Фур'є для всіх значень . Наприклад, функція не є періодичною. Проте, якщо необхідно розкласти її в ряд Фур'є на інтервалі від 0 до , тоді поза цим інтервалом будується періодична функція з періодом (як показано на рис. нижче).

 

Рисунок 1.1 – Періодична функція з періодом

Для неперіодичних функцій, таких як , сума ряду Фур'є дорівнює значенню в усіх точках заданого діапазону, але вона не рівна для крапок поза діапазоном. Для знаходження ряду Фур'є неперіодичній функції в діапазоні використовується формула коефіцієнтів Фур'є.

 

2 ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД  СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛІЗУ ПЕРІОДИЧНИХ СИГНАЛІВ

Спектральний аналіз (Spectral analysis, синоніми: Фур'є аналіз, гармонійний аналіз, Frequency analysis) - це різновид обробки даних, пов'язаний з перетворенням їхнього частотного подання або спектра. Спектр виходить у результаті розкладання вихідної функції, що залежить від часу (часовий ряд) або просторових координат (наприклад, зображення), у базис деякої періодичної функції. Найбільш часто для спектральної обробки використовується спектр Фур'є, який одержують на основі базису синуса (розкладання Фур'є, перетворення Фур'є).

Основний зміст перетворення Фур'є в тому, що вихідна неперіодична функція довільної форми, яку неможливо описати аналітично й у загальному випадку важка для обробки та аналізу, представляється у вигляді сукупності синусів або косинусів з різною частотою і амплітудою. Іншими словами, складна функція перетвориться в множину більш простих. Кожна синусоїда (або косинусоїда) з певною частотою і амплітудою, отримана в результаті розкладання Фур'є, називається спектральною складовою або гармонікою. Спектральні складові створюють спектр Фур'є.

Спектром сигналу називається  сукупність гармонійних коливань, з  яких складається сам сигнал.

Якщо говорити строгіше, то існує два основні типи спектрів: амплітудночастотний (амплітудний) і  фазочастотний (фазовий) спектр.

Амплітудним спектром називається  розподіл амплітуд гармонійних складових  по частоті.

Фазовим спектром називається  розподіл початкових фаз гармонійних  складових по частоті.

Оскільки основна частина  енергії імпульсу зосереджена в  області головної пелюстки, то за ширину спектру береться ширина головної пелюстки.

(2.1)

Рисунок 2.1 - Амплітудний спектр

Теоретично спектр тягнеться до безкінечності

Рисунок 2.2 - Фазовий спектр

Сутність графоаналітичного  методу полягає у визначенні спектральних складових (гармонік) сигналу на основі його окремих дискретних значень (вибірок), узятих через обрані проміжки часу.

Порядок розрахунків

1. Період сигналу, заданого  графіком, розбити на М однакових проміжків, попередньо вибравши початок системи координат.

2. Виписати значення сигналу  (орти) , і розрахувати збільшення фази на дискретний проміжок часу

.

Записати в загальному виді ряд Фур'є з урахуванням  обраної системи координат.

 

3. Розрахувати коефіцієнти  ряду, використовуючи наступні формули,  отримані шляхом заміни інтегральних  виражень наближеними сумами:

	(2.5)
			(2.6)
			(2.7)

2.1 Спектральне представлення  сигналів

Окрім звичного тимчасового (координатного) представлення сигналів і функцій при аналізі і обробці даних широко використовується опис сигналів функціями частоти, тобто по аргументах, зворотних аргументах тимчасової (координатної) вистави. Можливість такого опису визначається тим, що будь-який скільки завгодно складний по своїй формі сигнал можна представити у вигляді суми простіших сигналів, і, зокрема, у вигляді суми простих гармонійних коливань, сукупність яких називається частотним спектром сигналу.

Математично спектр сигналів описується функціями значень амплітуд і початкових фаз гармонійних  коливань по безперервному або дискретному  аргументу - частоті. Спектр амплітуд зазвичай називається амплітудно-частотною  характеристикою (АЧХ) сигналу, спектр фазових кутів - фазочастотною характеристикою (ФЧХ). Опис частотного спектру відображує сигнал так само однозначно, як і координатний опис.

Рисунок 2.3 - Тимчасове представлення  сигналу

Як приклад на рисунку 2.3 приведений відрізок сигнальної функції, яка отримана підсумовуванням постійної складової (частота постійної складової дорівнює 0) і трьох гармонійних коливань. Математичний опис сигналу визначається формулою:

 

(2.8)

де  - амплітуда коливань;

- частота коливань в  герцах;

- початковий фазовий  кут коливань в

радіанах;

.

Частотне представлення  даного сигналу (спектр сигналу у  вигляді АЧХ і ФЧХ) приведене  на рисунку 2.4. Звернемо увагу, що частотне представлення періодичного сигналу , обмеженого по числу гармонік спектру, складає всього вісім відліків і вельми компактно в порівнянні з безперервною тимчасовою виставою, визначеною в інтервалі від до .

Рисунок 2.4 - Частотне представлення  сигналу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                        3 РОЗРАХУНОК ЕЛЕКТРИЧНОЇ ВЕЛИЧИНИ

Таблиця 3.1 – Вхідні дані для розрахунку

Вар.	Електрична величина	Um, В	Im, A	T,мс	n
11		30		5	3

 

 

Рис.1. Графічне відображення закону зміни  струму в електричному колі

Напруга в електричному колі змінюється за законом, відображеному на рисунку 1.

Рисунок 3.1 – Система координат  електричної величини

Завдання: =30 B; Т=5 мс; n=3.

 

Розв'язок: розбиваємо період для обраної  системи координат на М=18 однакових відрізків виписуємо дискретні значення струму (з графіку):

=17 В	=26,5 В	=8,5 В
=18 В	=27,5 В	=6 В
=20 В	=15 В	=5 В
=21,5 В	=12,5 В	=3,5 В
=23 В	=11 В	=2 В
=25 В	=10 В	=0 В

 

 

 

Визначаємо збільшення фази на один інтервал.

 

Будемо мати на увазі, що для k-ої вибірки «набіг» фази рівний .

З урахуванням обраної системи координат:

  (функція U(t) - парна).

Отже, шуканий ряд Фур'є  здобуває вид (для n=3).

 

Розраховуємо косинусні коефіцієнти:

 

 

 

 

 

 

 Отже, шуканий ряд Фур’є для заданного періодичного струму має вигляд:

 

При Т=5мс=5с

-частота першої(основної) гармоніки

 

 

або

 

 

 

-частота другої гармоніки

 

або

 

 

-частота третьої гармоніки

 

або

 

 

Амплітудний спектр заданого сигналу має вигляд:

       

      

 Рис.2. Графічне відображення амплітудного спектру заданого сигналу

 

Проведений аналіз результатів, отриманих графоаналітичним методом  спектрального аналізу сигналів, показує, що з підвищенням номеру гармоніки, її амплітуда різко зменшується. Основна енергія заданого коливання зосереджена в частотному діапазоні від 200 до 600 Гц і її несуть постійна складова U₀ і перші дві гармоніки.

Комп’ютерна модель  приладу, у відповідності до другого пункту завдання, була створена у програмному  середовищі LabVIEW. Загальний вигляд лицевої панелі приладу показаний на Рис. 3а, блок-діаграма на Рис. 3б.

Приведені на Рис.3а графіки  і розрахункові дані  показують  практично однакові результати, як числових, так і графічних даних  аналітичних розрахунків і моделювання. Існуючу різницю можливо пояснити лише точністю результатів проміжних  обчислювань. Так при аналітичних  розрахунках точність представлення 10^-1¸ 10^-2, комп’ютерне моделювання здійснювалось з точністю 10^-324.

                    Рис.3 а,б. Лицева панель та блок діаграма приладу

 

Розраховуємо синусні коефіцієнти:

 

 

 

 

 

 

Отже, шуканий ряд Фур’є  для заданного періодичного струму має вигляд:

 

При Т=5мс=5с

 

-частота першої(основної) гармоніки

 

або

 

 

 

-частота другої гармоніки

 

або

 

-частота третьої гармоніки

 

 

або

 

 

Амплітудний спектр заданого сигналу має вигляд:

 

      Рис.4. Графічне відображення амплітудного спектру заданого сигналу

 

Проведений аналіз результатів, отриманих графоаналітичним методом  спектрального аналізу сигналів, показує, що з підвищенням номеру гармоніки, її амплітуда різко зменшується. Основна енергія заданого коливання зосереджена в частотному діапазоні від 200 до 600 Гц і її несуть постійна складова U₀ і перші дві гармоніки.